Interval je v matematice pojem vztahující se k posloupnosti a množinovému členství jednoho nebo více čísel.
V elementární algebře je interval množina, která obsahuje každé reálné číslo mezi dvěma označenými čísly a případně i samotná dvě čísla. Intervalová notace je notace, ve které jsou povolené hodnoty pro proměnnou vyjádřeny jako rozmezí v určitém intervalu; „5 < x < 9" je příklad použití intervalové notace. V klasické intervalové notaci závorky () ) označují vyloučení, zatímco hranaté závorky ( [] ) označují zahrnutí. Například interval "(10,20)" označuje množinu všech reálných čísel mezi 10 a 20, ale nezahrnuje 10, respektive 20, první a poslední číslo intervalu. Na druhé straně interval "[10,20]" zahrnuje jak každé číslo mezi 10 a 20, tak i 10 a 20. Další možnosti jsou uvedeny níže.
Ve vyšší matematice je formální definice následující: Interval je podmnožina totálně uspořádané množiny s majetkem, že kdykoli a jsou v a pak je v .
Jak je uvedeno výše, zvláště důležitý případ je, když , Sada reálných čísel.
Intervaly jsou následujících jedenácti různých typů
(kde a a b jsou reálná čísla, s a < b):
V každém případě, kdy se objeví výše, jsou písmena a a b známa jako koncové body intervalu.
Všimněte si, že hranatá závorka [ nebo ] označuje, že koncový bod je zahrnut do intervalu, zatímco kulatá závorka ( nebo ) označuje, že není.
Více informací o výše použitém zápisu viz Naivní teorie množin.
Intervaly typu 1, 5, 7, 9 a 11 se nazývají otevřené intervaly (protože se jedná o otevřené množiny) a intervaly 2, 6, 8, 9, 10 a 11 uzavřené intervaly (protože se jedná o uzavřené množiny).
Intervaly 3 a 4 se někdy nazývají napůl uzavřené (nebo, ne překvapivě, napůl otevřené) intervaly.
Všimněte si, že intervaly 9 a 11 jsou otevřené i uzavřené, což není totéž jako být napůl otevřené a napůl uzavřené.
Intervaly (1), (2), (3), (4), (10) a (11) se nazývají ohraničené intervaly a intervaly (5), (6), (7), (8) a (9) neohraničené intervaly.
Interval (10) je také znám jako singleton.
Délka ohraničených intervalů (1), (2), (3), (4) je v každém případě b-a. Celková délka posloupnosti intervalů je součtem délek intervalů. Na průnik intervalů se nebere žádný zřetel. Například celková délka posloupnosti {(1,2),(1,5,2,5)} je 1+1=2, a to navzdory skutečnosti, že sjednocení posloupnosti je interval délky 1,5.
Intervaly hrají v teorii integrace důležitou roli, protože se jedná o nejjednodušší množiny, jejichž „velikost“ nebo „míra“ nebo „délka“ je snadné definovat (viz výše).
Pojem míry pak může být rozšířen na složitější množiny, což vede k borelovské míře a nakonec k Lebesgueově míře.
Intervaly jsou přesně spojené podmnožiny . Jsou také přesně konvexní podmnožiny .
Vzhledem k tomu, kontinuální obraz spojené množiny je spojen,
to vyplývá, že pokud je spojitá funkce a I je interval, pak jeho obraz je také interval.
To je jedna formulace z intermediární hodnota věta.
Intervaly v dílčích objednávkách
V teorii pořadí se obvykle uvažuje o částečně uspořádaných množinách. Výše uvedené zápisy a definice však lze bezprostředně aplikovat i na tento obecný případ. Zvláštní význam v tomto obecném nastavení mají intervaly tvaru [a,b].
Pro částečně uspořádanou množinu (P, ≤) a dva prvky a a b z P, jeden definuje množinu
Lze se rozhodnout omezit tuto definici na dvojice prvků s vlastností, že a ≤ b. Případně se intervaly bez této podmínky budou jen shodovat s prázdnou množinou, což by v prvním případě nebylo považováno za interval.
Intervalová aritmetika, také nazývaná intervalová matematika, intervalová analýza a intervalový výpočet, byla zavedena matematiky v 50. a 60. letech 20. století jako přístup k ohraničení zaokrouhlovacích chyb v matematických výpočtech. Tam, kde klasická aritmetika definuje operace na jednotlivých číslech, intervalová aritmetika definuje množinu operací na intervalech:
Základní operace intervalové aritmetiky jsou pro dva intervaly [a,b] a [c,d], které jsou podmnožinami reálné přímky (-∞, ∞),
Dělení intervalem obsahujícím nulu není definováno v rámci základní aritmetiky intervalu.
Operace sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a subdistribuční: množina X ( Y + Z ) je podmnožinou XY + XZ.
Relační operace na intervalech lze definovat v trojstavové logice {true, false, uncertain}:
Alternativní způsob psaní intervalů, běžně viděný ve Francii a některých dalších evropských zemích, je uveden níže:
Jiná notace používaná v některých zemích (např. v ČR) používá závorky pro otevřený interval a úhlové závorky pro uzavřený interval s čísly oddělenými středníkem.