Ve filozofii matematiky konstruktivismus tvrdí, že je nutné najít (nebo „sestrojit“) matematický objekt, aby se dokázalo, že existuje. Když někdo předpokládá, že objekt neexistuje a vyvozuje z tohoto předpokladu rozpor, tak podle konstruktivistů objekt stále nenašel, a proto jeho existenci neprokázal. Viz konstruktivní důkaz.
Konstruktivismus je často zaměňován s intuicionismem, ale ve skutečnosti je intuicionismus pouze jedním druhem konstruktivismu.
Intuicionismus tvrdí, že základy matematiky leží v intuici individuálního matematika, čímž se matematika stává vnitřně subjektivní činností.
Konstruktivismus není a je zcela v souladu s objektivním pohledem na matematiku.
Konstruktivistická matematika
Konstruktivistická matematika používá konstruktivistickou logiku, která je v podstatě odstraněním zákona vyloučeného středu z klasické logiky. To ovšem neznamená, že zákon vyloučeného středu je zcela popřen; zvláštní případy zákona budou prokazatelné jako věty. Jde jen o to, že zákon se nepředpokládá jako axiom. (Zákon o neprotiřečení je naopak stále platný.)
Například v Heyting aritmetika, jeden může dokázat, že pro každý návrh p, který neobsahuje kvantifikátory, je věta (kde x, y, z … jsou volné proměnné v návrhu p). V tomto smyslu, návrhy omezené na konečných jsou stále považovány za buď pravda, nebo nepravda, jak jsou v klasické matematice, ale tato bivalence se nepředpokládá, že se vztahují na ty, které mluví o nekonečné sbírky.
Ve skutečnosti L.E.J. Brouwer, zakladatel školy intuicionistů, pohlížel na zákon vyloučeného středu jako na něco, co bylo abstrahováno od konečných zkušeností, a co bylo pak aplikováno matematiky na nekonečno, bez odůvodnění. Například Goldbachova domněnka je tvrzení, že každé sudé číslo (větší než 2) je součtem dvou prvočísel. Je možné testovat na jakékoliv konkrétní sudé číslo, zda je součtem dvou prvočísel (například vyčerpávajícím vyhledáváním), takže je fér říci o každém z nich, že je to buď součet dvou prvočísel, nebo není. A zatím, každé takto testované bylo ve skutečnosti součtem dvou prvočísel.
Ale neexistuje žádný známý důkaz, že všechny z nich jsou tak, ani žádný známý důkaz, že ne všechny z nich jsou tak. Tedy Brouwer, jeden nemůže říci, „buď Goldbachova domněnka je pravdivá, nebo to není.“ A zatímco domněnka může být jednoho dne vyřešena, argument platí pro podobné nevyřešené problémy; Brouwer, zákon vyloučené střední byl rovnající se předpokládat, že každý matematický problém má řešení.
Odstraněním zákona vyloučeného středu jako axiomu má zbývající logický systém existenční vlastnost, kterou klasická logika nemá: kdykoli je konstruktivně prokázáno, pak ve skutečnosti je konstruktivně prokázáno pro (alespoň) jeden konkrétní . Důkaz o existenci matematického objektu je tedy vázán na možnost jeho konstrukce.
Příklad z reálné analýzy
V klasické reálné analýze je jedním ze způsobů, jak definovat reálné číslo, Cauchyho posloupnost racionálních čísel.
V konstruktivní matematiky, jeden způsob, jak sestrojit reálné číslo je jako funkce, která má kladné číslo a výstupy racionální , spolu s funkcí, která má kladné číslo a výstupy kladné číslo taková, že
tak, aby se s rostoucími hodnotami přibližovaly a přibližovaly k sobě. Můžeme použít a společně vypočítat tak blízko racionální aproximaci, jak se nám líbí, k reálnému číslu, které reprezentují.
