Lineární perspektiva

Kostka ve dvoubodové perspektivě.

Paprsky světla putují od objektu, přes rovinu obrazu až k oku diváka. To je základ pro grafickou perspektivu.

Perspektiva (z latinského perspicere, vidět jasně) v grafickém umění, jako je kresba, je přibližné znázornění na rovné ploše (jako je papír) obrazu tak, jak je vnímán okem. Dva nejcharakterističtější rysy perspektivy jsou:

V umění se termín „foreshortening“ často používá jako synonymum pro perspektivu, i když foreshortening se může vyskytovat i v jiných typech ne-perspektivních kresebných reprezentací (jako je šikmá paralelní projekce).

Perspektiva funguje tak, že představuje světlo, které prochází ze scény imaginárním obdélníkem (malbou) k oku diváka. Je to podobné, jako když se divák dívá oknem a maluje to, co je vidět přímo na okenní tabuli. Při pohledu ze stejného místa, kde byla namalována okenní tabule, by namalovaný obraz byl totožný s tím, co bylo vidět nenatřeným oknem. Každý namalovaný objekt ve scéně je plochou zmenšenou verzí objektu na druhé straně okna. Protože každá část namalovaného objektu leží na přímce od oka diváka k odpovídající části reálného objektu, který představuje, divák nemůže vnímat (bez vnímání hloubky) žádný rozdíl mezi namalovanou scénou na okenní tabuli a pohledem na skutečnou scénu. Pokud divák stojí na jiném místě, iluze by měla být zničena, ale pokud si divák nezvolí extrémní úhel, jako při pohledu ze spodního rohu okna, perspektiva obvykle vypadá víceméně správně.

V praxi však téměř všechny perspektivy (včetně těch vytvořených matematicky) zavádějí deformace ve srovnání s pohledem na reálnou scénu. K deformacím může dojít z:

Tyto deformace jsou obvykle zaváděny vědomě s cílem zjednodušit konstrukci perspektivy.

Všechny perspektivní kresby předpokládají diváka, určitou vzdálenost od kresby. Objekty jsou vzhledem k tomuto divákovi škálovány. Navíc, objekt často není škálován rovnoměrně — kruh se často objevuje jako elipsa a čtverec se může jevit jako lichoběžník. Toto zkreslení se označuje jako předzkrácení.

Perspektivní kresby mají obvykle (často naznačenou) linii horizontu. Tato linie, přímo proti oku diváka, představuje objekty nekonečně daleko. Zmenšily se v dálce na nekonečně malou tloušťku linie. Je analogická (a pojmenovaná podle) zemského horizontu.

Každá perspektivní reprezentace scény, která zahrnuje rovnoběžné přímky, má jeden nebo více mizejících bodů v perspektivní kresbě. Jednobodová perspektivní kresba znamená, že kresba má jeden mizící bod, obvykle (i když ne nutně) přímo proti oku diváka a obvykle (i když ne nutně) na linii horizontu. Všechny přímky rovnoběžné s linií pohledu diváka ustupují k horizontu směrem k tomuto mizícímu bodu. Jedná se o standardní jev „ustupující železniční koleje“. Dvoubodová kresba by měla přímky rovnoběžné se dvěma různými úhly. Ve kresbě je možný libovolný počet mizících bodů, jeden pro každou sadu rovnoběžných přímek, které jsou v úhlu vzhledem k rovině kresby.

Perspektivy sestávající z mnoha rovnoběžných čar jsou pozorovány nejčastěji při kreslení architektury (architektura často používá přímky rovnoběžné s osami x, y a z). Protože je vzácné mít scénu sestávající pouze z přímek rovnoběžných se třemi karteziánskými osami (x, y a z), je vzácné vidět perspektivy v praxi pouze s jedním, dvěma nebo třemi mizícími body. Vezměme v úvahu, že i jednoduchý dům má často špičatou střechu, což má za následek minimálně pět sad rovnoběžných přímek, které zase odpovídají až pěti mizícím bodům.

Naproti tomu perspektivy přírodních scén často nemají žádné sady rovnoběžných čar. Taková perspektiva by tak neměla žádné mizivé body.

