Narodil se v Kodani, rané vzdělání získal na německém lyceu ve švédském Stockholmu, ale když se rozhodl pokračovat ve studiu medicíny, vrátil se do Kodaně, kde nastoupil na chirurgickou akademii. V roce 1804 promoval jako C. B. a M.D. a v roce 1806 byl jmenován asistentem chirurga na alma mater a v roce 1807 přednášejícím chemii. V letech 1807 až 1810 byl zaměstnán jako lektor na Den Kongelige Veterinær og Landbohòjskole (Královská veterinární a zemědělská střední škola) v Kodani.
Během bombardování Kodaně Brity v roce 1807 sloužil Jacobson jako vojenský chirurg v lazaretu akademické lóže svobodných zednářů a po kapitulaci projevil svou horlivost pro vědecký výzkum tím, že požádal a získal povolení k inspekci britských polních nemocnic, o nichž později (1809) publikoval zajímavou úvahu v „Bibliothek for Læger“. Byl to však obor srovnávací anatomie, kde Jacobson získal svou pověst. Tato věda, která v té době představovala hlavní základ pro studium biologie, byla horlivě pěstována nejvýznačnějšími učenci. V roce 1809 oznámil Jacobson Královské dánské akademii věd a dopisů (Danske Videnskabernes Selskab) své znovuobjevení a výzkumy týkající se dosud neznámého absorpčního orgánu v lidském nose (později pojmenovaném po něm „Jakobsonův orgán“). O tomto objevu G. Cuvier publikoval úvahu „Description Anatomique d’un Organe Observé dans les Mammifères“ v „Annales du Muséum d’Histoire Naturelle“ (Paříž, 1811). Tento objev okamžitě zařadil Jacobsona do přední řady biologů jeho doby. Dánská společnost věd mu udělila stříbrnou čestnou medaili; byla mu udělena vojenská hodnost jako plukovnímu chirurgovi a byla mu udělena královská odměna, která mu umožnila cestovat přes Německo a Francii.
Během svého pobytu v Paříži věnoval Jacobson mnoho času studiu praktické medicíny a chirurgie a byl tak úspěšný, že dánská vláda po jeho návratu v roce 1813 pro něj získala přijetí do francouzské armády, aby mohl studovat lékařský systém, který se v ní používá. V roce 1814 sloužil v polní nemocnici nedaleko Leipsic a nebezpečně onemocněl horečkou, když byl lazaret napaden a vydrancován kozáky. Téhož roku (1814) se vrátil do Dánska a na univerzitě v Kielu obdržel čestný diplom doktora medicíny a chirurgie. V roce 1816 mu tatáž univerzita udělila titul profesora.
Jacobson vynalezl několik přístrojů, které se ukázaly být velkým přínosem pro chirurgickou profesi. Z nich lze zmínit jeho přístroj pro zástavu tepenného krvácení a jeho litoklas pro drcení kamenů v močovém měchýři. Druhý nástroj, který nahradil tehdy používané francouzské litotrity, byl později poněkud upraven významným francouzským chirurgem Guillaumem Dupuytrenem.
V roce 1833 udělila Académie des Sciences Jacobsonovi jednu z Monthyonových cen (4 000 franků), předtím mu udělila zlatou medaili za jeho významné výzkumy v oblasti prodejního systému ledvin u ptáků a plazů. Po smrti anglického anatoma sira Everarda Home se Jacobson stal jeho nástupcem jako odpovídající člen Académie des Sciences. V roce 1836 byl zvolen čestným členem Kongelige Medicinske Selskab, Královské lékařské společnosti (Dánska).
Jacobson byl v roce 1829 povýšen na rytíře z Danebroge a v roce 1836 obdržel stříbrný kříž téhož řádu. Byl také poctěn vyznamenáním od několika zahraničních potentátů. Navzdory všemu lichotivému uznání, kterého se mu dostalo, se však Jacobson cítil v depresi, protože jako Žid byl vyloučen z Kodaňské univerzity. Profesura mu byla nabídnuta pod podmínkou, že přijme křesťanství, ale odmítl opustit víru svých otců. Jeho náboženská víra mu také zabránila přijmout zvláštní pozvání k účasti na prvním setkání přírodních vědců, které se konalo v Christianii (Oslo) v roce 1822, protože v té době ještě platil edikt zakazující Židům zůstat v Norsku. V roce 1840 byl zvolen zahraničním členem Královské švédské akademie věd. Zemřel v Kodani v roce 1843.
Z mnoha Jacobsonových spisů lze zmínit následující: „Undersògelser over den Steensen’ske Næsekirtel hos Pattedyr og Fugle“, Kodaň, 1813; „Nyreportaaresystemet hos Fisk, Padder, og Krybdyr“, ib. 1813, 2d ed. 1821; „Primordialnyrerne“, ib. 1830; „Primordialkraniet“, ib. 1842.