Difuzní magnetická rezonance

Přesnější vyjádření procesu pořízení obrazu je, že intenzity obrazu na každé pozici jsou zeslabeny v závislosti na síle (b-hodnota) a směru tzv. magnetického difuzního gradientu, stejně jako na lokální mikrostruktuře, ve které se molekuly vody rozptylují. Čím je obraz na dané pozici zeslaben, tím větší je rozptyl ve směru difuzního gradientu. Aby bylo možné změřit kompletní difuzní profil tkáně, je třeba opakovat MR skeny, aplikovat různé směry (a případně intenzity) difuzního gradientu pro každý sken.

Při difuzně váženém zobrazování (DWI) se tradičně používají tři gradientní směry, které postačují k odhadu stopy difuzního tenzoru neboli „průměrné difuzivity“, což je předpokládané měřítko edému. Klinicky se ukázalo, že snímky se stopovým vážením jsou velmi užitečné pro diagnostiku cévních mozkových příhod, a to včasným odhalením (během několika minut) hypoxického edému.

Snímky s rozšířeným difuzním tenzorem (DTI) odvozují směrovou informaci nervového traktu z dat pomocí 3D nebo vícerozměrných vektorových algoritmů založených na třech, šesti nebo více gradientových směrech, které postačují k výpočtu difuzního tenzoru. Difuzní model je poměrně jednoduchý model difuzního procesu, který předpokládá homogenitu a linearitu difúze v rámci každého obrazového voxelu. Z difuzního tenzoru lze vypočítat difuzní anizotropii, jako je frakční anizotropie (FA). Hlavní směr difuzního tenzoru lze navíc použít k odvození konektivity mozku s bílou hmotou (tj. traktografie; snaha zjistit, která část mozku je připojena ke které jiné části).

V poslední době byly navrženy pokročilejší modely difúzního procesu, které mají za cíl překonat slabiny modelu difúzního tenzoru. Mezi ně patří mimo jiné zobrazení q-prostoru a zobecněné zobrazení difúzního tenzoru.

V roce 1956 H.C. Torrey matematicky ukázal, jak se Blochovy rovnice pro magnetizaci změní přidáním difúze. Torrey upravil Blochův původní popis příčné magnetizace tak, aby zahrnoval difúzní pojmy a aplikaci prostorově se měnícího gradientu. Bloch-Torreyova rovnice zanedbávající relaxaci je:

Pro nejjednodušší případ, kdy je difúze izotropní, je difúzní tenzor

což znamená, že Blochova-Torreyova rovnice bude mít řešení

To ukazuje kubickou závislost příčné magnetizace na čase. Anizotropní difúze bude mít podobnou metodu řešení, ale se složitějším difuzním tenzorem.

Zobrazení vážené difúzí

Difuzně vážené zobrazování je metoda magnetické rezonance, která vytváří in vivo snímky magnetické rezonance biologických tkání vážené místními charakteristikami difúze vody.

DWI je modifikací technik pravidelné MRI a je přístupem, který využívá měření Brownova pohybu molekul. Pravidelná MRI akvizice využívá chování protonů ve vodě k vytvoření kontrastu mezi klinicky relevantními rysy konkrétního subjektu. Všestranná povaha MRI je dána touto schopností produkovat kontrast, tzv. vážení. V typickém váženém obrazu jsou molekuly vody ve vzorku excitovány zavedením silného magnetického pole. To způsobuje, že mnoho protonů v molekulách vody se precesuje současně a produkuje signály v MRI. V vážených obrazech je kontrast vytvářen měřením ztráty koherence nebo synchronie mezi vodními protony. Když je voda v prostředí, kde se může volně převalovat, relaxace obvykle trvá déle. V určitých klinických situacích to může vytvořit kontrast mezi oblastí patologie a okolní zdravou tkání.

