Model je reprezentace nějakého aspektu reality, která je vytvořena pro určitý účel, a pokud reprezentace zahrnovala matematiku, je označována jako matematický model. Obvykle je model reprezentací velmi složité reálné situace, která je velmi zjednodušená pro podporu porozumění, a neexistuje jediný „správný“ model pro žádnou situaci. Například mapy a plány jsou modely, které ukazují reprezentaci reality, která zahrnuje pouze prvky relevantní pro účel mapy. Zahrnutím různých detailů jsou mapy vytvářeny pro různé účely. Modely nemusí být absolutně správné; musí fungovat pouze natolik dobře, aby byly skutečně užitečné. Například lineární funkce jsou často používány při modelování krátkých rozsahů, kde je lineární aproximace na skutečný stav věcí rozumná, protože jsou matematicky jednodušší než většina ostatních funkcí.
Jeden z popisů hlavních fází procesu matematického modelování je následující:
Specifikujte účel (např. dělat předpovědi, zlepšit porozumění);
Vytvořte model (např. identifikovat relevantní proměnné, specifikovat předpoklady, napsat matematickou funkci);
Proveďte matematiku ;
Interpretujte výsledky;
Vyhodnoťte model (např. revidujte předpoklady a upravte model).
Abstraktní model (nebo konceptuální model) je teoretický konstrukt, který reprezentuje fyzikální, biologické nebo sociální procesy, se souborem proměnných a souborem logických a kvantitativních vztahů mezi nimi. Modely v tomto smyslu jsou konstruovány tak, aby umožnily uvažování v idealizovaném logickém rámci o těchto procesech a jsou důležitou složkou vědeckých teorií. Idealizované zde znamená, že model může vytvářet explicitní předpoklady, o kterých je známo, že jsou do určité podrobnosti nepravdivé. Takové předpoklady mohou být odůvodněny tím, že zjednodušují model a zároveň umožňují tvorbu přijatelně přesných řešení, jak je znázorněno níže.
Hlavní článek: Matematický model
Tyto dva modely jsou příklady matematických modelů; následují příklady modelů, které nejsou matematické (nebo alespoň nejsou numerické).
Účelem modelu je poskytnout argumentační rámec pro aplikaci logiky a matematiky, který může být nezávisle vyhodnocen (například testováním) a který může být použit pro uvažování v řadě situací. Modely se používají v celých přírodních a společenských vědách, psychologii a filozofii vědy. Některé modely jsou převážně statistické (například portfoliové modely používané ve financích), jiné používají kalkul, lineární algebru nebo konvexnost, viz matematický model. Zvláštní politický význam mají modely používané v ekonomii, protože se používají k odůvodnění rozhodnutí týkajících se daní a vládních výdajů. To často vede k ostře diskutovaným debatám v akademickém světě i na politické scéně; viz například ekonomie na straně nabídky.
Abstraktní modely se používají především jako opakovaně použitelný nástroj pro objevování nových faktů, pro poskytování systematických logických argumentů jako vysvětlujících nebo pedagogických pomůcek, pro teoretické vyhodnocování hypotéz a pro vymýšlení experimentálních postupů pro jejich testování. Uvažování v rámci modelů je určováno souborem logických principů, i když jen zřídka je argumentace používána zcela matematicky.
V některých případech mohou být abstraktní modely použity k realizaci počítačových simulací, které ilustrují chování systému v čase. Simulace jsou používány všude ve vědě, zejména v ekonomii, strojírenství, biologii, ekologii atd., k objevování účinků změny proměnné. Platnost různých simulačních metodik je předmětem diskuse ve filozofii a metodologii vědy.
Konceptuální model je reprezentace nějakého jevu logickými a matematickými objekty, jako jsou funkce, vztahy, tabulky, stochastické procesy, vzorce, axiomové systémy, pravidla odvození atd. Konceptuální model má ontologii, tedy množinu výrazů v modelu, které mají označovat nějaký aspekt modelovaného objektu. Zde jsme záměrně neurčití, jak jsou výrazy v modelu konstruovány a zejména jaká je vlastně logická struktura vzorců v modelu. Ve skutečnosti jsme vůbec nepředpokládali, že by modely byly zakódovány v nějakém formálním logickém systému, i když se touto otázkou stručně zabýváme níže. Navíc zde uvedená definice nebere ohled na to, zda by dva výrazy skutečně měly označovat stejnou věc. Všimněte si, že tento pojem ontologie je odlišný od (a slabší než) ontologie, jak je někdy chápána ve filozofii; v našem smyslu neexistuje žádné tvrzení, že výrazy ve skutečnosti označují cokoliv, co existuje fyzicky nebo časoprostorově (abychom použili formulaci W. Quinea).
Například stochastický model cen akcií zahrnuje ve své ontologii vzorový prostor, náhodné veličiny, průměr a rozptyl cen akcií, různé regresní koeficienty atd. Modely kvantové mechaniky, ve kterých jsou čisté stavy reprezentovány jako jednotkové vektory v Hilbertově prostoru, zahrnují ve svých ontologiích pozorovatelné, dynamické, měřicí operátory atd. Je možné, že pozorovatelné a stavy kvantové mechaniky jsou stejně fyzikálně reálné jako elektrony, které modelují, ale přijetím tohoto čistě formálního pojmu ontologie se této otázce zcela vyhýbáme.
Modelování, zejména vědecké modelování, označuje proces generování modelu jako koncepční reprezentaci nějakého jevu, jak je popsáno výše.
Typicky model odkazuje pouze na některé aspekty daného jevu a dva modely téhož jevu mohou být v podstatě odlišné, to znamená, že rozdíl je více než jen prosté přejmenování. To může být způsobeno rozdílnými požadavky koncových uživatelů modelu nebo koncepčními či estetickými rozdíly modelářů a rozhodnutími učiněnými během procesu modelování. Estetické úvahy, které mohou ovlivnit strukturu modelu, mohou být modelářovou preferencí redukované ontologie, preferencemi ohledně pravděpodobnostních modelů vůči deterministickým, diskrétní vůči spojitému času atd. Z tohoto důvodu uživatelé modelu potřebují porozumět původnímu účelu modelu a předpokladům jeho platnosti.
Po nalezení modelu pro nějaký požadovaný aspekt reality může sloužit jako základ pro simulaci, jediný způsob neinvazivního zkoumání fyzikální reality kromě experimentů v reálném světě.