Lineární interpolace je metoda tvarování křivek pomocí lineárních polynomů. Je silně využívána v matematice (zejména numerické analýze) a v mnoha aplikacích včetně počítačové grafiky. Je to jednoduchá forma interpolace.
Lerp je kvazi-zkratka pro lineární interpolaci, která může být také použita jako sloveso (Raymond 2003).
Lineární interpolace mezi dvěma známými body
Pokud jsou dva známé body jsou dány souřadnicemi a , Lineární interpolant je přímka mezi těmito body. Pro hodnotu x v intervalu , Hodnota y podél přímky je dána z rovnice
které lze geometricky odvodit z obrázku vpravo.
Řešení této rovnice pro y, což je neznámá hodnota v x, dává
který je vzorec pro lineární interpolaci v intervalu . Mimo tento interval je vzorec shodný s lineární extrapolací.
Interpolace datového souboru
Lineární interpolace na množině datových bodů je definována jako zřetězení lineárních interpolantů mezi každou dvojicí datových bodů. Výsledkem je spojitá křivka s nespojitou derivací, tedy třídy diferencovatelnosti .
Lineární interpolace jako aproximace
Lineární interpolace se často používá k aproximaci hodnoty některé funkce f pomocí dvou známých hodnot této funkce v jiných bodech. Chyba této aproximace je definována jako
kde p označuje výše definovaný lineární interpolační polynom
Lze dokázat pomocí Rolleovy věty, že pokud f má spojitou druhou derivaci, chyba je ohraničena
Jak vidíte, aproximace mezi dvěma body dané funkce se zhoršuje s druhou derivací funkce, která je aproximována. To je také intuitivně správné: čím je funkce „curvier“, tím horší jsou aproximace s jednoduchou lineární interpolací.
Lineární interpolace se často používá k vyplnění mezer v tabulce. Předpokládejme, že máte tabulku se seznamem obyvatel nějaké země v letech 1970, 1980, 1990 a 2000 a že chcete odhadnout počet obyvatel v roce 1994. Lineární interpolace vám dává snadný způsob, jak to udělat.
Základní operace lineární interpolace mezi dvěma hodnotami se v počítačové grafice používá tak běžně, že se jí v žargonu tohoto pole někdy říká lerp. Termín může být použit jako sloveso nebo podstatné jméno pro operaci. např. „Bresenhamův algoritmus lerps inkrementálně mezi dvěma koncovými body linky.“
Operace Lerp jsou zabudovány do hardwaru všech moderních procesorů počítačové grafiky. Často se používají jako stavební bloky pro složitější operace: například bilineární interpolace může být provedena ve dvou lerpech. Protože je tato operace levná, je to také dobrý způsob, jak implementovat přesné vyhledávací tabulky s rychlým vyhledáváním pro hladké funkce, aniž by mělo příliš mnoho položek tabulky.
Pokud je funkce C0 nedostatečná, například pokud je známo, že proces, který vytvořil datové body, je hladší než C0, je běžné nahradit lineární interpolaci splinovou interpolací, nebo v některých případech dokonce polynomiální interpolací.
Lineární interpolace, jak je zde popsána, se týká datových bodů v jedné prostorové dimenzi. U dvou prostorových dimenzí se rozšíření lineární interpolace nazývá bilineární interpolace a u tří dimenzí trilineární interpolace. Jiná rozšíření lineární interpolace lze aplikovat na jiné druhy ok, jako jsou trojúhelníková a čtyřstěnná oka.
Lineární interpolace byla používána již od starověku pro vyplnění mezer v tabulkách, často s astronomickými údaji. Předpokládá se, že byla používána v Seleukovské říši (poslední tři století před naším letopočtem) a řeckým astronomem a matematikem Hipparchem (druhé století před naším letopočtem). Popis lineární interpolace lze nalézt v Almagestu (druhé století před naším letopočtem) Ptolemaia.