Před perspektivou malby a kresby obvykle třídily objekty a postavy podle jejich duchovního nebo tematického významu, nikoli podle vzdálenosti. Zejména ve středověkém umění mělo být umění chápáno spíše jako skupina symbolů než jako souvislý obraz. Jedinou metodou, jak ukázat vzdálenost, bylo překrývání znaků. Překrývání samo o sobě způsobilo špatné kresby architektury; středověké malby měst jsou směsicí čar ve všech směrech.

Optický základ perspektivy byl definován v roce 1000, kdy arabský matematik a filozof Alhazen ve své Perspectivě poprvé vysvětlil, že světlo projektuje kuželovitě do oka. To teoreticky stačilo k tomu, aby se objekty přesvědčivě převedly na obraz, ale Alhalzen se zabýval pouze optikou, nikoli malbou. Kuželovité překlady jsou také matematicky obtížné, takže kresba s jejich použitím by byla neuvěřitelně časově náročná.

Umělec Giotto di Bondone se poprvé pokusil o kresby v perspektivě pomocí algebraické metody pro určení umístění vzdálených čar. Problém s použitím lineárního poměru tímto způsobem je, že zdánlivá vzdálenost mezi sérií rovnoměrně rozmístěných čar ve skutečnosti odpadá se sinusovou závislostí. Pro určení poměru pro každou následující čáru je třeba použít rekurzivní poměr. To bylo objeveno až ve 20. století, částečně Erwinem Panofskym.

Jedním z prvních Giottových použití jeho algebraické metody perspektivy byl Ježíš před Caïfem. Přestože obraz neodpovídá moderní, geometrické metodě perspektivy, dává slušnou iluzi hloubky a byl velkým krokem vpřed v západním umění.

Matematický základ pro perspektivu

O sto let později, počátkem 14. století, Filippo Brunelleschi demonstroval geometrickou metodu perspektivy, kterou dnes používají umělci, namalováním obrysů různých florentských budov na zrcadlo. Když se pokračovalo v obrysech budovy, všiml si, že se všechny linie sbíhají na linii horizontu. Podle Vasariho pak připravil ukázku svého obrazu Křtitelství v neúplných dveřích dómu. Nechal diváka nahlédnout malým otvorem na zadní straně obrazu, čelem ke Křtitelství. Pak nastavil zrcadlo, čelem k divákovi, které odráželo jeho obraz. Pro diváka byl obraz Křtitelství a Křtitelství samotné téměř k nerozeznání.

Doporučujeme:  Psychologická reaktivita

Brzy poté téměř všichni umělci ve Florencii používali ve svých obrazech geometrickou perspektivu, zejména Donatello, který začal malovat složité šachovnicové podlahy do jednoduchých jesliček vyobrazených při narození Krista. Přestože tyto šachovnicové podlahy byly jen stěží historicky přesné, řídily se základními zákony geometrické perspektivy: všechny čáry se sbíhaly do mizejícího bodu a rychlost, s jakou horizontální čáry ustupovaly do dálky, byla graficky určena. To se stalo nedílnou součástí Quattrocentova umění. Nejenže byla perspektiva způsobem ukazujícím hloubku, byla to také nová metoda komponování obrazu. Obrazy začaly ukazovat jedinou, jednotnou scénu, spíše než kombinaci několika.

Jak ukazuje rychlé rozšíření přesných perspektivních obrazů ve Florencii, Brunelleschi pravděpodobně pochopil, ale nezveřejnil, matematiku za perspektivou. O desítky let později jeho přítel Leon Battista Alberti napsal Della Pittura, pojednání o správných metodách ukazování vzdálenosti v malbě. Albertiho primárním průlomem nebylo ukázat matematiku z hlediska kuželových projekcí, jak se to skutečně jeví oku. Místo toho formuloval teorii založenou na rovinných projekcích, neboli jak paprsky světla, procházející od oka diváka ke krajině, zasáhnou obrazovou rovinu (malbu). Byl pak schopen vypočítat zdánlivou výšku vzdáleného objektu pomocí dvou podobných trojúhelníků. Například při pohledu na zeď má první trojúhelník vrchol v oku uživatele a vrcholy v horní a dolní části zdi. Dolní část tohoto trojúhelníku je vzdálenost od diváka ke zdi. Druhý, podobný trojúhelník, má bod v oku diváka a jeho délka se rovná oku diváka z obrazu. Výška druhého trojúhelníku pak může být určena jednoduchým poměrem, jak prokázal Euklides.