U snímků vážených difuzí se místo homogenního magnetického pole mění homogenita lineárně gradientem pulzního pole. Protože je precese úměrná síle magnetu, začnou se protony precestovat různou rychlostí, což vede k rozptýlení fáze a ztrátě signálu. Jiný gradientní puls se aplikuje stejným směrem, ale s opačnou velikostí, aby se přeostřily nebo přerovnaly rotace. Přeostřování nebude dokonalé pro protony, které se během časového intervalu mezi pulzy pohnuly, a signál měřený přístrojem MRI se sníží. Toto snížení signálu v důsledku aplikace gradientu pulzu může souviset s množstvím difuze, ke kterému dochází pomocí následující rovnice:

kde je intenzita signálu bez difuzní váhy, je signál s gradientem, je gyromagnetický poměr, je síla gradientního pulsu, je doba trvání pulsu, je doba mezi dvěma pulsy, a konečně, je difuzní koeficient.

Přeskupením vzorce tak, aby izoloval difuzní koeficient, je možné získat představu o vlastnostech difúze, které se vyskytují v rámci konkrétního voxelu (volume picture element). Tyto hodnoty, nazývané zdánlivý difuzní koeficient (ADC), pak mohou být zmapovány jako obrázek, s použitím difúze jako kontrastu.

První úspěšnou klinickou aplikací DWI bylo zobrazování mozku po mozkové mrtvici u dospělých. Oblasti, které byly poraněny během mozkové mrtvice, se na mapě ADC ukázaly jako „tmavší“ ve srovnání se zdravou tkání. Zhruba ve stejné době, kdy bylo výzkumníkům zřejmé, že DWI lze použít k posouzení závažnosti poranění u dospělých pacientů s mozkovou mrtvicí, si také všimli, že hodnoty ADC se liší v závislosti na tom, jakým způsobem byl pulzní gradient aplikován. Tento kontrast závislý na orientaci je generován difuzní anizotropií, což znamená, že difúze v částech mozku má směrovost. To může být užitečné pro stanovení struktur v mozku, které by mohly omezit tok vody v jednom směru, jako jsou myelinizované axony nervových buněk (které jsou postiženy roztroušenou sklerózou). Při zobrazování mozku po mozkové mrtvici však může ve skutečnosti zabránit tomu, aby bylo poranění vidět. Pro kompenzaci tohoto stavu je nutné použít matematický operátor, zvaný tenzor, aby plně charakterizoval pohyb vody ve všech směrech.

Obrazy s difuzní váhou jsou velmi užitečné pro diagnostiku cévních mozkových příhod. Používá se také stále více při stagingu nemalobuněčného karcinomu plic, kde je vážným kandidátem na nahrazení pozitronové emisní tomografie jako „zlatého standardu“ pro tento typ onemocnění. Difuzní tenzorové zobrazování je vyvíjeno pro studium nemocí bílé hmoty mozku i pro studie jiných tělesných tkání (viz níže).

Zobrazení difuzního tenzoru (DTI) je technika magnetické rezonance (MRI), která umožňuje měření omezeného rozptylu vody ve tkáni za účelem vytvoření snímků nervového traktu namísto použití těchto údajů výhradně za účelem přiřazení kontrastu nebo barev pixelům v průřezovém snímku. Poskytuje také užitečné strukturální informace o svalech – včetně srdečního svalu, jakož i dalších tkáních, jako je prostata.

V roce 1990 Michael Moseley ohlásil, že difúze vody v bílé hmotě je anizotropní – vliv difúze na uvolnění protonu se měnil v závislosti na orientaci traktů vzhledem k orientaci difúzního gradientu aplikovaného zobrazovacím skenerem. Upozornil také na to, že by to mělo být nejlépe popsáno tenzorem. Aaron Filler a jeho kolegové ohlásili v roce 1991 použití MRI pro sledování traktu v mozku pomocí metody kontrastní látky, ale poukázali na to, že Moseleyho zpráva o polarizované difúzi vody podél nervů ovlivní vývoj sledování traktu. Několik měsíců po předložení této zprávy, v roce 1991, bylo dosaženo prvního úspěšného použití dat difúzní anizotropie pro sledování neurálních traktů zakřivujících se mozkem bez kontrastních látek. Filler a jeho kolegové identifikovali v patentech v červenci 1992 vektorové i tenzorové metody, dříve než kterákoli jiná skupina, ale data pro tyto počáteční snímky byla získána pomocí následujících souborů vektorových vzorců, které poskytují Eulerovy úhly a velikost pro hlavní osu difúze ve voxelu, přesně modelujících axonální směry, které způsobují omezení směru difúze:

