Kvantová teorie pole

Kvantová teorie pole (QFT) je kvantová teorie polí. Poskytuje teoretický rámec, široce používaný ve fyzice částic a fyzice kondenzovaných hmot, ve kterém se formulují konzistentní kvantové teorie systémů mnoha částic, zejména v situacích, kdy částice mohou být vytvořeny a zničeny. Nearelativistické kvantové teorie pole jsou potřebné ve fyzice kondenzovaných hmot – například v BCS teorii supravodivosti. Relativistické kvantové teorie pole jsou nepostradatelné ve fyzice částic (viz standardní model), i když je známo, že vznikají jako efektivní teorie pole ve fyzice kondenzovaných hmot.

Od počátku bylo zřejmé, že kvantové zacházení s elektromagnetickým polem vyžaduje správné zacházení s relativitou. Jordan a Wolfgang Pauli ukázali v roce 1928, že komutátory pole byly ve skutečnosti Lorentzovy invariantní. Do roku 1933 Niels Bohr a Leon Rosenfeld vztáhli tyto komutační vztahy k omezení schopnosti měřit pole při prostorové separaci. Vývoj Diracovy rovnice a teorie děr poháněly kvantovou teorii pole k vysvětlení těchto jevů pomocí myšlenek kauzality v relativitě, práce, kterou dokončili Wendell Furry a Robert Oppenheimer pomocí metod vyvinutých pro tento účel Vladimirem Fockem. Tato potřeba dát dohromady relativitu a kvantovou mechaniku byla druhou motivací, která poháněla vývoj kvantové teorie pole. Toto vlákno bylo klíčové pro případný vývoj částicové fyziky a moderní (částečně) sjednocené teorie sil nazývané standardní model.

V roce 1927 se Jordánsko pokusilo rozšířit kanonickou kvantování polí na vlnovou funkci, která se objevila v kvantové mechanice částic, což vedlo k ekvivalentnímu názvu druhé kvantování pro tento postup. V roce 1928 Jordánsko a Eugene Wigner zjistili, že Pauliho vylučovací princip požadoval, aby elektronové pole bylo rozšířeno pomocí anti-dojíždění tvorby a anihilace operátorů. To bylo třetí vlákno ve vývoji kvantové teorie pole – potřeba zacházet se statistikou multi-částicových systémů důsledně a snadno. Toto vlákno vývoje bylo začleněno do teorie mnoha těles, a silně ovlivnil kondenzované hmoty fyziky a jaderné fyziky.

Kvantová mechanika se obecně zabývá operátory působícími na (oddělitelný) Hilbertův prostor. Pro jedinou nerelativistickou částici jsou základními operátory její poloha a hybnost,

Tyto operátory jsou v Heisenbergově obraze závislé na čase, ale můžeme si také vybrat práci v Schrödingerově obraze nebo (v kontextu perturbační teorie) v interakčním obraze.

Teorie kvantového pole je speciální případ kvantové mechaniky, ve kterém základní operátory jsou operátorem oceňované pole

Jediné pole popisuje bezspinovou částici. Více polí je třeba pro více typů částic nebo pro částice se spinem.

V kvantové teorii pole je energie dána Hamiltonovým operátorem, který může být sestaven z kvantových polí; je to generátor infinitezimálních časových translací.
(Schopnost sestrojit generátor infinitezimálních časových translací z kvantových polí znamená, že mnoho nefyzických teorií je vyloučeno, což je dobře.)Aby byla teorie rozumná, musí být Hamiltonova ohraničena zdola. Nejnižší energetický eigenstát (který může, ale nemusí být degenerovaný) se nazývá vakuum v částicové fyzice a pozemní stav ve fyzice kondenzované hmoty (QFT se objevuje v kontinuální mezi systémů kondenzované hmoty).

Teorie kvantového pole opravuje několik omezení běžné kvantové mechaniky, o kterých se nyní krátce zmíníme. Časově nezávislá Schrödingerova rovnice ve své nejčastěji se vyskytující podobě je

kde označuje kvantový stav (notace) částice s hmotností , v přítomnosti potenciálu .