Piero della Francesca rozpracoval Dellu Pitturu ve svém díle De Prospectiva Pingendi v roce 1474. Alberti se omezil na čísla v pozemní rovině a dával celkový základ pro perspektivu. Francesca to rozpracovala, explicitně pokrývajíc pevné látky v jakékoli oblasti obrazové roviny. Francesca také zahájila dnes běžnou praxi používání ilustrovaných čísel k vysvětlení matematických pojmů, čímž se jeho pojednání stalo srozumitelnějším než Albertiho. Francesca byla také první, kdo přesně kreslil platónské pevné látky, jak by se jevily v perspektivě.

Perspektiva zůstala na chvíli doménou Florencie. Jan van Eyck, mimo jiné, nebyl schopen vytvořit konzistentní strukturu sbíhajících se linií v obrazech, jako v londýnském The Arnolfini Portrait, protože si nebyl vědom teoretického průlomu, který právě nastal v Itálii.

Použití perspektivy Pietrem Peruginem v této fresce v Sixtinské kapli (1481-82) pomohlo vnést do Říma renesanci.

Leonardo da Vinci nedůvěřoval Brunelleschiho formulaci perspektivy, protože nezohledňovala vzhled objektů držených velmi blízko u oka. Leonardo nazval Brunelleschiho metodu umělou perspektivní projekcí. Dnes se jí říká klasická perspektivní projekce. Projekce bližší obrazu viděnému lidským okem nazval přirozenou perspektivou.

Umělá perspektivní projekce je perspektivní projekce na plochý povrch, vhodný pro kresby a malby, které jsou typicky ploché. Přirozená perspektivní projekce je naproti tomu perspektivní projekce na sférický povrch. Z geometrického hlediska lze rozdíly mezi umělou a přirozenou perspektivou považovat za podobné zkreslení, ke kterému dochází při reprezentaci země (přibližně sférické) jako mapy (typicky ploché). Oba typy projekcí zahrnují zkreslení. Rozdíl mezi oběma zkresleními se nazývá perspektivní projekce zkreslení.

Odrůdy perspektivních kreseb

Z mnoha typů perspektivních kreseb jsou nejčastější kategorizace umělé perspektivy jednobodové, dvoubodové a tříbodové. Názvy těchto kategorií odkazují na počet mizejících bodů v perspektivní kresbě. Přesněji řečeno, tyto typy mohou existovat pouze pro zobrazené scény, které jsou přímočaré (složené výhradně z přímých čar, které se vzájemně protínají pouze v úhlu 90 stupňů).

Jeden úběžný bod se obvykle používá pro silnice, železniční tratě nebo budovy, které jsou zobrazeny tak, že čelo je přímo obrácené k divákovi. Jakékoli objekty, které jsou tvořeny čarami buď přímo rovnoběžnými s linií pohledu diváka (jako železniční tratě), nebo přímo kolmými (železniční sloty), mohou být zobrazeny s jednobodovou perspektivou.

Jednobodová perspektiva existuje tehdy, když je malířská deska (také známá jako obrazová rovina) rovnoběžná se dvěma osami přímočaré (nebo karteziánské) scény — scény, která je složena výhradně z lineárních prvků, které se protínají pouze v pravých úhlech. Pokud je jedna osa rovnoběžná s obrazovou rovinou, pak jsou všechny prvky buď rovnoběžné s malířskou deskou (buď vodorovně nebo svisle), nebo k ní kolmé. Všechny prvky, které jsou rovnoběžné s malířskou deskou, jsou vykresleny jako rovnoběžné čáry. Všechny prvky, které jsou kolmé k malířské desce, se sbíhají v jediném bodě (mizejícím bodě) na horizontu.