Doporučujeme:  Studium výjimečného talentu

Použití smíšených příspěvků gradientů ve třech primárních ortogonálních osách za účelem generování nekonečného počtu různě orientovaných gradientů pro tenzorovou analýzu bylo také identifikováno v roce 1992 jako základ pro dosažení tenzorových popisů difúze vody v MRI voxelech. Vektorová i tenzorová metoda poskytují „rotačně invariantní“ měření – velikost bude stejná bez ohledu na to, jak je trakt vzhledem k gradientním osám orientován – a obě poskytují trojrozměrný směr v prostoru, nicméně tenzorová metoda je efektivnější a přesnější pro provádění traktografie. Prakticky tato třída vypočítaného obrazu klade velké nároky na registraci obrazu – všechny shromážděné obrazy by měly být ideálně stejně tvarovány a umístěny tak, aby vypočítaný složený obraz byl správný. V původním programu FORTRAN napsaném na počítači MacIntosh Toddem Richardsem koncem roku 1991 byly všechny úkoly registrace obrazu a normalizované anizotropní hodnocení (uváděné jako zlomek 1 a korigované na bázi „B0“ (non-diffusion), stejně jako výpočet Eulerových úhlů, generování obrazu a trasování traktu zjednodušeny počátečním vývojem s vektory (tři difuzní obrazy plus jeden non-difuzní obraz) oproti šesti a více požadovaným pro plnou 2. rank tenzor analýzu.

Použití akvizic elektromagnetických dat ze šesti a více směrů pro konstrukci tenzorového elipsoidu bylo v té době známo z jiných oborů, stejně jako použití tenzorového elipsoidu pro popis difúze. Vynalézavý krok DTI proto zahrnoval dva aspekty:

Abstrakt s prvním traktogramem se objevil na srpnovém setkání Společnosti pro magnetickou rezonanci v medicíně v roce 1992, Widespread výzkum v oboru následoval po prezentaci 28. března 1993, kdy Michael Moseley znovu představil traktografické snímky ze skupiny Filler – popisující novou škálu neuropatologie, kterou učinil detekovatelnou – a upozornil na tento nový směr v MRI na plenárním zasedání Společnosti pro magnetickou rezonanci zobrazování před publikem 700 vědců. Mnoho skupin pak věnovalo pozornost možnosti využití difúzního anizotropního zobrazování na bázi tenzoru pro trasování nervového traktu a začalo optimalizovat traktografii. Nyní existuje každoroční „Fibre Cup“, ve kterém různé skupiny soutěží o poskytnutí nejefektivnějšího nového traktografického algoritmu. Další pokrok ve vývoji traktografie lze připsat Morimu, Pierpaolimu, Lazarovi, Conturovi a mnoha dalším.

Difuzní Tensor Imaging se stal široce používaným v rámci MRI komunity po práci Bassera, Mattliella a LeBihana. Peter Basser a jeho spolupracovníci pracující v National Institutes of Health publikovali v 90. letech sérii velmi vlivných prací, které zavedly difuzní tenzorové zobrazování jako životaschopnou zobrazovací metodu
. Za tento soubor prací byl Basser v roce 2008 oceněn Zlatou medailí Mezinárodní společnosti pro magnetickou rezonanci v medicíně za „své průkopnické a inovativní vědecké příspěvky ve vývoji difuzního Tensor Imaging (DTI).“

HARDI: Difúzní zobrazování s vysokým úhlovým rozlišením a Q-ball vektorová analýza

Měření anizotropie a difuzivity

V současné klinické neurologii mohou být různé mozkové patologie nejlépe detekovány při pohledu na konkrétní měřítka anizotropie a difuzivity. Základní fyzikální proces difúze (Brownovým pohybem) způsobuje, že skupina molekul vody se pohybuje ven z centrálního bodu a postupně se dostává na povrch elipsoidu, pokud je médium anizotropní (pro izotropní médium by to byl povrch koule). Elipsoidní formalismus funguje také jako matematická metoda organizování tenzorových dat. Měření elipsoidního tenzoru dále umožňuje retrospektivní analýzu, ke shromáždění informací o procesu difúze v každém voxelu tkáně.

