Lorenzova křivka je v ekonomii grafické znázornění kumulativní distribuční funkce empirického rozdělení pravděpodobnosti bohatství; je to graf znázorňující podíl rozdělení, který zaujímá dolních y % hodnot. Často se používá pro znázornění rozdělení příjmů, kdy pro dolních x % domácností ukazuje, jaký podíl y % z celkového příjmu mají. Na ose x je vyneseno procento domácností, na ose y procento příjmů. Lze jej použít také k zobrazení rozdělení majetku. Při takovém použití ji mnozí ekonomové považují za měřítko sociální nerovnosti. Pro znázornění nerovnosti rozdělení bohatství ji v roce 1905 vyvinul Max O. Lorenz.
Tento koncept je užitečný při popisu nerovnosti mezi velikostí jedinců v ekologii a při studiu biodiverzity, kde se kumulativní podíl druhů vykresluje proti kumulativnímu podílu jedinců. Je také užitečný v obchodním modelování: např. ve spotřebitelském financování pro měření skutečné delikvence Y % z X % osob s nejhorším předpokládaným rizikovým skóre.
Každý bod na Lorenzově křivce představuje tvrzení typu „dolních 20 % všech domácností má 10 % celkového příjmu“. (viz Paretův princip). Dokonale rovnoměrné rozdělení příjmů by bylo takové, při kterém by každá osoba měla stejný příjem. V takovém případě by dolní „N“ % společnosti mělo vždy „N“ % příjmů. To lze znázornit přímkou „y“ = „x“; nazývá se „přímka dokonalé rovnosti“.
Naproti tomu dokonale nerovnoměrné rozdělení by bylo takové, kdyby jeden člověk měl všechny příjmy a všichni ostatní žádné. V takovém případě by křivka měla hodnotu „y“ = 0 pro všechna „x“ < 100 % a "y" = 100 %, když "x" = 100 %. Tato křivka se nazývá "přímka dokonalé nerovnosti".
Giniho koeficient je plocha mezi přímkou dokonalé rovnosti a pozorovanou Lorenzovou křivkou, vyjádřená v procentech plochy mezi přímkou dokonalé rovnosti a přímkou dokonalé nerovnosti. Čím je koeficient vyšší, tím je rozdělení nerovnoměrnější. V diagramu vpravo je tento koeficient dán poměrem A/(A+B), kde A a B jsou vyznačené plochy.
Lorenzovu křivku lze často znázornit funkcí L(F), kde F je znázorněno vodorovnou osou a L svislou osou.
Pro populaci velikosti n s posloupností hodnot yi, i = 1 až n, které jsou indexovány v neklesajícím pořadí ( yi ≤ yi+1), je Lorenzova křivka spojitá kusově lineární funkce spojující body ( Fi, Li ), i = 0 až n, kde F0 = 0, L0 = 0, a pro i = 1 až n:
Pro diskrétní pravděpodobnostní funkci f(y) nechť yi, i = 1 až n, jsou body s nenulovou pravděpodobností indexované v rostoucím pořadí ( yi < yi+1). Lorenzova křivka je spojitá kusově lineární funkce spojující body ( Fi, Li ), i = 0 až n, kde F0 = 0, L0 = 0, a pro i = 1 až n:
Pro funkci hustoty pravděpodobnosti f(x) s kumulativní distribuční funkcí F(x) je Lorenzova křivka L(F(x)) dána vztahem:
Pro kumulativní distribuční funkci F(x) s inverzní x(F) je Lorenzova křivka L(F) dána vztahem:
Inverzní x(F) nemusí existovat, protože kumulativní distribuční funkce má skokové nespojitosti nebo intervaly konstantních hodnot. Předchozí vzorec však lze stále použít zobecněním definice x(F):
Příklad Lorenzovy křivky viz Paretovo rozdělení.
Lorenzova křivka vždy začíná v bodě (0,0) a končí v bodě (1,1).
Lorenzova křivka není definována, pokud je střední hodnota rozdělení pravděpodobnosti nulová nebo nekonečná.
Lorenzova křivka pro rozdělení pravděpodobnosti je spojitá funkce. Lorenzovy křivky představující nespojité funkce však lze sestrojit jako limitu Lorenzových křivek pravděpodobnostních rozdělení, příkladem je přímka dokonalé nerovnosti.
Informace v Lorenzově křivce lze shrnout pomocí Giniho koeficientu a Lorenzova koeficientu asymetrie.
Pokud měřená veličina nemůže nabývat záporných hodnot, Lorenzova křivka:
Lorenzova křivka je invariantní při kladném škálování. Je-li X náhodná veličina, má pro libovolné kladné číslo c náhodná veličina c X stejnou Lorenzovu křivku jako X.
Lorenzova křivka je dvakrát převrácená, jednou kolem F = 0,5 a jednou kolem L = 0,5, negací. Je-li X náhodná veličina s Lorenzovou křivkou LX(F), pak -X má Lorenzovu křivku:
Lorenzova křivka se překládáním mění tak, že mezera rovnosti F – L(F) se mění úměrně poměru původních a přeložených průměrů. Je-li X náhodná veličina s Lorenzovou křivkou L X (F) a střední hodnotou μ X , pak pro libovolnou konstantu c ≠ -μ X , X + c má Lorenzovu křivku definovanou takto:
Pro kumulativní distribuční funkci F(x) se střední hodnotou μ a (zobecněnou) inverzí x(F) platí, že pro libovolnou F s 0 < F < 1 :