První problém nastává, když se snažíme rozšířit rovnici na velké množství částic. Jak je popsáno v článku o identických částicích, kvantově-mechanické částice stejného druhu jsou k nerozeznání v tom smyslu, že stav celého systému musí být symetrický (bosony) nebo antisymetrický (fermiony), když se vymění souřadnice jeho základních částic. Tyto vícečásticové stavy jsou extrémně složité na zápis. Například obecný kvantový stav systému bosonů je zapsán jako

kde jsou jednotlivé částice-stavy, je počet částic zabírající stav , A součet je převzata přes všechny možné permutace působící na prvky. Obecně, to je součet (faktoriál) odlišné pojmy, který se rychle stává nezvládnutelný s nárůstem. Velké počty částic jsou potřeba ve fyzice kondenzované hmoty, kde obvykle počet částic je v řádu Avogadro číslo, přibližně 1023.

Kvantizace klasické teorie pole

Teorie kvantového pole tyto problémy řeší důslednou kvantifikací pole. Vhodnou interpretací fyzikálních pozorovatelností pole lze vytvořit (poměrně úspěšnou) teorii mnoha částic. Zde je návod:

1. Každé kolísání pole v normálním režimu je interpretováno jako částice s frekvencí f.

2. Kvantové číslo n každého normálního režimu (které lze považovat za harmonický oscilátor) je interpretováno jako počet částic.

Energie spojená s módem excitace je tedy ta, která přímo vyplývá z energetických veličin jednorozměrného harmonického oscilátoru v kvantové mechanice. Při určitém zamyšlení lze podobně spojit hybnost a polohu částic s pozorovatelností pole.

Po vyjasnění korespondence mezi poli a částicemi (která se liší od nerelativistické QM) můžeme přistoupit k definici toho, jak se kvantové pole chová.

Před dalším postupem je třeba učinit dvě námitky:

První metodou používanou ke kvantifikaci teorie pole byla metoda nyní nazývaná kanonická kvantování (dříve známá jako druhá kvantování). Tato metoda používá Hamiltonovu formulaci klasického problému. Pozdější technika Feynmanových integrálů cest používá Lagrangeovu formulaci. Nyní se používá mnohem více metod; přehled viz článek o kvantování.

Doporučujeme:  Minimax

Kanonická kvantizace pro bosony

Předpokládejme, že máme systém bosonů, které mohou obsadit vzájemně ortogonální jednočásticové stavy a tak dále. Obvyklou metodou zápisu vícečásticového stavu je přiřazení stavu každé částici a pak uložení výměnné symetrie. Jak jsme viděli, výsledná vlnová funkce je těžkopádný součet pojmů. Oproti tomu v druhém kvantovaném přístupu jednoduše vyjmenujeme počet částic v každém z jednočásticových stavů s tím, že vícečásticová vlnová funkce je symetrická. Abychom byli konkrétní, předpokládejme, že , S jednou částicí ve stavu a dvěma ve stavu. Normální způsob zápisu vlnové funkce je

V druhé kvantované formě, píšeme to jako

což znamená „jedna částice ve stavu 1, dvě částice ve stavu 2 a nulové částice ve všech ostatních stavech“.

I když je rozdíl zcela notační, druhá forma nám usnadňuje definovat operátory stvoření a anihilace, které sčítají a odečítají částice ze stavů vícečástic. Tyto operátory stvoření a anihilace jsou velmi podobné těm, které jsou definovány pro kvantový harmonický oscilátor, který sčítal a odečítal kvantovou energii. Tyto operátory však doslova vytvářejí a anihilují částice s daným kvantovým stavem. Operátor bosonové anihilace a operátor stvoření má tyto účinky:

Operátoři bosonové tvorby a anihilace dodržují komutační vztah

kde je zkratka pro Kroneckerovu deltu. To jsou přesně ty vztahy, které dodržují „operátoři žebříku“ pro nekonečnou množinu nezávislých kvantových harmonických oscilátorů, jeden pro každý stav jedné částice. Přidání nebo odstranění bosonů z každého stavu je proto analogické k vzrušení nebo odreagování kvantové energie v harmonickém oscilátoru.