Jakmile změříme voxel ze šesti a více směrů a opravíme ho na útlum vlivem T2 a T1 efektů, můžeme použít informace z našeho vypočteného elipsoidního tenzoru k popisu toho, co se děje ve voxelu. Pokud uvažujete elipsoid sedící pod úhlem v kartézské mřížce (osy x, y, z), pak můžete uvažovat o projekci této elipsy na tři osy. Tři projekce vám mohou dát ADC podél každé ze tří os ADCx, ADCy, ADCz. To vede k myšlence popsat průměrnou difuzivitu ve voxelu, která bude jednoduše

Používáme i dolní index značit, že to je to, co izotropní difuzní koeficient by s účinky anisotropie zprůměrované ven.

Samotný elipsoid má hlavní dlouhou osu a pak další dvě malé osy, které popisují jeho šířku a hloubku. Všechny tři jsou na sebe kolmé a protínají se ve středovém bodě elipsoidu. Osy v tomto nastavení nazýváme vlastními čísly a míry jejich délek vlastními čísly. Délky jsou symbolizovány řeckým písmenem λ (lambda). Ta dlouhá směřující ve směru axonu bude λ1 a dvě malé osy budou mít délky λ2 a λ3. V nastavení elipsoidu s tenzorem DTI můžeme každou z nich považovat za míru difuzivity podél každé ze tří hlavních os elipsoidu. To je trochu odlišné od ADC, protože to byl průmět na osu, zatímco λ je skutečné měření elipsoidu, které jsme vypočítali.

Difuzivita podél hlavní osy, λ1, se také nazývá podélná difuzivita nebo axiální difuzivita nebo dokonce paralelní difuzivita λǁ. Historicky je to nejblíže tomu, co Richards původně naměřil vektorovou délkou v roce 1991. Difuzivity ve dvou vedlejších osách jsou často zprůměrovány tak, aby vytvořily míru radiální difuzivity.

Tato veličina je vyhodnocením míry omezení způsobeného membránami a dalšími účinky a ukazuje se jako citlivé měřítko degenerativní patologie u některých neurologických stavů. Lze ji také nazvat kolmá difuzivita (λ).

Doporučujeme:  Pozorovatelské zkreslení

Pokud vydělíme tento součet třemi máme střední difuzivitu

Kromě popisu množství difúze je často důležité popsat relativní stupeň anizotropie ve voxelu. Na jednom extrému by byla sféra izotropní difúze a na druhém extrému by byl doutník nebo tužka ve tvaru velmi tenkého prolátového sféroidu. Nejjednodušší míra se získá vydělením nejdelší osy elipsoidu nejkratší = (λ1/λ3). To se však ukazuje jako velmi náchylné k měření šumu, proto byla vyvinuta stále složitější opatření k zachycení míry a zároveň minimalizaci šumu. Důležitým prvkem těchto výpočtů je součet čtverců difúzních rozdílů = (λ1 − λ2)2 + (λ1 − λ3)2 + (λ2 − λ3)2. Použijeme druhou odmocninu součtu čtverců, abychom získali jakýsi vážený průměr – dominuje největší složka. Jedním z cílů je udržet číslo blízko 0, pokud je voxel sférický, ale blízko 1, pokud je protáhlý. To vede ke zlomkové anizotropii neboli FA, což je druhá odmocnina součtu čtverců (SRSS) rozdílů difuzivity, vydělená SRSS rozdílů difuzivity. Když jsou druhá a třetí osa malé vzhledem k hlavní ose, číslo v čitateli se téměř rovná číslu ve jmenovateli. Vynásobíme také druhou odmocninou z 1/2 = 0,707, abychom získali výsledné číslo menší než jedna. Celý vzorec pro FA vypadá takto:

Frakční anizotropie může být také rozdělena do lineárních, rovinných a sférických měr v závislosti na „tvaru“ difuzního elipsoidu. Například „doutníkový“ elipsoid ve tvaru prolátu označuje silně lineární anizotropii, „létající talíř“ nebo zploštělý sféroid představuje difúzi v rovině a koule je indikátorem izotropní difúze, rovnající se ve všech směrech. Pokud jsou vlastní hodnoty difuzního vektoru seřazeny tak, že , Pak lze míry vypočítat takto:

