Podrobnosti naleznete v kinetice Michaelis-Menten
Nelineární regrese je ve statistice forma regresní analýzy, ve které jsou observační data modelována funkcí, která je nelineární kombinací parametrů modelu a závisí na jedné nebo více nezávislých proměnných. Data jsou opatřena metodou postupných aproximací.
Data se skládají z nezávislých proměnných bez chyb (vysvětlující proměnná), x a jejich přidružených sledovaných závislých proměnných (proměnná odezvy), y. ys jsou modelovány jako náhodná proměnná se střední nelineární funkcí f(x,β). Systematická chyba může být přítomna, ale její zpracování je mimo rozsah regresní analýzy. Pokud nezávislé proměnné nejsou bez chyb, jedná se o model chyb v proměnných, také mimo tento rozsah.
Například model Michaelis-Menten pro enzymovou kinetiku
kde je parametr , je parametr a [S] je nezávislá proměnná, x. Tato funkce je nelineární, protože nemůže být vyjádřena jako lineární kombinace s.
Mezi další příklady nelineárních funkcí patří exponenciální funkce, logaritmické funkce, trigonometrické funkce, mocninné funkce, Gaussova funkce a Lorentzianovy křivky. Některé funkce, například exponenciální nebo logaritmické funkce, mohou být transformovány tak, aby byly lineární. Při takové transformaci lze provést standardní lineární regresi, ale je třeba ji aplikovat opatrně. Podrobnosti viz Linearizace níže.
Obecně neexistuje uzavřený výraz pro nejvhodnější parametry, jako je tomu u lineární regrese. Obvykle se pro určení nejvhodnějších parametrů používají algoritmy numerické optimalizace. Opět na rozdíl od lineární regrese může existovat mnoho lokálních minim funkce, která má být optimalizována. V praxi se odhadované hodnoty parametrů používají ve spojení s optimalizačním algoritmem k pokusu najít globální minimum součtu čtverců.
Podrobnosti týkající se nelineárního datového modelování viz nejmenších čtverců a nelineárních nejmenších čtverců.
Základem tohoto postupu je předpoklad, že model lze aproximovat lineární funkcí.
kde . Z toho vyplývá, že nejméně čtverců odhadci jsou dány
Statistiky nelineární regrese se vypočítávají a používají jako ve statistice lineární regrese, ale ve vzorcích se místo X používá J. Lineární aproximace zavádí do statistiky zkreslení. Proto je při interpretaci statistik odvozených z nelineárního modelu nutná větší opatrnost než obvykle.
Obyčejné a vážené nejmenších čtverců
Nejlépe vyhovující křivka je často považována za křivku, která minimalizuje součet čtvercových zbytků. To je (obyčejný) přístup nejmenších čtverců (OLS). Avšak v případech, kdy závislá proměnná nemá konstantní rozptyl, může být součet vážených čtvercových zbytků minimalizován; viz vážené nejmenších čtverců. Každé závaží by se ideálně mělo rovnat převrácené hodnotě rozptylu pozorování, ale závaží lze přepočítat při každé iteraci v iteračně váženém algoritmu nejmenších čtverců.
Některé nelineární regresní problémy mohou být přesunuty do lineární domény vhodnou transformací modelové formulace.
Vezměme si například problém nelineární regrese (ignorování chyby):
Vezmeme-li logaritmus obou stran, to se stává
Pro Michaelis-Mentenovu kinetiku platí lineární Lineweaverův–Burkův graf
z 1/v proti 1/[S] byl hojně používán. Je však velmi citlivý na chyby dat a je silně zaujatý k zasazení dat do určitého rozsahu nezávislé proměnné, [S], jeho použití je silně zavrhované.
Průměr (Aritmetika, Geometrie) – Medián – Režim – Výkon – Odchylka – Směrodatná odchylka
Testování hypotéz – Význam – Nullova hypotéza/Alternativní hypotéza – Chyba – Z-test – Studentův t-test – Maximální pravděpodobnost – Standardní skóre/Z skóre – P-hodnota – Analýza rozptylu
Funkce přežití – Kaplan-Meier – Logrank test – Četnost selhání – Proporcionální modely nebezpečnosti
Normal (zvonová křivka) – Poisson – Bernoulli
Matoucí veličina – Pearsonův korelační koeficient produktového momentu – Rank korelace (Spearmanův korelační koeficient hodnosti, Kendall tau korelační koeficient hodnosti)
Lineární regrese – Nelineární regrese – Logistická regrese