Albright se narodil v Buffalu ve státě New York. „Fuller“ bylo dívčí jméno jeho matky. V sedmnácti letech nastoupil na Harvard College. Po absolvování s vyznamenáním o tři roky později nastoupil na Harvard Medical School. Zatímco zpočátku se zajímal o porodnictví a ortopedii, objev inzulínu ho přilákal k interní medicíně, konkrétně ke studiu metabolismu. Po stáži v Massachusettské všeobecné nemocnici se pustil do jednoletého programu výzkumu s Josephem C. Aubem, především v oblasti metabolismu vápníku a otravy olovem. Následně byl asistentem doktora Warfielda Longcope v nemocnici Johnse Hopkinse v Baltimoru, kde společně se svým přítelem Johnem Eagerem Howardem prováděl četné experimenty (často aniž by si uvědomoval jejich význam). Nakonec strávil rok ve Vídni u patologa prof. Jakoba Erdheima.
Na počátku třicátých let se vrátil do Bostonu, kde se stal členem personálu Massachusettské všeobecné nemocnice. V roce 1933 se oženil s Claire Birgeovou; měli spolu dva syny. V MGH rychle rozvinul endokrinologickou výzkumnou skupinu.
Albrightovi se připisují četné objevy v medicíně. Popsal polyostotickou fibrózní dysplazii (později eponymicky nazývanou McCune-Albrightův syndrom), klinické a patologické rysy a různé typy hyperparatyreózy (nadměrná produkce parathormonu příštítnými žlázami), mechanismus Cushingova syndromu, renální tubulární acidózu (neschopnost ledvin regulovat acidobazickou rovnováhu v těle) a uznal význam menopauzy na osteoporózu. Vymezil také formy vrozené adrenální hyperplazie.
Byl prezidentem Americké společnosti pro klinické vyšetřování (1943-1944), Asociace pro studium vnitřních sekvencí (1945-1946) a Endokrinní společnosti (1946-1947). V roce 1955 byl zvolen do Národní akademie věd.
V roce 1937 se u něj rozvinula Parkinsonova choroba. V roce 1956 byly jeho symptomy natolik nezvladatelné, že podstoupil experimentální operaci mozku, chemickou pallidotomii (vyhlazení globusu pallidus injekcí alkoholu). Zákrok na pravé straně byl úspěšný, ale zákrok na levé straně komplikovalo krvácení, po kterém zůstal afázií a kómatem po zbývajících 13 let svého života, během kterých byl ošetřován v Massachusettské všeobecné nemocnici.