Teorie konjunkturálního měření (také známá jako konjunkturální měření nebo aditivní konjunkturální měření) je obecná, formální teorie spojité veličiny. Nezávisle ji objevili francouzský ekonom Gérard Debreu (1960) a americký matematický psycholog R. Duncan Luce a statistik John Tukey (Luce & Tukey 1964).
Teorie se týká situace, kdy se alespoň dva přirozené atributy, A a X, neinteraktivně vztahují ke třetímu atributu, P. Nepožaduje se, aby A, X nebo P byly známy jako veličiny. Prostřednictvím specifických vztahů mezi úrovněmi P lze stanovit, že P, A a X jsou spojité veličiny. Teorii konjunktivního měření lze proto použít ke kvantifikaci atributů za empirických okolností, kdy není možné kombinovat úrovně atributů za použití operace side-by-side nebo zřetězení. Kvantifikace psychologických atributů, jako jsou postoje, kognitivní schopnosti a užitečnost, je proto logicky věrohodná. To znamená, že vědecké měření psychologických atributů je možné. To znamená, podobně jako u fyzikálních veličin, že velikost psychologické veličiny může být případně vyjádřena jako součin reálného čísla a jednotkové velikosti.
Aplikace teorie konjunktivního měření v psychologii je však omezená. Bylo argumentováno, že je to způsobeno vysokou úrovní formální matematiky (např. Cliff 1992) a že teorie nemůže počítat s „hlučnými“ daty typicky objevenými v psychologickém výzkumu (např. Perline, Wright & Wainer 1979). Bylo argumentováno, že Raschův model je stochastickou variantou teorie konjunktivního měření (např. Brogden 1977; Embretson & Reise 2000; Fischer 1995; Keats 1967; Kline 1998; Scheiblechner 1999), nicméně toto bylo zpochybněno (např. Karabatsos, 2001; Kyngdon, 2008). V minulém desetiletí byly vyvinuty restriktivní metody pro provádění pravděpodobnostních testů axiomů zrušení konjunktivního měření (např. Karabatsos, 2001; Davis-Stober, 2009).
Teorie konjunkturálního měření je (odlišná, ale) spojena s konjunkturální analýzou, což je statisticko-experimentální metodika používaná v marketingu k odhadu parametrů aditivních užitných funkcí. Respondentům jsou prezentovány různé multiatributové podněty a k měření jejich preferencí o prezentovaných podnětech se používají různé metody. Koeficienty užitné funkce se odhadují pomocí alternativních regresních nástrojů.
Ve třicátých letech založila Britská asociace pro vědecký pokrok Fergusonův výbor, aby zkoumal možnost vědeckého měření psychologických atributů. Vlivným členem výboru byl britský fyzik a teoretik měření Norman Robert Campbell. Ve své závěrečné zprávě (Ferguson, et al., 1940) Campbell a výbor došli k závěru, že protože psychologické atributy nejsou schopny udržet zřetězovací operace, nemohou být takovými atributy spojité veličiny. Proto nemohou být vědecky měřeny. To mělo důležité důsledky pro psychologii, z nichž nejvýznamnější bylo vytvoření operační teorie měření harvardským psychologem Stanleym Smithem Stevensem v roce 1946. Stevensova nevědecká teorie měření je široce považována za definitivní v psychologii a behaviorálních vědách obecně (Michell 1999).
Zatímco německý matematik Otto Hölder (1901) předpokládal rysy teorie konjunkturálního měření, teprve po zveřejnění Luceho & Tukeyho seminární práce z roku 1964 se teorie dočkala svého prvního kompletního výkladu. Luceho & Tukeyho prezentace byla algebraická, a proto je považována za obecnější než Debreuova (1960) topologická práce, přičemž druhá z nich je zvláštním případem první (Luce & Suppes 2002). V prvním článku inauguračního čísla časopisu Journal of Mathematical Psychology, Luce & Tukey 1964 prokázal, že pomocí teorie konjunkturálního měření, atributy, které nejsou schopny zřetězení, mohou být kvantifikovány. N.R. Campbell a Fergusonův výbor tak prokázali, že se mýlili. To, že daný psychologický atribut je spojitá veličina, je logicky koherentní a empiricky ověřitelná hypotéza.