Podle této definice je jednoduché znázornění reálného čísla e:
Tato definice odpovídá klasické definici používající Cauchyho posloupnosti, s výjimkou konstruktivního zvratu: pro klasickou Cauchyho posloupnost je vyžadováno, aby pro každou danou vzdálenost existoval (v klasickém smyslu) člen v posloupnosti, po kterém jsou všechny členy blíže u sebe než tato vzdálenost. V konstruktivním znění je vyžadováno, aby pro každou danou vzdálenost bylo možné skutečně specifikovat bod v posloupnosti, kde se to děje (tato požadovaná specifikace se často nazývá modul konvergence). Ve skutečnosti standardní konstruktivní interpretace matematického tvrzení
je právě existence funkce vypočítávající modul konvergence. Rozdíl mezi oběma definicemi reálných čísel lze tedy považovat za rozdíl v interpretaci výroku „pro všechny… existuje…“
To pak otevírá otázku, jaký druh funkce od spočitatelné množiny k spočitatelné množině, jako je f a g výše, může být skutečně konstruován. Různé verze konstruktivismu se v tomto bodě rozcházejí. Konstrukce mohou být definovány stejně široce jako sekvence svobodné volby, což je intuicionistický pohled, nebo tak úzce jako algoritmy (nebo technicky vzato vypočitatelné funkce), nebo dokonce ponechány nespecifikované. Pokud se například vezme algoritmický pohled, pak reálie, jak jsou zde konstruovány, jsou v podstatě tím, co by se klasicky nazývalo vypočitatelnými čísly.
Výše uvedený algoritmický výklad by se zdál být v rozporu s klasickými představami o kardinalitě. Výčtem algoritmů můžeme klasicky ukázat, že vypočitatelná čísla jsou spočitatelná. A přesto Cantorův diagonální argument ukazuje, že reálná čísla mají vyšší kardinalitu. Dále se diagonální argument zdá být dokonale konstruktivní. Identifikovat reálná čísla s vypočitatelnými čísly by pak byl rozpor.
A ve skutečnosti je Cantorův diagonální argument konstruktivní v tom smyslu, že vzhledem k bijekci mezi reálnými čísly a přirozenými čísly se konstruuje reálné číslo, které nesedí, a tím se dokazuje rozpor. Můžeme skutečně vyjmenovat algoritmy pro konstrukci funkce T z přirozených čísel na reals. Ale každému algoritmu může nebo nemusí odpovídat reálné číslo, protože algoritmus nemusí splňovat omezení, nebo dokonce nemusí být neukončující (T je parciální funkce), takže se nepodaří vytvořit požadovanou bijekci.
Přesto by se dalo očekávat, že vzhledem k tomu, že T je částečná funkce od přirozených čísel k reálným číslům, nejsou tedy reálná čísla více než spočitatelná. A vzhledem k tomu, že každé přirozené číslo může být triviálně reprezentováno jako reálné číslo, nejsou tedy reálná čísla méně než spočitatelná. Jsou tedy přesně spočitatelná. Tato úvaha však není konstruktivní, protože stále nevytváří požadovanou bijekci. Ve skutečnosti kardinalita množin není zcela uspořádaná (viz Cantorova-Bernsteinova-Schröderova věta).
Důkaz, který vyžaduje axiom volby, je považován za nekonstruktivní, neboť potvrzuje existenci určité funkce volby nebo množiny, aniž by bylo možné říci, co to je. Goodmanova-Myhillova věta dále ukázala, že zákon vyloučeného středu by dokonce mohl být odvozen z úplného axiomu volby. Nicméně omezené formy axiomu volby jsou někdy používány.
Postoj matematiků
Matematici byli tradičně vůči matematickému konstruktivismu podezíraví, ne-li přímo antagonističtí, a to především kvůli omezením, která představuje pro konstruktivní analýzu.
Tyto názory razantně vyjádřil David Hilbert v roce 1928, když v knize Die Grundlagen der Mathematik napsal: „Převzetí principu vyloučeného středu z matematika by bylo stejné, řekněme, jako zakázat dalekohledu astronomovi nebo boxerovi použití jeho pěstí.“
(Zákon vyloučeného středu není v konstruktivistické logice platný.)
Errett Bishop ve své práci z roku 1967 Základy konstruktivní analýzy pracoval na rozptýlení těchto obav tím, že vyvinul velké množství tradiční analýzy v konstruktivním rámci.
Nicméně ne každý matematik akceptuje, že se to Bishopovi podařilo úspěšně, protože jeho kniha je nutně složitější, než by byl klasický analytický text.
V každém případě, většina matematiků nevidí potřebu omezit se na konstruktivistické metody, i když to může být provedeno.