V teorii pravděpodobnosti a statistice jsou exponenciální rozdělení třídou kontinuálního rozdělení pravděpodobnosti. Často se používají k modelování času mezi událostmi, které se dějí konstantní průměrnou rychlostí.
Specifikace exponenciálního rozdělení
Funkce hustoty pravděpodobnosti
Funkce hustoty pravděpodobnosti (pdf) exponenciálního rozdělení má tvar
kde λ > 0 je parametr rozdělení, často nazývaný rychlostní parametr. Distribuce je podporována na intervalu [0,∞). Pokud náhodná proměnná X má toto rozdělení, napíšeme X ~ Exponenciální(λ).
Exponenciální rozdělení může být alternativně parametrizováno měřítkem μ = 1/λ.
Kumulativní distribuční funkce
Kumulativní distribuční funkce je dána
Běžně používaná alternativní specifikace je definovat hustotu pravděpodobnosti funkce (pdf) exponenciálního rozdělení jako
kde λ > 0 je parametr rozdělení a lze jej považovat za multiplikativní inverzi parametru rychlosti definovaného výše. V této specifikaci je λ parametrem přežití v tom smyslu, že pokud náhodná proměnná X je doba, po kterou daný biologický nebo mechanický systém M dokáže přežít a X ~ Exponenciální(λ) pak . To znamená, že očekávaná doba přežití M je λ jednotek času.
Tato alternativní specifikace je někdy pohodlnější než ta uvedená výše a někteří autoři ji použijí jako standardní definici. Nebudeme předpokládat tuto alternativní specifikaci. To bohužel vyvolává notovou nejednoznačnost. Obecně platí, že čtenář musí zkontrolovat, která z těchto dvou specifikací je použita, pokud autor napíše „X ~ Exponential(λ).“
Výskyt a aplikace
Exponenciální rozdělení se používá k modelování Poissonových procesů, což jsou situace, ve kterých se objekt původně ve stavu A může změnit na stav B s konstantní pravděpodobností na jednotku času λ. Čas, ve kterém se stav skutečně mění, je popsán exponenciální náhodnou proměnnou s parametrem λ. Proto integrál od 0 do T lomeno f je pravděpodobnost, že objekt je ve stavu B v čase T.
Na exponenciální rozdělení lze pohlížet jako na spojitý protějšek geometrického rozdělení, které popisuje počet Bernoulliho pokusů nutných k tomu, aby diskrétní proces změnil stav. Naopak exponenciální rozdělení popisuje dobu, po kterou spojitý proces změní stav.
Exponenciální proměnné lze také použít k modelování situací, kdy dochází k určitým událostem s konstantní pravděpodobností na jednotkovou vzdálenost:
V teorii queueingu jsou časy mezi příchody (tj. časy mezi zákazníky vstupujícími do systému) často modelovány jako exponenciálně distribuované proměnné. Délka procesu, který lze považovat za posloupnost několika nezávislých úkolů, je lépe modelována proměnnou po gama rozdělení (což je součet několika nezávislých exponenciálně distribuovaných proměnných).
Teorie spolehlivosti a inženýrství spolehlivosti také hojně využívají exponenciální rozdělení. Vzhledem k memorylessovské vlastnosti tohoto rozdělení je vhodné modelovat část křivky konstantní nebezpečnosti vany, která se používá v teorii spolehlivosti. Je to také velmi pohodlné, protože je tak snadné přidat do modelu spolehlivosti četnost poruch.
Exponenciální rozdělení však není vhodné modelovat celkovou životnost organismů nebo technických zařízení, protože „četnost poruch“ zde není konstantní: více poruch se vyskytuje u velmi mladých a u velmi starých systémů.
Pokud ve fyzice pozorujete plyn při neměnné teplotě a tlaku v rovnoměrném gravitačním poli, výšky různých molekul také sledují přibližné exponenciální rozdělení. To je důsledek vlastnosti entropie uvedené níže.
Průměrná nebo očekávaná hodnota exponenciálně rozložené náhodné proměnné X s rychlostním parametrem λ je dána
Ve světle výše uvedených příkladů to dává smysl: pokud přijímáte telefonní hovory průměrnou rychlostí 2 za hodinu, pak můžete očekávat, že na každý hovor počkáte půl hodiny.
Důležitou vlastností exponenciálního rozdělení je, že jde o memoryless. To znamená, že pokud je náhodná proměnná T exponenciálně distribuována, její podmíněná pravděpodobnost se řídí
(To by byla nezávislost. Tyto dvě události nejsou nezávislé.)
Exponenciální rozdělení jsou jediná spojitá rozdělení pravděpodobnosti bez memoryless.
Exponenciální rozdělení má také konstantní funkci nebezpečnosti.
Kvantilová funkce (inverzní distribuční funkce) pro Exponenciální (λ) je
pro .
Kvartily jsou tedy:
Mezi všemi spojitými distribucemi pravděpodobnosti s podporou [0,∞) a středním μ má největší entropii exponenciální distribuce s λ = 1/μ.
Předpokládejme, že víte, že daná proměnná je exponenciálně rozložená a chcete odhadnout rychlostní parametr λ.
Funkce pravděpodobnosti pro λ, vzhledem k nezávislému a identicky rozloženému vzorku x = (x1, …, xn) vybranému z vaší proměnné, je
Derivace logaritmu funkce pravděpodobnosti je
Odhad maximální pravděpodobnosti pro parametr sazby je tedy
Konjugát předcházející exponenciální distribuci je gama distribuce (jejíž exponenciální distribuce je zvláštním případem). Užitečná je následující parametrizace gama pdf:
Zadní rozdělení p lze pak vyjádřit pomocí funkce pravděpodobnosti definované výše a gama před:
Nyní byla zadána zadní hustota p až k chybějící normalizační konstantě. Jelikož má tvar gama pdf, lze jej snadno vyplnit a člověk získá
Parametr α lze zde interpretovat jako počet předchozích pozorování a β jako součet předchozích pozorování.
Generování exponenciálních variací
Koncepčně velmi jednoduchá metoda pro generování exponenciálních proměnných je založena na inverzním transformačním vzorkování: Vzhledem k náhodné proměnné U čerpané z rovnoměrného rozdělení na jednotkovém intervalu , Proměnná
má exponenciální rozdělení, kde je kvantilová funkce, definovaná
Navíc, pokud U je jednotná v , Pak tak je . To znamená, že jeden může generovat exponenciální proměnné takto:
Jiné metody pro generování exponenciálních variací jsou diskutovány Knuthem a Devroye.