V teorii pravděpodobnosti a statistice je Poissonovo rozdělení diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, které vyjadřuje pravděpodobnost výskytu určitého počtu událostí za pevně stanovený časový úsek, pokud se tyto události vyskytují se známou průměrnou četností a jsou nezávislé na době od poslední události.
Toto rozdělení objevil Siméon-Denis Poisson (1781-1840) a publikoval je spolu se svou teorií pravděpodobnosti v roce 1838 ve svém díle Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile („Výzkum pravděpodobnosti rozsudků v trestních a občanských věcech“). Práce se zaměřila na určité náhodné veličiny N, které mimo jiné počítají počet diskrétních událostí (někdy nazývaných „příchody“), k nimž dojde během časového intervalu dané délky. Pravděpodobnost, že se vyskytne přesně k událostí (k je nezáporné celé číslo, k = 0, 1, 2, …), je následující
Jako funkce k je to hmotnostní funkce pravděpodobnosti. Poissonovo rozdělení lze odvodit jako limitní případ binomického rozdělení.
Poissonovo rozdělení se někdy nazývá poissonovské, obdobně jako Gaussovo nebo normální rozdělení.
Poissonův šum a charakterizace malých výskytů
Parametrem není pouze průměrný počet výskytů ,
ale také jeho rozptyl (viz tabulka). Počet pozorovaných výskytů tedy kolísá kolem svého průměru se směrodatnou odchylkou . Tyto fluktuace se označují jako Poissonův šum nebo (zejména v elektronice) jako šum výstřelu.
Korelace průměru a směrodatné odchylky při počítání nezávislých, diskrétních výskytů je užitečná z vědeckého hlediska. Sledováním toho, jak se fluktuace mění v závislosti na středním signálu, lze odhadnout příspěvek
jednotlivého výskytu, i když je tento příspěvek příliš malý na to, aby se dal přímo zjistit. Například náboj e na elektronu lze odhadnout korelací velikosti elektrického proudu s jeho šumem výstřelu. Jestliže elektrony projdou v daném čase v průměru bodem, je střední proud ; protože fluktuace proudu by měly být řádu , lze náboj e odhadnout z poměru . Každodenním příkladem je zrnitost, která se objevuje při zvětšování fotografií; zrnitost je způsobena Poissonovým kolísáním počtu redukovaných zrn stříbra, nikoliv jednotlivých zrn samotných. Korelací zrnitosti se stupněm zvětšení lze odhadnout podíl jednotlivých zrn (která jsou jinak příliš malá na to, aby byla vidět bez pomoci). Albert Einstein použil Poissonův šum, aby dokázal, že hmota se skládá z diskrétních atomů, a odhadl Avogadrovo číslo; Poissonův šum použil také při zpracování záření černého tělesa, aby prokázal, že elektromagnetické záření se skládá z diskrétních fotonů. Bylo vyvinuto mnoho dalších molekulárních aplikací Poissonova šumu, např. odhad hustoty počtu molekul receptorů v buněčné membráně.
Někdy se za λ považuje rychlost, tj. průměrný počet výskytů za jednotku času. V takovém případě, je-li Nt počet výskytů před časem t, pak máme
a doba čekání T do prvního výskytu je spojitá náhodná veličina s exponenciálním rozdělením (s parametrem λ). Toto rozdělení pravděpodobnosti lze odvodit ze skutečnosti, že
Když se do procesu zapojí čas, pak máme jednorozměrný Poissonův proces, který zahrnuje jak diskrétní náhodné veličiny s Poissonovým rozdělením, které počítají počet příchodů v každém časovém intervalu, tak spojité čekací doby s Erlangovým rozdělením. Existují také Poissonovy procesy s dimenzí vyšší než 1.