Posledním krokem k získání kvantové teorie pole je přepsání naší původní -částice Hamiltonian ve smyslu vytvoření a anihilace operátorů působících na Fock prostoru. Například Hamiltonian pole volných (neinteragujících) bosonů je

kde je energie -tého single-částice energie eigenstate. Všimněte si, že

Kanonická kvantifikace pro fermiony

Ukazuje se, že operátory tvorby a anihilace pro fermiony musí být definovány odlišně, aby byl splněn Pauliho vylučovací princip. Pro fermiony mohou okupační čísla nabývat pouze hodnoty 0 nebo 1, protože částice nemohou sdílet kvantové stavy. Poté definujeme operátory fermionové anihilace a operátory tvorby

Fermionové operátory stvoření a anihilace poslouchají protikomunizační vztah,

Lze si z toho všimnout, že při použití fermionového operátoru tvorby dvakrát vyjde nula, takže je nemožné, aby částice sdílely stavy jedné částice, v souladu s vylučovacím principem.

Význam tvůrců a likvidátorů

Když přepíšeme Hamiltonian pomocí Fockova prostoru a operátorů stvoření a anihilace, jako v předchozím příkladu, symbol , který představuje celkový počet částic, vypadne. To znamená, že Hamiltonian je použitelný pro systémy s libovolným počtem částic. Samozřejmě, v mnoha běžných situacích je fyzikálně důležitá a dokonale definovaná veličina. Například, pokud popisujeme plyn atomů uzavřených v krabici, počet atomů by měl raději zůstat konstantní za všech okolností. To určitě platí pro výše uvedené Hamiltonian. Pohlížíme-li na Hamiltonian jako na generátor vývoje času, vidíme, že kdykoli operátor anihilace zničí částici během nekonečně malého časového kroku, operátor stvoření nalevo od ní ji okamžitě vrátí zpět. Proto, pokud začneme se stavem neinteragujících částic, pak budeme mít částice vždy později.

Na druhou stranu je často užitečné vzít v úvahu kvantové stavy, kde je číslo částice špatně definováno, tj. lineární superpozice vektorů z Fockova prostoru, které mají různé hodnoty . Například se může stát, že naše bosonové částice mohou být vytvořeny nebo zničeny interakcí s polem fermionů. Denoting fermionové vytvoření a anihilace operátory a , Mohli bychom přidat „potenciální energie“ termín do našeho Hamiltonian jako:

Popisuje procesy, při kterých fermion ve stavu buď absorbuje nebo emituje boson, čímž je nakopnut do jiného eigenstátu . Ve skutečnosti je to výraz pro interakci mezi fonony a vodivými elektrony v pevném skupenství. Interakce mezi fotony a elektrony je řešena podobným způsobem; je to trochu složitější, protože je třeba vzít v úvahu roli spinu. Zde je třeba si všimnout jedné věci, a to, že i když začneme s pevným počtem bosonů, obecně skončíme u superpozice stavů s různým počtem bosonů v pozdějších dobách. Na druhou stranu, počet fermionů je v tomto případě zachován.

Ve fyzice kondenzované hmoty jsou stavy se špatně definovanými částicovými čísly také velmi důležité pro popis různých supratekutých látek. Mnohé z definičních charakteristik supratekutosti vyplývají z představy, že její kvantový stav je superpozicí stavů s různými částicovými čísly.

Nyní můžeme definovat operátory v terénu, které vytvářejí nebo ničí částici v určitém bodě vesmíru. V částicové fyzice je s nimi často pohodlnější pracovat než s operátory stvoření a anihilace, protože usnadňují formulování teorií, které uspokojují požadavky relativity.