Dvoubodová perspektiva může být použita pro kreslení stejných objektů jako jednobodová perspektiva, otočená: dívá se na roh domu, nebo se dívá na dvě vidlicové cesty zmenšující se do dálky, například. Jeden bod představuje jednu sadu rovnoběžných čar, druhý bod představuje druhý. Při pohledu na dům z rohu by jedna stěna ustupovala směrem k jednomu mizícímu bodu, druhá stěna by ustupovala směrem k protilehlému mizícímu bodu.

Doporučujeme:  Historie umělé inteligence

Dvoubodová perspektiva existuje tehdy, když je malířská deska rovnoběžná s karteziánskou scénou v jedné ose (obvykle osa z), ale ne s dalšími dvěma osami. Pokud je prohlížená scéna tvořena pouze válcem sedícím ve vodorovné rovině, neexistuje v zobrazení válce žádný rozdíl mezi jednobodovou a dvoubodovou perspektivou.

Tříbodová perspektiva se obvykle používá pro budovy viděné shora. Kromě dvou mizejících bodů z dřívějška, jednoho pro každou zeď, je nyní jeden pro to, jak tyto zdi ustupují do země. Pohled vzhůru na vysokou budovu je dalším běžným příkladem třetího mizejícího bodu.

Tříbodová perspektiva existuje, je-li perspektivou pohled na karteziánskou scénu, kde obrazová rovina není rovnoběžná s žádnou ze tří os scény. Každý ze tří mizejících bodů odpovídá jedné ze tří os scény. Obraz vytvořený pomocí více mizejících bodů.

Ostatní odrůdy lineární perspektivy

Jednobodová, dvoubodová a tříbodová perspektiva jsou závislé na struktuře prohlížené scény. Ty existují pouze pro striktní kartézské (přímočaré) scény.

Vložením sady rovnoběžných čar, které nejsou rovnoběžné s žádnou ze tří os scény, do kartézské scény vznikne nový zřetelný mizící bod.

Proto je možné mít nekonečnou bodovou perspektivu, pokud prohlížená scéna není karteziánskou scénou, ale místo toho se skládá z nekonečných párů rovnoběžných čar, kde každý pár není rovnoběžný s žádným jiným párem.

Odrůdy nelineární perspektivy

Matematicky konstruované perspektivy jsou typicky „lineární“ v tom, že poměr, při kterém se zmenšuje velikost vzdálenějších objektů, je konstantní (tj. graf vykreslené velikosti jednostopého objektu oproti vzdálenému od diváka bude tvořit rovnou čáru). Lze si představit nelineární perspektivy – takové, při kterých graf výše zmíněného poměru netvoří rovnou čáru.

Panorama je perspektiva promítaná na válec. Vlastní kresbu lze nakreslit na válec (typicky na vnitřní plochu a při pohledu zevnitř válce) nebo na rovnou plochu, což se rovná „rozbalení“ válce. Panorama (projekce na válec) odstraňuje jeden z rozdílů mezi umělou perspektivní projekcí (projekce na rovnou plochu) a přirozenou perspektivní projekcí (projekce na kulovou plochu). Standardní Mercatorova mapová projekce je podobná panoramatu.

Metody stavebních perspektiv

Existuje několik metod konstrukce perspektiv, včetně:

Příklad: čtverec v perspektivě

Paprsky světla putují od oka k objektu. Tam, kde tyto paprsky dopadnou na rovinu obrazu, je nakreslen objekt.

Paprsky světla nakreslené na samotném obrázku. Šedá čára vlevo představuje rovinu obrázku. Tam, kde se modrá čára protíná s touto čárou, která je zároveň stranou červeného čtverce, se kreslí zadní strana čtverce.

Jedním z nejběžnějších a nejranějších použití geometrické perpektivy je šachovnicová podlaha. Jedná se o jednoduchou, ale nápadnou aplikaci jednobodové perspektivy. Mnoho vlastností perspektivní kresby se používá při kreslení šachovnice. Šachovnicová podlaha je v podstatě jen kombinací řady čtverců. Jakmile je nakreslen jeden čtverec, může být rozšířen nebo rozdělen na šachovnici. V případě potřeby budou čáry a body v diagramu označeny jejich barvami.