Pro lineární případ, kde ,

Pro planární případ, kde ,

Pro sférické případě, kde ,

Každá míra leží mezi 0 a 1 a jejich součet se rovná jednotce. K popisu odchylky od sférického případu lze použít dodatečnou anizotropní míru:

Hlavní uplatnění je ve zobrazování bílé hmoty, kde lze měřit umístění, orientaci a anizotropii traktů. Architektura axonů v paralelních svazcích a jejich myelinové pochvy usnadňují difúzi molekul vody přednostně po jejich hlavním směru. Taková přednostně orientovaná difúze se nazývá anizotropní difúze.

Traktografická rekonstrukce nervových spojů prostřednictvím DTI

Zobrazení této vlastnosti je rozšířením difuzní MRI. Pokud se použije série difuzních gradientů (tj. kolísání magnetického pole v magnetu MRI), které mohou určit alespoň 3 směrové vektory (použití 6 různých gradientů je minimum a další gradienty zlepšují přesnost pro informace „mimo diagonálu“), je možné pro každý voxel vypočítat tenzor (tj. symetrickou kladnou definitní matici 3 ×3), který popisuje trojrozměrný tvar difúze. Směr vlákna je indikován hlavním vlastním vektorem tenzoru. Tento vektor může být barevně kódován, čímž se získá kartografie polohy a směru traktu (červená pro levo-pravou, modrá pro nadřazenou-nižší a zelená pro přední-zadní). Jas je vážený frakční anizotropií, která je skalární mírou stupně anizotropie v daném voxelu. Střední difúznost (MD) nebo Trace je skalární mírou celkové difúze v rámci voxelu. Tato opatření se běžně klinicky používají k lokalizaci lézí bílé hmoty, které se neprojevují na jiných formách klinické MRI.

Údaje ze zobrazení difuzního tenzoru mohou být použity k provedení traktografie v rámci bílé hmoty. Algoritmy sledování vláken mohou být použity ke sledování vláken po celé jejich délce (např. kortikosférický trakt, přes který motorická informace prochází z motorické kůry do míchy a periferních nervů). Tractografie je užitečným nástrojem pro měření deficitů v bílé hmotě, například při stárnutí. Její odhad orientace a síly vláken je stále přesnější a má rozsáhlé potenciální důsledky v oblasti kognitivní neurovědy a neurobiologie.

Některé klinické aplikace DTI jsou v traktově specifické lokalizaci lézí bílé hmoty, jako je trauma, a v definování závažnosti difuzního traumatického poranění mozku. Lokalizace nádorů ve vztahu k traktům bílé hmoty (infiltrace, vychýlení), byla jednou z nejdůležitějších počátečních aplikací. V chirurgickém plánování u některých typů nádorů mozku je chirurgii nápomocna znalost blízkosti a relativní pozice kortikospinálního traktu a nádoru.

Využití DTI pro hodnocení bílé hmoty ve vývoji, patologii a degeneraci je od roku 2005 předmětem zájmu více než 2500 výzkumných publikací. Slibuje, že bude velmi nápomocné při odlišení Alzheimerovy choroby od jiných typů demence. Aplikace ve výzkumu mozku pokrývají např. konektionistické zkoumání neuronových sítí in vivo.

DTI má své uplatnění i v charakterizaci kosterního a srdečního svalstva. Citlivost na orientaci vláken se zdá být užitečná i v oblasti sportovní medicíny, kde výrazně napomáhá zobrazování struktury a poranění svalů a šlach.

Nedávná studie v Barnes-židovské nemocnice a Washington University School of Medicine zdravých osob a jak nově postižených a chronicky postižených jedinců s optickou neuritidou způsobenou roztroušenou sklerózou (MS) ukázala, že DTI lze použít k posouzení průběhu stavu účinky na oční optický nerv a zrak, protože to může posoudit axiální difuzivitu průtoku vody v oblasti. [citace nutná]

V říjnu 2009 se objevila zpráva dokumentující lokalizovaný nárůst frakční anizotropie po tréninku složité visuomotorické dovednosti (žonglování). To bylo prohlášeno za první důkaz na zkušenostech závislých změn v mikrostruktuře bílé hmoty u zdravých dospělých lidí.