Jednočásticové stavy jsou obvykle vyjmenovány z hlediska jejich hybnosti (jako v případě částice v krabici.) Operátory pole můžeme zkonstruovat tak, že pro tyto stavy aplikujeme Fourierovu transformaci na operátory vytvoření a anihilace. Například operátor anihilace bosonového pole je

Doporučujeme:  Palatální souhláska

Operátoři bosonového pole dodržují komutační vztah

kde je zkratka pro Diracovu delta funkci. Stejně jako dříve, fermionové vztahy jsou stejné, s komutátory nahrazeny antikomutátory.

Je třeba zdůraznit, že operátor pole není totéž co vlnová funkce jedné částice. První je operátor působící na Fockův prostor a druhý je jen skalární pole. Jsou však úzce příbuzné a jsou skutečně běžně označovány stejným symbolem. Máme-li Hamiltonce s prostorovou reprezentací, řekněme

kde indexy a běh přes všechny částice, pak pole teorie Hamiltonian je

To vypadá pozoruhodně jako výraz pro očekávanou hodnotu energie, kde hraje roli vlnová funkce. Tento vztah mezi operátory pole a vlnovými funkcemi velmi usnadňuje formulování teorií pole počínaje Hamiltonci promítanými do prostoru.

Kvantizace klasických polí

Zatím jsme si ukázali, jak se přechází od obyčejné kvantové teorie ke kvantové teorii pole. Existují určité systémy, pro které žádná obyčejná kvantová teorie neexistuje. Jedná se o „klasická“ pole, jako je elektromagnetické pole. V klasickém elektromagnetisimu neexistuje nic jako vlnová funkce pro jediný foton, takže kvantová teorie pole musí být formulována hned od začátku.

Podstatný rozdíl mezi obyčejnou soustavou částic a elektromagnetickým polem je počet dynamických stupňů volnosti. Pro soustavu částic existují souřadnicové proměnné odpovídající pozici každé částice a konjugované hybnostní proměnné. Jeden zformuluje klasickou Hamiltonovu pomocí těchto proměnných a získá kvantovou teorii tím, že promění souřadnicové a poziční proměnné v kvantové operátory a postuluje komutační vztahy mezi nimi jako

Pro elektromagnetické pole jsou analogem souřadnicových veličin hodnoty elektrického potenciálu a vektorového potenciálu v každém bodě . To je nespočetná množina veličin, protože je spojitá. To nám brání postulovat stejný komutační vztah jako dříve. Východiskem je nahrazení Kroneckerovy delty Diracovou deltovou funkcí. To nám nakonec dává komutační vztah přesně takový, jako je ten pro operátory v poli! Proto nakonec zacházíme s „poli“ a „částicemi“ stejně, za použití aparátu kvantové teorie pole. Pouze náhodou nebyly elektrony považovány za de Broglieho vlny a fotony řízené geometrickou optikou nebyly dominantní teorií, když byl vyvinut QFT.

Uskutečnilo se mnoho pokusů postavit kvantovou teorii pole na pevný matematický základ formulováním množiny axiomů pro ni. Tyto pokusy spadají do dvou širokých tříd.

První třída axiomů (především Wightmanovy, Osterwalderovy-Schraderovy a Haag-Kastlerovy systémy) se pokusila formalizovat pojem fyziků o „operátorem oceněném poli“ v kontextu funkční analýzy. Tyto axiomy se těšily omezenému úspěchu. Bylo možné dokázat, že jakýkoliv QFT splňující tyto axiomy splňoval určité obecné věty, jako například větu o spinové statistice a PCT věty. Bohužel se ukázalo mimořádně obtížné prokázat, že jakákoliv realistická teorie pole (např. kvantová chromodynamika) splňovala tyto axiomy. Většina teorií, které by mohly být ošetřeny těmito analytickými axiomy, byla fyzikálně triviální: omezena na nízkodimenzionální a postrádala zajímavou dynamiku. Konstruktivní kvantová teorie pole je konstrukce teorií, které splňují jednu z těchto množin axiomů. Důležitou práci v této oblasti odvedli v 70. letech Segal, Glimm, Jaffe a další.