Objevují se v dalším čísle stejného časopisu byly důležité dokumenty Dana Scott (1964), kteří navrhli hierarchii storno podmínky pro nepřímé testování na solventnost a Archimedean axiomy, a David Krantz (1964), kteří spojené Luce & Tukey práce, že na Hölder (1901).
Práce se brzy zaměřily na rozšíření teorie konjunkturálního měření tak, aby zahrnovala více než jen dva atributy. Krantz 1968 a Amos Tversky (1967) vyvinuli to, co se stalo známým jako polynomiální konjunkturální měření, přičemž Krantz 1968 poskytl schéma, s jehož pomocí bylo možné konstruovat konjunkturální měřicí struktury tří nebo více atributů. Později se teorie konjunkturálního měření (ve svých dvou variabilních, polynomiálních a n-komponentních formách) dočkala důkladného a vysoce technického zpracování vydáním prvního svazku Základů měření, který Krantz, Luce, Tversky a filozof Patrick Suppes cowrote (Krantz et al. 1971).
Krátce po publikaci Krantze, et al., (1971) se práce zaměřila na vývoj „teorie chyb“ pro teorii kongruentního měření. Byly provedeny studie o počtu kongruentních polí, která podporovala pouze jednorázové zrušení a jednorázové i dvojité zrušení (Arbuckle & Larimer 1976; McClelland 1977). Pozdější výčtové studie se zaměřily na polynomiální kongruentní měření (Karabatsos & Ullrich 2002; Ullrich & Wilson 1993). Tyto studie zjistily, že je vysoce nepravděpodobné, že by axiomy teorie kongruentního měření byly splněny náhodně, za předpokladu, že byly identifikovány více než tři úrovně alespoň jednoho z atributů složky.
Joel Michell (1988) později identifikoval, že „žádná zkouška“ třídy testů dvojitého storno axiomu byla prázdná. Každý případ dvojitého storna je tedy buď akceptací, nebo odmítnutím axiomu. Michell také v této době napsal netechnický úvod do teorie conjoint measurement (Michell 1990), který také obsahoval schéma pro odvození vyšších storno podmínek na základě Scottovy (1964) práce. Použitím Michellova schématu, Ben Richards (Kyngdon & Richards, 2007) objevil, že některé případy trojitého storno axiomu jsou „nesouvislé“, protože odporují jednomu storno axiomu. Navíc identifikoval mnoho případů trojitého storna, které jsou triviálně pravdivé, pokud je dvojité storno podporováno.
Axiomy teorie konjunkturálního měření nejsou stochastické; a vzhledem k ordinálním omezením, která na data kladou axiomy pro zrušení, musí být použita metodika pro odvození s omezením řádu (Iverson & Falmagne 1985). George Karabatsos a jeho spolupracovníci (Karabatsos, 2001; Karabatsos & Sheu 2004) vyvinuli bayesovskou Markovovu řetězovou metodiku Monte Carlo pro psychometrické aplikace. Karabatsos & Ullrich 2002 demonstrovali, jak by tento rámec mohl být rozšířen na polynomiální konjunkturální struktury. Karabatsos (2005) zobecnil tuto práci svým multinomiálním Dirichletovým rámcem, který umožnil pravděpodobnostní testování mnoha ne-stochastických teorií matematické psychologie. Nedávno Clintin Davis-Stober (2009) vyvinul frekvenční rámec pro odvození s omezením řádu, který může být také použit pro testování axiomů pro zrušení.
Snad nejpozoruhodnější (Kyngdon, 2011) použití teorie konjunkturálního měření bylo v teorii vyhlídek navržené Izraelci – americkými psychology Danielem Kahnemanem a Amosem Tverským (Kahneman & Tversky, 1979). Teorie vyhlídek byla teorie rozhodování za rizika a nejistoty, která počítala s výběrovým chováním, jako je Allaisův paradox. David Krantz napsal formální důkaz k teorii vyhlídek pomocí teorie konjunkturálního měření. V roce 2002 Kahneman obdržel Nobelovu pamětní cenu za ekonomii za teorii vyhlídek (Birnbaum, 2008).