Matematický základ—tenzory

Difuzní magnetická rezonance se opírá o matematické a fyzikální interpretace geometrických veličin známých jako tenzory. Pro zobrazování, které je založeno na konceptu symetrické matice, je relevantní pouze speciální případ obecného matematického pojmu. Difuze sama o sobě je tenzoriální, ale v mnoha případech není cílem skutečně snaha studovat difuzi mozku jako takovou, ale spíše jen snaha využít difuzní anizotropii v bílé hmotě za účelem nalezení orientace axonů a velikosti nebo stupně anizotropie. Tenzory mají reálnou, fyzikální existenci v materiálu nebo tkáni, takže se nepohybují, když je souřadnicový systém použitý k jejich popisu otočen. Existuje mnoho různých možných reprezentací tenzoru (hodnosti 2), ale mezi nimi se tato diskuse zaměřuje na elipsoid kvůli jeho fyzikálnímu významu pro difuzi a kvůli jeho historickému významu ve vývoji difuzní anizotropie zobrazování v magnetické rezonanci.

Následující matice zobrazuje složky difuzního tenzoru:

Stejná matice čísel může mít simultánní druhé použití pro popis tvaru a orientace elipsy a stejná matice čísel může být současně použita ve třetí cestě pro maticovou matematiku pro třídění vlastních čísel a vlastních čísel, jak je vysvětleno níže.

Doporučujeme:  Poruchy

Myšlenka tenzoru ve fyzikální vědě se vyvinula z pokusů popsat množství dané fyzikální vlastnosti. První instance jsou ty vlastnosti, které lze popsat jediným číslem – například teplotou. V teplotě není žádná směrovost. Vlastnost, kterou lze popsat tímto způsobem, se označuje jako skalár – lze ji také považovat za tenzor hodnosti 0. Další úroveň složitosti se týká veličin, které lze popsat pouze s odkazem na směr – základním příkladem je mechanická síla – ty vyžadují popis velikosti a směru. Vlastnosti s jednoduchým směrovým aspektem jsou popsány vektorem – často reprezentovaným šipkou – který má velikost a směr. Vektor lze popsat poskytnutím jeho tří složek – jeho projekce na osu x, osu y a osu z. Vektory tohoto druhu mohou být tenzory hodnosti 1.

tenzor je často fyzikální nebo biofyzikální vlastnost, která určuje vztah mezi dvěma vektory. Když je na krystal aplikováno elektrické pole, může být detekován proud. Pokud by byl proud v pomyslném nekonečně tenkém drátu, pak by tekl čistě jedním směrem – tuto transformaci lze popsat pomocí tenzoru hodnosti 1 – vektoru. V krystalu však aplikované pole povede k pohybu náboje v rozpínajícím se obrazci, který postupuje podél několika různých směrů současně, což vede ke komplexnímu průmětu na kartézské osy. Tento obrazec bude reprodukovatelný – stejný pokaždé, když stejným způsobem aplikujeme stejné pole na stejný krystal – zejména pokud je vnější pole aplikováno ve stejné orientaci vzhledem k vnitřní anizotropní organizaci krystalu. Vztah mezi směrem aplikovaného pole a komplexním obrazcem pohybu náboje v krystalu je popsán tenzorem. Tento soubor nábojových posuvů v této fyzikální vlastnosti lze popsat devíti složkami – každá z nich je spojena s dvojicí os xx, yy, zz, xy, yx, xz, zx, yz, zy. Ty lze zapsat jako matici podobnou té na začátku této sekce.

V roce 1848 Henri Hureau de Sénarmont nanesl vyhřívaný bod na leštěný povrch krystalu, který byl potažen voskem. V některých materiálech, které měly „izotropní“ strukturu, se po povrchu v kruhu šířil prstenec tavení. V anizotropních krystalech mělo šíření podobu elipsy. Ve třech rozměrech je toto šíření elipsoidní. Jak ukázal Adolf Fick v 50. letech 19. století, difúze sleduje mnoho stejných cest a pravidel jako teplo.