Aby umělec nakreslil čtverec v perspektivě, začíná kresbou čáry horizontu (černá) a určením místa, kde by měl být mizející bod (zelená). Čím výše je čára horizontu, tím níže se bude divák zřejmě dívat a naopak. Čím více mimo střed mizejícího bodu, tím více bude čtverec nakloněný. Protože čtverec je tvořen pravými úhly, měl by být mizející bod přímo uprostřed čáry horizontu. Otočený čtverec je kreslen pomocí dvoubodové perspektivy, přičemž každá sada rovnoběžných čar vede k jinému mizejícímu bodu.

Nejpřednější okraj (oranžového) čtverce je vykreslen poblíž spodní části obrazu. Protože rovina obrazu diváka je rovnoběžná se spodní částí čtverce, je tato čára vodorovná. Čáry spojující každou stranu nejpřednější hrany s mizejícím bodem jsou vykresleny (šedě). Tyto čáry poskytují základní, jednobodovou perspektivu „železničních kolejí“. Čím blíže je linii horizontu, tím dále je od diváka a tím menší se objeví. Čím dále je od diváka, tím blíže je perpindikulární rovině obrazu.

Nyní je zvolen nový bod (oko), na linii horizontu, buď nalevo nebo napravo od mizejícího bodu. Vzdálenost od tohoto bodu k mizejícímu bodu představuje vzdálenost diváka od výkresu. Pokud je tento bod velmi daleko od mizejícího bodu, čtverec se bude jevit rozmáčknutý, a daleko. Pokud je blízko, bude se jevit roztažený, jako by byl velmi blízko diváka.

Nakreslí se čára spojující tento bod s protilehlým rohem čtverce. Tam, kde tato (modrá) čára narazí na stranu čtverce, se nakreslí vodorovná čára, která představuje nejvzdálenější okraj čtverce. Právě nakreslená čára představuje paprsek světla putující od oka diváka k nejvzdálenějšímu okraji čtverce. Tento krok je klíčem k pochopení perspektivní kresby. Světlo, které prochází rovinou obrazu, zjevně nelze vystopovat. Místo toho se na rovinu obrazu nakreslí čáry, které představují tyto paprsky světla. V případě čtverce představuje strana čtverce také rovinu obrazu (pod úhlem), takže je zde malá zkratka: když čára narazí na stranu čtverce, narazí také na příslušné místo v rovině obrazu. (modrá) čára se nakreslí k protilehlému okraji nejpřednějšího okraje kvůli jiné zkratce: protože všechny strany jsou stejně dlouhé, může nejpřednější okraj vystupovat za boční okraj.

Doporučujeme:  Vizuální vymírání

Původní formulace používaly místo strany čtverce svislou čáru k jedné straně, představující obrazovou rovinu. Každá čára nakreslená touto rovinou byla totožná s čárou pohledu od oka diváka ke kresbě, jen otočená kolem osy y o devadesát stupňů. Je to koncepčně jednodušší způsob uvažování perspektivy. Lze snadno prokázat, že obě metody jsou matematicky identické a výsledkem je stejné umístění nejvzdálenější strany (viz Panofsky).

A: Nedílné předzkrácení a B: Perspektivní předzkrácení

Foreshortening označuje vizuální efekt nebo optický klam, že objekt nebo vzdálenost je kratší, než ve skutečnosti je, protože je natočen směrem k divákovi.

Přestože foreshortening je důležitým prvkem v umění, kde je zobrazována vizuální perspektiva, foreshortening se vyskytuje i v jiných typech dvojrozměrných znázornění trojrozměrných scén. Některé další typy, kde foreshortening může nastat, zahrnují šikmé paralelní projekční kresby.

Obrázek F1 ukazuje dvě různé projekce zásobníku dvou kostek, ilustruje šikmou rovnoběžnou projekci předzkrácení („A“) a perspektivu předzkrácení („B“).