V 80. letech byla navržena druhá vlna axiomů. Tyto axiomy (spojované nejvíce s Atíjou a Segalem, a zejména rozšířené Wittenem, Borcherdsem a Kontsevičem) jsou více geometrické povahy a více se podobají dráhovým integrálům fyziky. Nebyly pro fyziky nijak výjimečně užitečné, protože je stále mimořádně obtížné prokázat, že některé realistické QFT tyto axiomy splňují, ale našly mnoho uplatnění v matematice, zejména v teorii reprezentace, algebraické topologii a geometrii.

Nalezení správných axiomů pro kvantovou teorii pole je v matematice stále otevřený a obtížný problém. Ve skutečnosti jedna z Clay Millennium Prizes nabízí 1 000 000 dolarů každému, kdo prokáže existenci masové mezery v Yang-Millsově teorii. Zdá se pravděpodobné, že jsme dosud nepochopili základní struktury, které umožňují existenci Feynmanových integrálů cesty.

Některé z problémů a jevů, které nakonec renormalizace řešila, se ve skutečnosti objevily již dříve v klasické elektrodynamice bodových částic v 19. a na počátku 20. století. Základním problémem je, že pozorovatelné vlastnosti interagující částice nelze zcela oddělit od pole, které interakci zprostředkovává. Standardním klasickým příkladem je energie nabité částice. Nacpat konečné množství náboje do jednoho bodu vyžaduje nekonečné množství energie; to se projevuje jako nekonečná energie elektrického pole částice. Hustota energie roste do nekonečna, jak se člověk přibližuje k náboji.

Jeden částicový stav v kvantové teorii pole v sobě zahrnuje multičásticové stavy. To je nejjednodušeji demonstrováno zkoumáním vývoje jednoho částicového stavu na obrázku interakce—

Vezmeme-li překryv s počátečním stavem, zachováváme si sudé mocniny HI. Tyto pojmy jsou zodpovědné za změnu počtu částic během šíření, a proto jsou typicky produktem kvantové teorie pole. Korekce, jako jsou tyto, jsou začleněny do renormalizace vlnových funkcí a masové renormalizace. Podobné korekce interakce Hamiltonian, HI, zahrnují renormalizaci vrcholů, nebo, v moderním jazyce, efektivní teorii pole.

Doporučujeme:  Evoluční princip

Měřicí teorie je teorie, která připouští symetrii s lokálním parametrem. Například v každé kvantové teorii je globální fáze vlnové funkce libovolná a nepředstavuje něco fyzikálního, takže teorie je invariantní v rámci globální změny fází (přidávání konstanty k fázi všech vlnových funkcí, všude); to je globální symetrie. V kvantové elektrodynamice je teorie také invariantní v rámci lokální změny fáze, to znamená – lze posunout fázi všech vlnových funkcí tak, že v každém bodě časoprostoru je posun jiný. To je lokální symetrie. Nicméně, aby mohl existovat dobře definovaný derivační operátor, je třeba zavést nové pole, měřicí pole, které se také transformuje, aby lokální změna proměnných (fáze v našem příkladu) neovlivnila derivaci. V kvantové elektrodynamice je tímto měřicím polem elektromagnetické pole. Změna lokální změny proměnných se nazývá kalibrační transformace.

V kvantové teorii pole představuje excitace polí částice. Částice spojená s excitacemi kalibračního pole je kalibrační boson, což je v případě kvantové elektrodynamiky foton.

Stupně volnosti v kvantové teorii pole jsou lokální fluktuace polí. Existence kalibrační symetrie snižuje počet stupňů volnosti, jednoduše proto, že některé fluktuace polí mohou být transformovány na nulu kalibrační transformací, takže se rovnají tomu, že nemají vůbec žádné fluktuace, a proto nemají žádný fyzikální význam. Takové fluktuace se obvykle nazývají „nefyzické stupně volnosti“ nebo kalibrační artefakty; obvykle některé z nich mají zápornou normu, což je činí nedostatečnými pro konzistentní teorii. Proto, pokud má klasická teorie pole kalibrační symetrii, pak její kvantovaná verze (tj. odpovídající kvantová teorie pole) bude mít také tuto symetrii. Jinými slovy, kalibrační symetrie nemůže mít kvantovou anomálii. Pokud je kalibrační symetrie anomální (tj. není udržována v kvantové teorii), pak je teorie nekonzistentní: například v kvantové elektrodynamice, pokud by došlo k kalibrační anomálii, vyžadovalo by to výskyt fotonů s podélnou polarizací a polarizací v časovém směru, přičemž posledně jmenovaný má negativní normu, což činí teorii nekonzistentní; další možností by bylo, že by se tyto fotony objevily pouze v meziprocesech, ale ne v konečných produktech jakékoli interakce, což by učinilo teorii nekonzistentní a opět nekonzistentní (viz optická věta).