Měření a kvantifikace
Klasická / standardní definice měření
Ve fyzice a metrologii je standardní definicí měření odhad poměru mezi velikostí spojité veličiny a jednotkovou velikostí stejného druhu (de Boer, 1994/95; Emerson, 2008). Například výrok „Petrova chodba je dlouhá 4 m“ vyjadřuje měření dosud neznámé délkové velikosti (délky chodby) jako poměr jednotky (v tomto případě metru) k délce chodby. Reálné číslo „4“ je reálné číslo v přísném matematickém smyslu tohoto pojmu.
U některých jiných veličin je jednodušší nebo bylo konvencí odhadnout poměry mezi atributovými rozdíly. Vezměme si například teplotu. Ve známých každodenních případech se teplota měří pomocí přístrojů kalibrovaných buď ve Fahrenheitově nebo Celsiově stupnici. To, co se skutečně měří takovými přístroji, jsou velikosti teplotních rozdílů. Například Anders Celsius definoval jednotku Celsiovy stupnice jako 1/100 rozdílu teploty mezi bodem tuhnutí a bodem varu vody na úrovni moře. Polední měření teploty 20 stupňů Celsia je jednoduše poměr jednotky Celsia k polední teplotě.
Formálně vyjádřené vědecké měření je:
kde Q je velikost veličiny, r je reálné číslo a [Q] je jednotková velikost stejného druhu.
Tato klasická/standardní definice měření nebere v úvahu, že měření v jedné fyzikální sféře je ovlivněno jinými fyzikálními sférami, jak dokazuje Heisenbergův princip neurčitosti, a Einsteinovy teorie speciální a obecné relativity. Například z Boyleova zákona víme, že měření objemu je ovlivněno teplotou, tlakem atd. Galon benzínu měřený v zimě, se bude zvětšovat objemem do léta a naopak. Samotná definice teploty ve stupních Celsia je založena na teplotě varu vody na SEA LEVEL, ale počítáme s tím obvykle v našem měření teploty? Z Einsteinových teorií také víme, že délka není konstantní pro žádný objekt v pohybu a všechny objekty ve vesmíru jsou v různém pohybu. Podobně pro čas. Proto není možné, aby jakékoli měření (fyzické nebo psychické) bylo poměrem mezi velikostí spojité veličiny a jednotkovou velikostí stejného druhu.
Rozsáhlé a intenzivní množství
Délka je veličina, pro kterou existují operace přirozeného zřetězení. To znamená, že můžeme kombinovat vedle sebe délky tuhých ocelových tyčí, například tak, aby byly snadno pozorovány aditivní vztahy mezi délkami. Máme-li čtyři délky 1m takových tyčí, můžeme je umístit od konce k konci, aby vznikla délka 4m. Množství schopná zřetězení jsou známa jako extenzivní veličiny a zahrnují hmotnost, čas, elektrický odpor a rovinný úhel. Ty jsou známy jako základní veličiny ve fyzice a metrologii.
Teplota je veličina, u které chybí zřetězení. Nemůžeme nalít objem vody o teplotě 40 stupňů Celsia do jiného kbelíku s vodou o teplotě 20 stupňů Celsia a očekávat, že bude mít objem vody o teplotě 60 stupňů Celsia. Teplota je tedy intenzivní veličina.
Psychologické atributy, stejně jako teplota, jsou považovány za intenzivní, protože nebyl nalezen žádný způsob, jak takové atributy zřetězit. To však neznamená, že takové atributy nejsou kvantifikovatelné. Teoretický prostředek k tomu poskytuje teorie konjunkturálního měření.