Satira na falešné perpektivě od Hogartha.

Následující témata nejsou rozhodující pro pochopení perspektivy, ale poskytují některé další informace týkající se perspektiv.

Omezení perspektivy

Perspektivní obrazy se vypočítávají za předpokladu konkrétního výhodného bodu. Aby výsledný obraz vypadal shodně s původní scénou, musí divák perspektivy zobrazit obraz z přesného výhodného bodu použitého ve výpočtech vzhledem k obrazu. Tím se vyruší to, co by se při pohledu z jiného bodu jevilo jako zkreslení obrazu. Tato zdánlivá zkreslení jsou výraznější směrem od středu obrazu, protože úhel mezi promítaným paprskem (od scény k oku) se vzhledem k rovině obrazu stává ostřejším.

Pro typickou perspektivu je však zorné pole dostatečně úzké (často jen 60 stupňů), takže zkreslení jsou podobně minimální, takže obraz lze prohlížet z jiného než skutečně vypočteného zorného úhlu, aniž by se jevil výrazně zkreslený. Je-li požadován větší úhel pohledu, stává se standardní metoda promítání paprsků na plochou obrazovou rovinu nepraktickou. Jako teoretické maximum musí být zorné pole ploché obrazové roviny menší než 180 stupňů (jak se zorné pole zvětšuje směrem ke 180 stupňům, požadovaná šířka obrazové roviny se blíží nekonečnu).

Aby bylo možné vytvořit obraz promítnutého paprsku s velkým zorným polem, je možné promítnout obraz na zakřivený povrch. Aby bylo v obraze velké zorné pole vodorovně, postačí povrch, který je svislým válcem (tj. osa válce je rovnoběžná s osou z) (obdobně, pokud je požadované velké zorné pole pouze ve svislém směru obrazu, postačí vodorovný válec). Válcový povrch obrazu umožní promítnout obraz paprsku až o celých 360 stupňů buď ve vodorovném, nebo svislém rozměru perspektivního obrazu (v závislosti na orientaci válce). Stejně tak může být zorné pole při použití kulového povrchu obrazu celých 360 stupňů v libovolném směru (všimněte si, že pro kulový povrch protínají všechny promítané paprsky od scény k oku povrch v pravém úhlu).

Stejně jako musí být standardní perspektivní obraz viděn z vypočteného zorného úhlu, aby obraz vypadal totožně se skutečnou scénou, musí být také obraz promítaný na válec nebo kouli viděn z vypočteného zorného úhlu, aby byl přesně totožný s původní scénou. Pokud je obraz promítaný na válcový povrch „rozvinut“ do plochého obrazu, dochází k různým typům zkreslení: Například mnoho scén přímými čarami bude vykresleno jako křivky. Obraz promítaný na kulový povrch může být zploštěn různými způsoby, včetně:

Mýtus jednobodové, dvoubodové a tříbodové perspektivy

Zdá se, že jednobodová, dvoubodová a tříbodová perspektiva ztělesňují různé formy vypočítané perspektivy. Metody potřebné pro generování těchto perspektiv ručně jsou různé. Matematicky jsou však všechny tři stejné: Rozdíl je jednoduše v relativní orientaci přímočaré scény na diváka. Například tři obrázky ilustrující jednobodovou, dvoubodovou a tříbodovou perspektivu ve výše uvedené části lze generovat dvěma způsoby se shodnými výsledky:

Praktickým využitím tohoto faktu je alternativní rychlá a přesná metoda generování „dvoubodové“ perspektivy ručně: Dva mizící body perspektivy lze generovat jednoduchým mapováním otočené mřížky (libovolného libovolného úhlu) na standardní „jednobodovou“ perspektivní mřížku (mřížky by měly mít stejné jednotkové rozestupy, aby se usnadnila konstrukce skutečného výkresu).

Výkres perspektivy, ať už hrubě načrtnutý (tj. intuitivně volnou rukou) nebo přesně vypočítaný (tj. pomocí násobení matice na počítači nebo jiným způsobem), je obvykle kombinací dvou geometrických transformací: