To je neplatné, protože předpoklady neprokazují shodu mezi členstvím v opoziční straně a zločinností. To je pověstný klam nerozděleného středu.
Z formálnějšího hlediska je dedukce taková posloupnost tvrzení, že každé tvrzení může být odvozeno od tvrzení před ním. Je tedy pochopitelné, že tak zůstává otevřená otázka, jak dokázat první větu (protože nemůže vyplývat z ničeho). Axiomatická výroková logika to řeší tím, že vyžaduje splnění následujících podmínek pro důkaz:
Důkazem α ze souboru Σ dobře tvarovaných vzorců (wffs) je konečná posloupnost wffs:
a pro každý βi (1 ≤ i ≤ n),
buď
Různé verze axiomatické výrokové logiky obsahují několik axiomů, obvykle tři nebo více než tři, kromě jednoho nebo více odvozovacích pravidel. Například axiomatizace výrokové logiky Gottloba Fregeho, která je také první instancí takového pokusu, má šest výrokových axiomů a dvě pravidla. Bertrand Russell a Alfred North Whitehead také navrhli systém s pěti axiomy.
Například verze axiomatické výrokové logiky podle Jana Lukasiewicze (1878-1956) má soubor A axiomů přijatých takto:
a to má soubor R Pravidla inference s jedním pravidlem v něm, že je Modu Ponendo Ponens takto:
Pravidlo (pravidla) odvození nám umožňuje odvodit výroky následující po axiomech nebo daných wffs souboru Σ.
V jedné verzi přirozené deduktivní logiky, kterou představil E.J. Lemmon, že bychom ji měli označovat jako soustavu L, nemáme žádný axiom, kterým bychom začali. Máme pouze devět primitivních pravidel, která upravují syntaxi důkazu.
Devět primitivních pravidel systému L je:
V systému L má důkaz definici s následujícími podmínkami:
Pak pokud není uveden žádný předpoklad, posloupnost se nazývá věta. Proto definice a věta v systému L je:
Příklad důkazu sekvence (v tomto případě Modus Tollendo Tollens):
Příklad důkazu o sekvenční (a věta v tomto případě):
Každé pravidlo systému L má své vlastní požadavky na typ vstupu (vstupů) nebo vstupu (vstupů), které může přijmout, a má svůj vlastní způsob zpracování a výpočtu předpokladů použitých jeho vstupy.