Model je zobrazení nějakého aspektu reality, které je vytvořeno za určitým účelem, a pokud toto zobrazení zahrnuje matematiku, označuje se jako matematický model. Obvykle je model reprezentací velmi složité reálné situace, která je značně zjednodušená, aby podpořila porozumění, a pro žádnou situaci neexistuje jediný „správný“ model. Například mapy a plány jsou modely, které zobrazují reprezentaci reality, jež zahrnuje pouze prvky relevantní pro účel mapy. Zahrnutím různých detailů vznikají mapy pro různé účely. Modely nemusí být absolutně správné; musí pouze fungovat dostatečně dobře, aby byly skutečně užitečné. Například lineární funkce se často používají při modelování na krátkou vzdálenost, kde je lineární přiblížení skutečnému stavu věcí rozumné, protože jsou matematicky jednodušší než většina ostatních funkcí.
Jeden z popisů hlavních fází procesu matematického modelování je následující:
Určení účelu (např. vytvoření předpovědi, zlepšení porozumění);
Vytvořit model (např. určit příslušné proměnné, specifikovat předpoklady, zapsat matematickou funkci);
Proveďte matematický model ;
Interpretovat výsledky;
Vyhodnotit model (např. revidovat předpoklady a upravit model).
Abstraktní model (nebo konceptuální model) je teoretický konstrukt, který představuje fyzikální, biologické nebo sociální procesy se souborem proměnných a souborem logických a kvantitativních vztahů mezi nimi. Modely v tomto smyslu jsou konstruovány tak, aby umožňovaly uvažování v idealizovaném logickém rámci o těchto procesech, a jsou důležitou součástí vědeckých teorií. Idealizovaný zde znamená, že model může obsahovat explicitní předpoklady, o nichž je známo, že jsou v některých detailech nepravdivé. Takové předpoklady mohou být odůvodněny tím, že zjednodušují model a zároveň umožňují vytvořit přijatelně přesná řešení, jak je znázorněno níže.
Hlavní článek: Matematický model
Tyto dva modely jsou příklady matematických modelů; následující modely nejsou matematické (nebo alespoň nejsou numerické).
Účelem modelu je poskytnout argumentační rámec pro použití logiky a matematiky, který lze nezávisle vyhodnotit (například testováním) a který lze použít pro argumentaci v různých situacích. Modely se používají v přírodních a společenských vědách, psychologii a filozofii vědy. Některé modely jsou převážně statistické (například portfoliové modely používané ve finančnictví), jiné využívají kalkul, lineární algebru nebo konvexitu, viz matematický model. Zvláštní politický význam mají modely používané v ekonomii, neboť se používají ke zdůvodnění rozhodnutí týkajících se zdanění a vládních výdajů. To často vede k vášnivým debatám v akademickém světě i na politické scéně; viz např. ekonomie strany nabídky.
Abstraktní modely se používají především jako opakovaně použitelný nástroj pro objevování nových skutečností, pro poskytování systematických logických argumentů jako vysvětlujících nebo pedagogických pomůcek, pro teoretické hodnocení hypotéz a pro navrhování experimentálních postupů pro jejich testování. Uvažování v rámci modelů je určeno souborem logických principů, ačkoli zřídkakdy se používá zcela matematické uvažování.
V některých případech lze abstraktní modely použít k realizaci počítačových simulací, které ilustrují chování systému v čase. Simulace se používají všude ve vědě, zejména v ekonomii, inženýrství, biologii, ekologii atd., aby se zjistily účinky změny proměnné. Platnost různých metodik simulace je předmětem diskusí ve filozofii a metodologii vědy.
Konceptuální model je reprezentace nějakého jevu pomocí logických a matematických objektů, jako jsou funkce, relace, tabulky, stochastické procesy, formule, systémy axiomů, pravidla odvozování atd. Konceptuální model má ontologii, tj. soubor výrazů v modelu, které mají označovat nějaký aspekt modelovaného objektu. Zde záměrně mlžíme o tom, jak jsou výrazy v modelu konstruovány a zejména jaká je vlastně logická struktura formulí v modelu. Ve skutečnosti jsme vůbec nepředpokládali, že modely jsou zakódovány v nějakém formálním logickém systému, i když se touto otázkou stručně zabýváme níže. Navíc zde uvedená definice zapomíná na to, zda dva výrazy mají skutečně označovat totéž. Všimněte si, že toto pojetí ontologie je odlišné (a slabší než) ontologie, jak je někdy chápána ve filozofii; v našem smyslu neexistuje žádný nárok na to, aby výrazy skutečně označovaly něco, co existuje fyzicky nebo časoprostorově (použijeme-li formulaci W. Quinea).
Například stochastický model cen akcií zahrnuje ve své ontologii výběrový prostor, náhodné veličiny, střední hodnotu a rozptyl cen akcií, různé regresní koeficienty atd. Modely kvantové mechaniky, v nichž jsou čisté stavy reprezentovány jako jednotkové vektory v Hilbertově prostoru, zahrnují ve svých ontologiích pozorovatelné veličiny, dynamiku, operátory měření atd. Je možné, že pozorovatelné objekty a stavy kvantové mechaniky jsou stejně fyzikálně reálné jako elektrony, které modelují, ale přijetím tohoto čistě formálního pojetí ontologie se této otázce zcela vyhneme.
Modelování, zejména vědecké modelování, se týká procesu vytváření modelu jako konceptuální reprezentace nějakého jevu, jak bylo uvedeno výše.
Obvykle se model týká pouze některých aspektů daného jevu a dva modely téhož jevu se mohou zásadně lišit, tj. v čem je rozdíl větší než pouhé přejmenování. To může být způsobeno rozdílnými požadavky konečných uživatelů modelu nebo koncepčními či estetickými rozdíly modelářů a rozhodnutími učiněnými během procesu modelování. Estetickými hledisky, která mohou ovlivnit strukturu modelu, mohou být preference modeláře pro redukovanou ontologii, preference týkající se pravděpodobnostních modelů oproti deterministickým, diskrétní vs. spojitý čas atd. Z tohoto důvodu musí uživatelé modelu rozumět původnímu účelu modelu a předpokladům jeho platnosti.
Po nalezení modelu pro nějaký požadovaný aspekt reality může sloužit jako základ pro simulaci, která je vedle reálných experimentů jediným způsobem neinvazivního zkoumání fyzikální reality.