V tomto bodě je užitečné zamyslet se trochu nad matematikou elipsoidů. Elipsoid může být popsán vzorcem: ax2 + by2 + cz2 = 1. Skvělý způsob, jak si to vyzkoušet, je stáhnout si „Grafická kalkulačka“ nucalc.com. Tato rovnice popisuje povrch kvadriky. Relativní hodnota a, b a c určuje, zda bude kvadrika elipsoid nebo hyperboloid.

Jak se ukazuje, další tři složky lze přidat následovně:
ax2 + by2 + cz2 + dyz + ezx + fxy = 1. Výsledkem mnoha směsí a, b, c, d, e a f budou stále elipsoidy, ale další složky (d, e, f) obvykle nutí elipsoid otočit do úhlové polohy mimo ortogonální osy karteziánského souřadnicového systému. Těchto šest proměnných lze zapsat do matice, která vypadá hodně podobně jako tenzorová matice objevující se na začátku této sekce (protože difúze je symetrická, pak stačí šest místo devíti složek – složky pod diagonálními prvky matice jsou stejné jako složky nad diagonálou). To je myšleno, když je uvedeno, že složky matice tenzoru druhého řádu mohou být reprezentovány elipsoidem – pokud jsou difúzní hodnoty pro našich šest podmínek kvadrického elipsoidu umístěny do matice, vznikne elipsoid skloněný mimo ortogonální mřížku. Jeho tvar bude prodlouženější, pokud je relativní anizotropie vysoká.

Když je elipsoid/tenzor reprezentován maticí, je možné udělat něco užitečného ze standardní maticové matematiky a lineární algebry – to je „diagonalizace“ matice. To má v zobrazování dva důležité významy. Myšlenka je taková, že existují dva ekvivalentní elipsoidy – stejného tvaru, ale s různou velikostí a orientací. První je měřený difuzní elipsoid sedící v úhlu určeném axony, a druhý je dokonale sladěný se třemi karteziánskými osami. Termín „diagonalizace“ se vztahuje na tři složky matice podél diagonály zleva nahoru doprava (složky s červenými dolními indexy v matici na začátku této sekce). Proměnné ax2, by2 a cz2 jsou podél diagonály (červené dolní indexy), ale proměnné d, e a f jsou „mimo diagonálu“. Pak je možné udělat krok zpracování vektoru, ve kterém přepíšeme naši matici a nahradíme ji novou maticí vynásobenou třemi různými vektory jednotkové délky (délka = 1,0). Matice je diagonalizována, protože složky mimo úhlopříčku jsou nyní všechny nulové. Úhly rotace potřebné pro dosažení této ekvivalentní polohy se nyní objevují ve třech vektorech a mohou být odečteny jako složky x, y a z každého z nich. Tyto tři vektory se nazývají „eigenvectors“ nebo charakteristické vektory. Obsahují orientační informace z původního elipsoidu. Tři osy elipsoidu jsou nyní přímo podél hlavních ortogonálních os souřadnicové soustavy, takže můžeme snadno odečíst délku každé z nich. Tyto délky jsou vlastní čísla nebo charakteristické hodnoty.

Diagonalizace matice se provádí tak, že se najde druhá matice, se kterou se dá násobit, a následuje násobení inverzní maticí druhé matice – kde výsledkem je nová matice, ve které tři diagonální (xx, yy, zz) komponenty mají v sobě čísla, ale off diagonální komponenty (xy, yz, zx) jsou 0. Druhá matice poskytuje informace o vlastním čísle.

Pro DTI je obecně možné použít lineární algebru, maticovou matematiku a vektorovou matematiku pro zpracování analýzy tenzorových dat.

V některých případech je zajímavá celá sada tenzorových vlastností, ale pro traktografii je obvykle nutné znát pouze velikost a orientaci primární osy nebo vektoru. Tato primární osa – ta s největší délkou – je největší vlastní číslo a jeho orientace je zakódována v jeho odpovídající vlastní vektoru. Pouze jedna osa je potřebná, protože zájem je o vektorovou vlastnost směru axonu pro dosažení traktografie.