V teorii pravděpodobnosti tvrzení, že dvě události jsou nezávislé, intuitivně znamená, že výskyt jedné události nezvyšuje ani nesnižuje pravděpodobnost výskytu druhé. Například:
Podobně jsou dvě náhodné veličiny nezávislé, jestliže podmíněné rozdělení pravděpodobnosti jedné z nich při pozorované hodnotě druhé je stejné, jako kdyby hodnota druhé nebyla pozorována. Pojem nezávislosti se rozšiřuje i na soubory více než dvou událostí nebo náhodných veličin.
V některých případech je termín „nezávislý“ nahrazen termínem „statisticky nezávislý“, „okrajově nezávislý“ nebo „absolutně nezávislý“.
Standardní definice říká:
Zde A ∩ B je průnik A a B, tj. událost, kdy nastanou obě události A a B.
Obecněji řečeno, libovolná množina událostí – případně více než jen dvě z nich – je vzájemně nezávislá tehdy a jen tehdy, když pro libovolnou konečnou podmnožinu A1, …, An této množiny platí, že
Tomuto pravidlu se říká pravidlo násobení nezávislých událostí.
Jsou-li dvě události A a B nezávislé, pak podmíněná pravděpodobnost A vzhledem k B je stejná jako nepodmíněná (nebo mezní) pravděpodobnost A, tj,
Existují přinejmenším dva důvody, proč tento výrok není považován za definici nezávislosti: (1) obě události A a B nehrají v tomto výroku symetrickou roli a (2) s tímto výrokem vznikají problémy, pokud se jedná o události s pravděpodobností 0.
Podmíněná pravděpodobnost události A vzhledem k události B je dána vztahem
Výše uvedené tvrzení, pokud je ekvivalentní
což je standardní definice uvedená výše.
Všimněte si, že nezávislost nemá stejný význam jako v lidovém jazyce. Například událost je nezávislá sama na sobě tehdy a jen tehdy, když
To znamená, zda je jeho pravděpodobnost rovna jedné nebo nule. Pokud tedy událost nebo její doplněk téměř jistě nastane, je na sobě nezávislá. Například jestliže událost A je výběr libovolného čísla kromě 0,5 z rovnoměrného rozdělení na jednotkovém intervalu, je A nezávislá sama na sobě, i když tautologicky A plně určuje A.
Nezávislé náhodné veličiny
To, co je definováno výše, je nezávislost událostí. V této části se budeme zabývat nezávislostí náhodných veličin. Jestliže je reálná náhodná veličina a je číslo, pak událost {} je množina výsledků, které odpovídají tomu, že je menší nebo rovna .
Protože se jedná o množiny výsledků, které mají pravděpodobnost, má smysl hovořit o tom, že události tohoto druhu jsou nezávislé na jiných událostech tohoto druhu.
Teoretikům míry může být milejší nahradit události {} za události {} ve výše uvedené definici, kde je libovolná Borelova množina. Tato definice je přesně ekvivalentní výše uvedené definici, pokud jsou hodnoty náhodných veličin reálná čísla. Její výhodou je, že funguje i pro náhodné veličiny s komplexní hodnotou nebo pro náhodné veličiny nabývající hodnot v libovolném topologickém prostoru.
Pokud jsou libovolné dvě náhodné veličiny ze souboru nezávislé, mohou být přesto vzájemně nezávislé; tomu se říká párová nezávislost.
Pokud jsou a nezávislé, pak operátor očekávání má vlastnost
a pro rozptyl platí
takže kovariance je nulová.
(Obrácený výrok, tj. tvrzení, že pokud mají dvě náhodné veličiny kovarianci 0, musí být nezávislé, není pravdivý. Viz nekorelované.)
Kromě toho jsou náhodné veličiny a s distribučními funkcemi a , a hustotami pravděpodobnosti a , nezávislé tehdy a jen tehdy, když má kombinovaná náhodná veličina společné rozdělení
nebo ekvivalentně společná hustota
Podobné výrazy charakterizují nezávislost obecněji pro více než dvě náhodné veličiny.
Obě výše uvedené definice jsou zobecněny následující definicí nezávislosti pro σ-algebry. Nechť (Ω, Σ, Pr) je pravděpodobnostní prostor a nechť A a B jsou dvě subσ-algebry Σ. O A a B se říká, že jsou nezávislé, jestliže vždy, když A ∈ A a B ∈ B,
Nová definice navazuje na předchozí definice velmi přímo:
Na základě této definice lze snadno ukázat, že pokud jsou X a Y náhodné veličiny a Y je Pr-téměř jistě konstantní, pak jsou X a Y nezávislé.
Podmíněně nezávislé náhodné veličiny
Intuitivně jsou dvě náhodné veličiny X a Y podmíněně nezávislé vzhledem k Z, pokud po znalosti Z hodnota Y nepřidává žádnou další informaci o X. Například dvě měření X a Y téže základní veličiny Z nejsou nezávislá, ale jsou podmíněně nezávislá vzhledem k Z (pokud chyby v obou měřeních nejsou nějak propojeny).
Formální definice podmíněné nezávislosti je založena na myšlence podmíněných rozdělení. Jsou-li X, Y a Z diskrétní náhodné veličiny, pak definujeme X a Y jako podmíněně nezávislé vzhledem k Z, jestliže
pro všechna x, y a z tak, že P(Z ≤ z) > 0. Na druhé straně, pokud jsou náhodné veličiny spojité a mají společnou funkci hustoty pravděpodobnosti p, pak jsou X a Y podmíněně nezávislé vzhledem k Z, jestliže
pro všechna reálná čísla x, y a z taková, že pZ(z) > 0.
Pokud jsou X a Y podmíněně nezávislé vzhledem k Z, pak platí, že
pro libovolné x, y a z s P(Z = z) > 0. To znamená, že podmíněné rozdělení pro X dané Y a Z je stejné jako rozdělení dané pouze Z. Podobná rovnice platí pro podmíněné funkce hustoty pravděpodobnosti ve spojitém případě.
Nezávislost lze chápat jako zvláštní druh podmíněné nezávislosti, protože pravděpodobnost lze chápat jako druh podmíněné pravděpodobnosti za předpokladu, že nedošlo k žádné události.