Obecně platí, že kalibrační transformace teorie sestává z několika různých transformací, které nemusejí být komutativní. Tyto transformace jsou společně popsány matematickým objektem známým jako kalibrační grupa. Infinitezimální kalibrační transformace jsou generátory kalibrační grupy. Proto je počet kalibračních bosonů třídou grupy (tj. počet generátorů tvořících ortogonální bázi).

Všechny základní interakce v přírodě jsou popsány kalibračními teoriemi. Jsou to:

Supersymetrie chrání hierarchie následovně: protože pro každou částici existuje superpartner se stejnou hmotností, každá smyčka v radiační korekci je zrušena smyčkou odpovídající jejímu superpartnerovi, což činí teorii UV konečnou.

Vzhledem k tomu, že dosud nebyli pozorováni žádní superpartneři, pokud supersymetrie existuje, musí být narušena (tzv. měkkým termínem, který supersymetrii narušuje, aniž by zničil její užitečné vlastnosti). Nejjednodušší modely tohoto narušení vyžadují, aby energie superpartnerů nebyla příliš vysoká; v těchto případech se očekává, že supersymetrie bude pozorována experimenty na Velkém hadronovém urychlovači.

Teorie kvantového pole a vědomí

Kvantová dynamika mozku je přístup k vysvětlení vědomí v kontextu kvantové teorie pole.

Podrobnější informace naleznete v článku o historii kvantové teorie pole.

Teorii kvantového pole vytvořil Dirac, když se na konci 20. let 20. století pokusil kvantovat elektromagnetické pole. Na počátečním vývoji pole se podíleli Fock, Jordan, Pauli, Heisenberg, Bethe, Tomonaga, Schwinger, Feynman a Dyson. Tato fáze vývoje vyvrcholila konstrukcí teorie kvantové elektrodynamiky v 50. letech 20. století.

Byla formulována a kvantována Gaugeova teorie, což vedlo ke sjednocení sil vtělených do standardního modelu částicové fyziky. Toto úsilí začalo v 50. letech prací Yanga a Millse, pokračoval Martinus Veltman a řada dalších během 60. let a dokončeno během 70. let prací Gerarda ‚t Hoofta, Franka Wilczeka, Davida Grosse a Davida Politzera.

Paralelní vývoj v chápání fázových přechodů ve fyzice kondenzované hmoty vedl ke studiu renormalizační skupiny. To zase vedlo k velké syntéze teoretické fyziky, která sjednotila teorie fyziky částic a kondenzované hmoty prostřednictvím kvantové teorie pole. To se týkalo práce Michaela Fishera a Lea Kadanoffa v 70. letech, která vedla k zásadní reformulaci kvantové teorie pole Kennetha Wilsona.

Studium kvantové teorie pole je živé a vzkvétá, stejně jako aplikace této metody na mnoho fyzikálních problémů. Zůstává jednou z nejzásadnějších oblastí teoretické fyziky dnes, poskytuje společný jazyk mnoha oborům fyziky. Fyzikové jako Wilczek, Politzer a Carl M. Bender jsou jedni z předních odborníků v oboru.

Klasická mechanika · Elektromagnetismus · Termodynamika · Statistická mechanika · Kvantová mechanika · Relativita · Fyzika vysokých energií · Fyzika kondenzovaných hmot · Atomová, molekulární a optická fyzika