Lineární rovnice je rovnice zahrnující pouze součet konstant nebo součin konstant a první mocniny proměnné. Taková rovnice je ekvivalentní rovnání polynomu prvního stupně s nulou. Tyto rovnice se nazývají „lineární“, protože představují přímky v kartézských souřadnicích. Běžný tvar lineární rovnice ve dvou proměnných je , (např. ). V tomto tvaru hodnota určí sklon neboli gradient přímky; a hodnota určí bod, v němž přímka protíná osu y. Rovnice obsahující výrazy jako x2, y1/3 a xy jsou „nelineární“.
Formy lineární rovnice
Složité lineární rovnice, jako jsou ty výše uvedené, lze pomocí zákonů elementární algebry přepsat do několika jednodušších tvarů. V následujícím textu představují velká písmena konstanty (neurčitá, ale pevná čísla), zatímco x a y jsou proměnné.
Všimněte si, že pokud algebraická manipulace vede k tvrzení, jako je 1 = 0, pak se původní rovnice nazývá nekonzistentní, což znamená, že je nepravdivá pro libovolné hodnoty x a y. Příkladem může být 3x + 2 = 3x – 5.
Kromě toho mohou být v rovnici více než dvě proměnné nebo několik souběžných rovnic. Další informace naleznete v článku Soustava lineárních rovnic.
Spojení s lineárními funkcemi a operátory
Ve všech výše uvedených tvarech (za předpokladu, že graf není svislou přímkou) je proměnná y funkcí x a graf této funkce je grafem rovnice.
kde a je libovolný skalár. Funkce, která splňuje tyto vlastnosti, se nazývá lineární funkce nebo obecněji lineární operátor.
Vzhledem k výše uvedené lineární vlastnosti lze řešení lineárních rovnic tohoto druhu obecně popsat jako superpozici jiných řešení téže rovnice. Díky tomu se lineární rovnice řeší a uvažují obzvlášť snadno.
Lineární rovnice se v aplikované matematice vyskytují s velkou pravidelností. Vznikají zcela přirozeně při modelování mnoha jevů a jsou obzvláště užitečné, protože mnoho nelineárních rovnic lze redukovat na lineární rovnice za předpokladu, že se veličiny, které nás zajímají, liší jen v malé míře od nějakého „základního“ stavu.