Není známo, že buď A nebo X je spojitá veličina, nebo že obě jsou. Nechť a, b a c reprezentují tři nezávislé, identifikovatelné úrovně A; a nechť x, y a z reprezentují tři nezávislé, identifikovatelné úrovně X. Třetí atribut, P, se skládá z devíti uspořádaných párů úrovní A a X. To je, (a, x), (b, y),…, (c, z) (viz obrázek 1). Kvantifikace A, X a P závisí na chování vztahu držení na úrovních P. Tyto vztahy jsou prezentovány jako axiomy v teorii conjoint měření.
Jediné zrušení nebo nezávislost axiom
Obrázek 1: Grafické znázornění axiomu jediného zrušení. Je vidět, že a > b, protože (a, x) > (b, x), (a, y) > (b, y) a (a, z) > (b, z).
Jediný storno axiom je následující. Vztah na P splňuje jediné storno tehdy a jen tehdy, jestliže pro všechny a a b v A, a x v X, (a, x) > (b, x) je implikován pro každé w v X tak, že (a, w) > (b, w). Podobně pro všechny x a y v X a a v A, (a, x) > (a, y) je implikován pro každé d v A tak, že (d, x) > (d, y). To znamená, že pokud jsou seřazeny nějaké dvě úrovně, a, b, pak toto pořadí platí bez ohledu na každou úroveň X.
Jednoduché zrušení se nazývá proto, že jediný společný faktor dvou úrovní P se vyruší tak, aby na zbývajících prvcích zůstal stejný ordinální vztah. Například a se vyruší z nerovnosti (a, x) > (a, y) tak, jak je společná pro obě strany, takže x > y. Krantz, et al., (1971) původně nazýval tento axiom nezávislostí, protože ordinální vztah mezi dvěma úrovněmi atributu je nezávislý na jakékoliv a všech úrovních druhého atributu. Nicméně vzhledem k tomu, že termín nezávislost způsobuje záměnu se statistickými pojmy nezávislosti, jednorázové zrušení je vhodnější termín. Obrázek 1 je grafické znázornění jedné instance jednorázového zrušení.
Uspokojení jediného storno axiomu je pro kvantifikaci atributů A a X nezbytné, ale ne dostatečné. Pouze prokazuje, že úrovně A, X a P jsou seřazeny. Neformálně jedno storno dostatečně neomezuje pořadí na úrovních P pro kvantifikaci A a X. Například zvažte seřazené dvojice (a, x), (b, x) a (b, y). Pokud jedno storno platí, pak (a, x) > (b, x) a (b, x) > (b, y). Tudíž přes tranzitivitu (a, x) > (b, y). Vztah mezi těmito dvěma posledně jmenovanými seřazenými dvojicemi, neformálně levo-nakloněnou diagonálou, je určen splněním jediného storno axiomu, stejně jako všechny vztahy „levo-nakloněné diagonály“ na P.
Obrázek druhý: A Luce – Tukey příklad dvojitého zrušení, ve kterém následná nerovnost (zlomená čára šipka) není v rozporu se směrem obou předchozích nerovností (pevné čáry šipky), tak podporuje axiom.
Jednoduché zrušení neurčuje pořadí vztahů „pravoúhlé úhlopříčky“ na P. I když přechodností a jednorázovým zrušením bylo zjištěno, že (a, x) > (b, y), vztah mezi (a, y) a (b, x) zůstává neurčený. Může se stát, že buď (b, x) > (a, y) nebo (a, y) > (b, x) a taková nejednoznačnost nemůže zůstat nevyřešena.
Axiom dvojího zrušení se týká třídy takových vztahů na P, ve kterých se společné podmínky dvou předcházejících nerovností vyruší, aby vznikla třetí nerovnost. Vezměme si příklad dvojího zrušení graficky znázorněný na obrázku dvě. Předchozí nerovnosti tohoto konkrétního případu dvojího zrušení jsou:
je pravda tehdy a jen tehdy, jestliže ; a
je pravda tehdy a jen tehdy, jestliže , Z toho vyplývá, že:
Zrušení společných podmínek má za následek:
Proto dvojí zrušení může získat pouze tehdy, když A a X jsou množství.
Dvojité zrušení je splněno tehdy a jen tehdy, pokud následná nerovnost není v rozporu s předchozími nerovnostmi. Například pokud následná nerovnost výše byla:
pak dvojí zrušení by bylo porušeno (Michell 1988) a nebylo možné dojít k závěru, že A a X jsou množství.
Dvojité zrušení se týká chování vztahů „pravá nakloněná diagonála“ na P, protože ty nejsou logicky spojeny s jediným zrušením. (Michell 2009) zjistil, že když se úrovně A a X blíží nekonečnu, pak počet pravých nakloněných diagonálních vztahů je polovinou celkového počtu vztahů na P. Tudíž pokud A a X jsou veličiny, polovina počtu vztahů na P je způsobena ordinálními vztahy na A a X a polovina je způsobena aditivními vztahy na A a X (Michell 2009).
Počet případů dvojího zrušení je závislý na počtu úrovní identifikovaných pro A i X. Pokud existuje n úrovní A a m X, pak počet případů dvojího zrušení je n! × m!. Proto, pokud n = m = 3, pak 3! × 3! = 6 × 6 = 36 instancí celkem dvojího zrušení. Nicméně všechny tyto instance kromě 6 jsou triviálně pravdivé, pokud je jediné zrušení pravdivé, a pokud je někdo z těchto 6 instancí pravdivý, pak jsou pravdivé všechny. Jeden takový příklad je znázorněn na obrázku dvě. (Michell 1988) nazývá tento případ Luce – Tukey instancí dvojího zrušení.
Pokud bylo jediné zrušení testováno nejprve na souboru dat a je zjištěno, pak je třeba testovat pouze Luce – Tukey instancí dvojího zrušení. Pro n úrovní A a m X je počet Luce – Tukey instancí dvojího zrušení . Například, pokud n = m = 4, pak existuje 16 takových instancí. Pokud n = m = 5 pak existuje 100. Čím větší je počet úrovní v A i X, tím méně je pravděpodobné, že axiomy zrušení jsou splněny náhodně (Arbuckle & Larimer 1976; McClelland 1977) a tím přísnějším testem veličiny se stává aplikace conjoint měření.
Řešitelnost a Archimédovy axiomy
Obrázek třetí: Případ trojnásobného zrušení.
Samotné jednorázové a dvojité storno axiomy nepostačují ke stanovení kontinuálního množství. Musí být také zavedeny další podmínky, aby byla zajištěna kontinuita. Jedná se o solventnost a Archimédovy podmínky.
Řešitelnost znamená, že pro libovolné tři prvky a, b, x a y existuje čtvrtá taková, že rovnice a x = b y je vyřešena, odtud název podmínky. Řešitelnost je v podstatě požadavek, aby každá úroveň P měla prvek v A a prvek v X. Řešitelnost prozrazuje něco o úrovních A a X – jsou buď husté jako reálná čísla, nebo rovnoměrně rozmístěné jako celá čísla (Krantz et al. 1971).
Archimédova podmínka je následující. Nechť I je množina po sobě jdoucích celých čísel, buď konečných nebo nekonečných, kladných nebo záporných. Úrovně A tvoří standardní posloupnost tehdy a jen tehdy, pokud existuje x a y v X kde x ≠ y a pro všechna celá i a i + 1 v I:
Co to v podstatě znamená, že pokud x je větší než y, například, existují úrovně A, které lze nalézt, který dělá dva příslušné objednané páry, úrovně P, stejné.
Archimédova podmínka tvrdí, že neexistuje nekonečně největší úroveň P, a tak tedy neexistuje žádná největší úroveň buď A nebo X. Tato podmínka je definice kontinuity dána starověkým řeckým matematikem Archimédem, který napsal, že „Dále, z nerovných linek, nerovných povrchů, a nerovných pevných látek, tím větší převyšuje tím méně o takovou velikost, která, když se přidá k sobě, může být provedeno, aby překročila jakoukoli přidělenou velikost mezi těmi, které jsou srovnatelné s sebou “ (Na Koule a válec, Kniha I, Předpoklad 5). Archimédes uznal, že pro jakékoli dvě velikosti spojité veličiny, z nichž jedna je menší než druhá, menší by mohla být vynásobena celým číslem taková, že se rovná větší velikosti. Euklides uvedl, že Archimédova podmínka jako axiom v knize V z prvků, v níž Euklides představil svou teorii spojité veličiny a měření.
Protože zahrnují infinitistické pojmy, rozpustnost a Archimédovy axiomy nejsou přístupné přímému testování v žádné konečné empirické situaci. To však neznamená, že tyto axiomy nemohou být vůbec empiricky testovány. Scottova (1964) konečná množina stornovacích podmínek může být použita k nepřímému testování těchto axiomů; rozsah takového testování je empiricky určen. Například, pokud A i X mají tři úrovně, nejvyšší stornovací axiom v rámci Scottovy (1964) hierarchie, který nepřímo testuje solventnost a Archimédovost, je dvojité stornování. Se čtyřmi úrovněmi je to trojité stornování (obrázek 3). Pokud jsou takové testy splněny, je možná konstrukce standardních sekvencí v rozdílech na A a X. Proto mohou být tyto atributy husté podle reálných čísel nebo rovnoměrně rozložené podle celých čísel (Krantz et al. 1971). Jinými slovy, A a X jsou spojité veličiny.
Vztah k vědecké definici měření
Uspokojení podmínek konjunkturálního měření znamená, že měření úrovní A a X lze vyjádřit buď jako poměry mezi magnitudami, nebo jako poměry mezi rozdíly magnitud. Nejčastěji se to interpretuje jako druhé, vzhledem k tomu, že většina behaviorálních vědců se domnívá, že jejich testy a průzkumy „měří“ atributy na takzvaných „intervalových stupnicích“ (Kline 1998). To znamená, že se domnívají, že testy neidentifikují absolutní nulové úrovně psychologických atributů.
Formálně, pokud P, A a X tvoří aditivní spojité struktury, pak existují funkce z A a X do reálných čísel taková, že pro a a b v A a x a y v X:
Pokud a jsou další dvě reálné oceňované funkce splňující výše uvedený výraz, existují a reálné oceňované konstanty splňující:
Tedy a jsou měření A a X jedinečná až do afinní transformace (tj. každé je intervalovou stupnicí ve Stevensově (1946) hantýrce). Matematický důkaz tohoto výsledku je uveden v (Krantz et al. 1971, s. 261-6).
To znamená, že úrovně A a X jsou velikostní rozdíly měřené ve vztahu k nějakému druhu jednotkového rozdílu. Každá úroveň P je rozdíl mezi úrovněmi A a X. Nicméně, z literatury není jasné, jak by jednotka mohla být definována v rámci aditivního spojitého kontextu. van der Ven 1980 navrhl metodu škálování pro spojité struktury, ale také se o jednotce nehovořilo.
Teorie konjunktivního měření se však neomezuje pouze na kvantifikaci rozdílů. Pokud je každá úroveň P součinem úrovně A a úrovně X, pak P je jiná veličina, jejíž měření je vyjádřeno jako velikost A na jednotku velikosti X. Například A se skládá z hmotností a X se skládá z objemů, pak P se skládá z hustot měřených jako hmotnost na jednotku objemu. V takových případech by se zdálo, že jedna úroveň A a jedna úroveň X musí být identifikovány jako orientační jednotka před použitím měření spojitých spojů.
Jestliže každá úroveň P je součtem úrovně A a úrovně X, pak P je stejná veličina jako A a X. Například A a X jsou délky, takže tudíž musí být P. Všechny tři tedy musí být vyjádřeny ve stejné jednotce. V takových případech by se zdálo, že úroveň buď A nebo X musí být předběžně označena jako jednotka. Proto by se zdálo, že použití měření spojitých spojů vyžaduje nějakou předchozí deskriptivní teorii příslušného přírodního systému.
Aplikace měření spojivky
Empirické aplikace teorie conjoint měření byly řídké (Cliff 1992; Michell 2009).
