Pravděpodobnostní axiomy

Pravděpodobnost P některé události E, označené , je definována s ohledem na „vesmír“, nebo vzorek prostoru , všech možných elementárních událostí takovým způsobem, že P musí splňovat Kolmogorovovův axiomy.

Alternativně může být pravděpodobnost interpretována jako míra na σ-algebře podmnožin výběrového prostoru, přičemž těmito podmnožinami jsou události, takže míra celé množiny se rovná 1. Tato vlastnost je důležitá, protože dává vzniknout přirozenému konceptu podmíněné pravděpodobnosti. Každá množina s nenulovou pravděpodobností (tedy P(A)> 0 ) definuje jinou pravděpodobnost.

na prostoru. To se obvykle čte jako „pravděpodobnost B vzhledem k A“. Pokud je podmíněná pravděpodobnost B vzhledem k A stejná jako pravděpodobnost B, pak A a B jsou prý nezávislé.

V případě, že vzorkovací prostor je konečný nebo nespočetně nekonečný, lze pravděpodobnostní funkci definovat také svými hodnotami na elementárních událostech, kde

Následující tři axiomy jsou známé jako Kolmogorovovy axiomy podle Andreje Kolmogorova, který je vyvinul. Máme základní množinu Ω, sigma-algebru F podmnožin Ω a funkci P přiřazující reálná čísla členům F. Členové F jsou ty podmnožiny Ω, které se nazývají „události“.

To znamená, že pravděpodobnost události je nezáporné reálné číslo.

To znamená, že pravděpodobnost, že dojde k nějaké elementární události v celé sadě vzorků, je 1. Přesněji řečeno, mimo sadu vzorků nedochází k žádným elementárním událostem.

To je často přehlíženo v některých chybných výpočtech pravděpodobnosti; pokud nelze přesně definovat celou množinu vzorků, pak nelze definovat ani pravděpodobnost jakékoli podmnožiny.

To znamená, že pravděpodobnost množiny událostí, která je spojením ostatních nesouvislých podmnožin, je součtem pravděpodobností těchto podmnožin. Tomu se říká σ-additivita. Pokud existuje nějaký překryv mezi podmnožinami, tento vztah neplatí. Někteří autoři uvažují pouze o konečně-aditivních pravděpodobnostních prostorech, v takovém případě stačí algebra množin, spíše než σ-algebra.

Pro algebraickou alternativu k Kolmogorovovův přístup, viz algebra náhodných proměnných.

Doporučujeme:  Rakovina

Tomu se říká sčítací zákon pravděpodobnosti, neboli sčítací pravidlo.
To znamená, že pravděpodobnost, že A nebo B se stane, je součtem
pravděpodobnosti, že A se stane a že B se stane, minus
pravděpodobnost, že A a B se stane. To lze rozšířit na princip inkluze-vyloučení.

To znamená, že pravděpodobnost, že se žádná událost nestane, je 1 minus pravděpodobnost, že se tak stane.

Při použití výše definované podmíněné pravděpodobnosti z toho také bezprostředně vyplývá, že

To znamená, že pravděpodobnost, že A a B se stane je pravděpodobnost,
že A se stane, krát pravděpodobnost, že B se stane vzhledem,
že A se stalo, tento vztah dává Bayes‘ věta. To pak vyplývá, že