A je podmnožinou B a B je nadmnožinou A.
V matematice, zejména v teorii množin, se termíny, podmnožina, nadmnožina a vlastní (nebo striktní) podmnožina nebo nadmnožina používají k popisu vztahu, nazývaného zahrnutí, jedné množiny obsažené uvnitř jiné množiny. Neformálně každý prvek patřící do podmnožiny A také patří do nadmnožiny B, ale mohou existovat prvky patřící do B, které nepatří do A (viz diagram vpravo).
Množina A je považována za podmnožinu množiny B, pokud je množina A „obsažena“ uvnitř množiny B. Každá množina je podmnožinou sama sebe. V tomto příkladu by pak byla množina B považována za nadmnožinu množiny A.
Je-li A podmnožinou B, ale A se nerovná B, pak A je také řádnou (nebo přísnou) podmnožinou B. To se píše jako A ⊂ B. Stejně tak B ⊂ A znamená, že B je řádnou nadmnožinou A. Je-li A řádnou podmnožinou B, pak existuje alespoň jeden prvek x B, který není prvkem A.
Pro každou množinu S je zahrnutí binární relace na množině všech podskupin S (mocninná množina S).
Pozn.: Mnoho autorů se neřídí výše uvedenými konvencemi, ale používají ⊂ k jednoduchému označení podmnožiny (spíše než vlastní podmnožiny). Pro vlastní podmnožinu existuje jednoznačný symbol, (nebo ⊊ v Unicode). Někteří autoři používají oba jednoznačné symboly, ⊆ pro podmnožinu a pro vlastní podmnožinu a zcela se obejdou bez ⊂ . Odpovídající poznámky platí i pro nadmnožiny.
POSTOJ 1: Prázdná množina je podmnožinou každé množiny.
Důkaz: Vzhledem k tomu, jakékoli množiny A, chceme dokázat, že ø je podmnožinou A. To zahrnuje prokázání, že všechny prvky ø jsou prvky A. Ale nejsou tam žádné prvky ø.
Pro zkušeného matematika je odvození „ ø nemá žádné prvky, takže všechny prvky ø jsou prvky A“ bezprostřední, ale pro začátečníka to může být problematičtější. Protože ø nemá vůbec žádné členy, jak mohou být „oni“ členy čehokoliv jiného?
Pomůže, když se na to podíváme obráceně. Abychom dokázali, že ø není podmnožinou A, museli bychom najít prvek ø, který není zároveň prvkem A. Protože neexistují žádné prvky ø, je to nemožné, a tudíž ø je skutečně podmnožinou A.
Následující tvrzení říká, že zařazení je částečné pořadí.
POSTOJ 2: Jsou-li množiny A, B a C, pak platí tento hold:
Následující tvrzení říká, že pro každou množinu S výkon množina S objednané zahrnutím je ohraničená mřížka, a proto spolu s distribuční a doplnit zákony pro odbory a průsečíky (viz Základní zákony množiny algebry), ukazují, že je Booleova algebra.
POSTOJ 3: Pokud A, B a C jsou podskupiny množiny S pak následující držet:
Následující výrok říká, že výrok „A ⊆ B “ je ekvivalentní různým jiným výrokům zahrnujícím odbory, průniky a doplňky.
POSTOJ 4: Pro libovolné dvě množiny A a B jsou rovnocenné tyto:
Výše uvedené tvrzení ukazuje, že vztah množinové inkluze lze charakterizovat jednou ze množinových operací sjednocení nebo průniku, což znamená, že pojem množinové inkluze je axiomaticky nadbytečný.
Další vlastnosti zařazení
Obvyklé pořadí na řadových číslech je dáno zařazením.