Poissonovo rozdělení vzniká v souvislosti s Poissonovými procesy. Používá se pro různé jevy diskrétní povahy (tj. takové, které se mohou vyskytnout 0, 1, 2, 3, …krát za dané časové období nebo v daném prostoru), kdykoli je pravděpodobnost výskytu jevu konstantní v čase nebo prostoru. Mezi příklady jevů, které lze modelovat jako Poissonovo rozdělení, patří např:
Jak toto rozdělení vzniká? – Zákon vzácných událostí
V několika výše uvedených příkladech – například počet mutací v dané sekvenci DNA – jsou počítané události ve skutečnosti výsledky diskrétních pokusů a přesněji by se modelovaly pomocí binomického rozdělení. Avšak binomické rozdělení s parametry n a λ/n, tj. rozdělení pravděpodobnosti počtu úspěchů v n pokusech s pravděpodobností λ/n úspěchu v každém pokusu, se s blížícím se n blíží Poissonovu rozdělení s očekávanou hodnotou λ. Tato hranice se někdy označuje jako zákon vzácných událostí, i když tento název může být zavádějící, protože události v Poissonově procesu nemusí být vzácné (počet telefonních hovorů na obsazené ústředně za jednu hodinu se řídí Poissonovým rozdělením, ale tyto události bychom nepovažovali za vzácné). Poskytuje prostředek, kterým lze aproximovat náhodné veličiny pomocí Poissonova rozdělení namísto těžkopádnějšího binomického rozdělení.
Zde jsou podrobnosti. Nejprve si připomeňme, že z počtů platí, že
Nechť p = λ/n. Pak máme
Jak se n blíží k ∞, výraz nad prvním podtržítkem se blíží k 1; druhý zůstává konstantní, protože se v něm „n“ vůbec nevyskytuje; třetí se blíží k e-λ; a čtvrtý výraz se blíží k 1.
V důsledku toho je limit
Obecněji řečeno, kdykoli je posloupnost binomických náhodných veličin s parametry n a pn taková, že
posloupnost konverguje k Poissonově náhodné veličině se střední hodnotou λ (viz např. zákon vzácných událostí).
Generování náhodných veličin s Poissonovým rozdělením
algoritmus poissonova náhodného čísla (Knuth):
Vzhledem k vzorku n naměřených hodnot ki chceme odhadnout hodnotu parametru λ Poissonovy populace, z níž byl vzorek vybrán. Pro výpočet hodnoty maximální věrohodnosti vytvoříme logaritmicko-věrohodnostní funkci
Vezměte derivaci L vzhledem k λ a srovnejte ji s nulou:
Řešením pro λ získáme maximálně věrohodný odhad λ:
Protože každé pozorování má očekávání λ, má i tento výběrový průměr. Je to tedy nestranný odhad λ. Je to také efektivní odhad, tj. jeho rozptyl dosahuje Cramér-Raoovy dolní meze (CRLB).
V bayesovské inferenci je konjugovanou prioritou pro parametr rychlosti λ Poissonova rozdělení rozdělení Gamma. Nechť
označujeme, že λ je rozdělena podle gama hustoty g parametrizované pomocí parametru tvaru α a inverzního parametru měřítka β:
Pak při stejném vzorku n naměřených hodnot ki jako dříve a prioritě Gamma(α, β) je posteriorní rozdělení následující
Posteriorní průměr E[λ] se blíží odhadu maximální věrohodnosti v limitě jako .
Posteriorní prediktivní rozdělení dodatečných dat je Gamma-Poissonovo (tj. záporné binomické) rozdělení.
„Zákon malých čísel“
Slovo zákon se někdy používá jako synonymum pro rozdělení pravděpodobnosti a konvergence v zákoně znamená konvergenci v rozdělení. V souladu s tím se Poissonovo rozdělení někdy nazývá zákon malých čísel, protože se jedná o rozdělení pravděpodobnosti počtu výskytů události, která nastává zřídka, ale má velmi mnoho příležitostí, aby nastala. Zákon malých čísel je kniha Ladislava Bortkiewicze o Poissonově rozdělení vydaná v roce 1898. Někteří historici matematiky tvrdí, že Poissonovo rozdělení se mělo nazývat Bortkiewiczovo rozdělení.