Levelt, Riemersma & Bunt 1972 aplikovali teorii na psychofyziku binární hlasitosti. Zjistili, že axiom dvojitého zrušení byl odmítnut. Gigerenzer & Strube 1983 provedli podobný výzkum a replikovali Levelt, et al.‘ (1972) nálezy.
Michell 1990 aplikoval teorii na L.L. Thurstona (1927) teorie párových srovnání, multidimenzionálního škálování a Coombsovy (1964) teorie unidimenzionálního rozkládání. Našel podporu axiomů zrušení pouze s Coombsovou (1964) teorií. Nicméně statistické techniky použité Michellem (1990) při testování Thurstonovy teorie a multidimenzionálního škálování nebraly v úvahu ordinální omezení uložená axiomy zrušení (van der Linden 1994).
(Johnson 2001), Kyngdon (2006), Michell (1994) a (Sherman 1993) testovali axiomy zrušení na interstimulační střednicové řády získané použitím Coombsovy (1964) teorie jednorozměrného rozvinutí. Coombsova teorie ve všech třech studiích byla aplikována na soubor šesti výroků. Tito autoři zjistili, že axiomy byly splněny, nicméně se jednalo o aplikace zaujaté směrem k pozitivnímu výsledku. U šesti podnětů je pravděpodobnost, že mezistimulační střednicové pořadí vyhovuje dvojitým axiomům zrušení náhodně 0,5874 (Michell, 1994). To není nepravděpodobná událost. Kyngdon & Richards (2007) zaměstnali osm výroků a zjistili, že interstimulační střednicové řády odmítají podmínku dvojitého zrušení.
Perline, Wright & Wainer 1979 aplikovali konjunkturální měření na údaje o odpovědích položek na dotazník podmínečného propuštění odsouzených a na údaje z testů inteligence shromážděné od dánských jednotek. Zjistili značné porušení axiomů zrušení v údajích z dotazníků podmínečného propuštění, ale ne v údajích z testů inteligence. Navíc zaznamenali údajné „ne – testovací“ případy dvojího zrušení. Interpretujeme-li je správně jako případy na podporu dvojího zrušení (Michell, 1988), jsou výsledky Perline, Wright & Wainer 1979 lepší, než se domnívali.
Stankov & Cregan 1993 aplikovali konjunkturální měření na výkon při úkolech dokončení posloupnosti. Sloupce jejich konjunkturálních polí (X) byly definovány požadavkem kladeným na kapacitu pracovní paměti prostřednictvím zvyšujícího se počtu držitelů míst v pracovní paměti při úkolech dokončení dopisové řady. Řádky byly definovány úrovněmi motivace (A), které spočívaly v různém množství času, který byl k dispozici pro vynucení testu. Jejich data (P) se skládala z dob dokončení a průměrného počtu správných řad. Našli podporu pro axiomy zrušení, nicméně jejich studie byla zkreslena malou velikostí konjunkturálních polí (velikost 3 × 3) a statistickými technikami, které nebraly v úvahu ordinální omezení uložená axiomy zrušení.
Kyngdon (2011) použil Karabatsosův (2001) order restricted inference framework k testování spojité matice proporcí odezvy čtené položky (P), kde zkoumaná odečítací schopnost zahrnovala řádky spojité matice (A) a obtížnost čtených položek tvořila sloupce matice (X). Úrovně odečítací schopnosti byly identifikovány pomocí celkového skóre testu a úrovně obtížnosti čtené položky byly identifikovány pomocí Lexile Framework for Reading (Stenner et al. 2006). Kyngdon zjistil, že uspokojení ze zrušení axiomů bylo dosaženo pouze prostřednictvím permutace matice způsobem, který je v rozporu s předpokládanými Lexilovými mírami obtížnosti položky. Kyngdon také testoval simulovaná data odezvy testu schopnosti pomocí polynomiálního spojitého měření. Data byla generována pomocí Humphryho rozšířeného rámu referenčního Raschova modelu (Humphry & Andrich 2008). Našel podporu distribučního, jednoduchého a dvojitého zrušení konzistentní s distribuční strukturou polynomiálních spojů ve třech proměnných (Krantz & Tversky 1971).