V lineární algebře je rodina vektorů lineárně nezávislá, pokud žádný z nich nelze zapsat jako lineární kombinaci konečného počtu jiných vektorů v souboru. Rodina vektorů, která není lineárně nezávislá, se nazývá lineárně závislá. Například v trojrozměrném reálném vektorovém prostoru R3 máme následující příklad.
Zde jsou první tři vektory lineárně nezávislé, ale čtvrtý vektor se rovná 9 krát první plus 5 krát druhý plus 4 krát třetí, takže tyto čtyři vektory jsou dohromady lineárně závislé. Lineární závislost je vlastnost rodiny, nikoliv konkrétního vektoru; zde bychom mohli stejně dobře zapsat první vektor jako lineární kombinaci posledních tří.
Nechť v1, v2, …, vn jsou vektory. Říkáme, že jsou lineárně závislé, jestliže existují čísla a1, a2, …, an, která nejsou všechna rovna nule, taková, že
Všimněte si, že nula vpravo je nulový vektor, nikoli číslo nula.
Pokud taková čísla neexistují, pak se o vektorech říká, že jsou lineárně nezávislé. Tuto podmínku lze přeformulovat takto: Vždy, když a1, a2, …, an jsou čísla taková, že
máme ai = 0 pro i = 1, 2, …, n, tj. existuje pouze triviální řešení.
Obecněji řečeno, nechť V je vektorový prostor nad polem K a nechť {vi}i∈I je rodina prvků V. Rodina je lineárně závislá nad K, jestliže existuje rodina {aj}j∈J prvků K, ne všechny nulové, taková, že
kde indexová množina J je neprázdná konečná podmnožina I.
Množina X prvků V je lineárně nezávislá, jestliže odpovídající rodina {x}x∈X je lineárně nezávislá.
Ekvivalentně je rodina závislá, pokud je člen v lineárním rozpětí zbytku rodiny, tj. člen je lineární kombinací zbytku rodiny.
Množina vektorů, která je lineárně nezávislá a pokrývá nějaký vektorový prostor, tvoří bázi tohoto vektorového prostoru.
K objasnění pojmu lineární nezávislosti může pomoci geografický příklad. Osoba, která popisuje polohu určitého místa, může říci: „Je to 5 mil severně a 6 mil východně odtud“. To je dostatečná informace pro popis místa, protože zeměpisný souřadnicový systém lze považovat za dvourozměrný vektorový prostor (bez ohledu na nadmořskou výšku). Osoba může dodat: „To místo je vzdáleno 7,81 míle severovýchodně odtud.“. Ačkoli je poslední tvrzení pravdivé, není nutné.
V tomto příkladu jsou vektor „5 mil severně“ a vektor „6 mil východně“ lineárně nezávislé. To znamená, že severní vektor nelze popsat pomocí východního vektoru a naopak. Třetí vektor „7,81 míle severovýchod“ je lineární kombinací ostatních dvou vektorů a činí množinu vektorů lineárně závislou, to znamená, že jeden ze tří vektorů je zbytečný.
Všimněte si, že v tomto příkladu lze kterýkoli ze tří vektorů popsat jako lineární kombinaci ostatních dvou. Ačkoli to může být nepohodlné, lze „6 mil východně“ popsat pomocí severu a severovýchodu. (Například: „Jděte 5 mil na jih (matematicky -5 mil na sever) a pak jděte 7,81 mil na severovýchod.“). Podobně je severní vektor lineární kombinací východního a severovýchodního vektoru.
Všimněte si také, že pokud není ignorována nadmořská výška, je nutné přidat do lineárně nezávislé množiny třetí vektor. Obecně je k popisu místa v n-rozměrném prostoru zapotřebí n lineárně nezávislých vektorů.
Vektory (1, 1) a (-3, 2) v R2 jsou lineárně nezávislé.
Nechť λ1 a λ2 jsou dvě reálná čísla taková, že
Vezmeme-li každou souřadnici zvlášť, znamená to, že
Řešením pro λ1 a λ2 zjistíme, že λ1 = 0 a λ2 = 0.
Alternativní metoda s použitím determinantů
Alternativní metoda využívá skutečnosti, že n vektorů v Rn je lineárně závislých tehdy a jen tehdy, když determinant matice vytvořené tak, že vektory jsou jejími sloupci, je roven nule.
V tomto případě je matice tvořená vektory následující
Lineární kombinaci sloupců můžeme zapsat jako
Zajímá nás, zda AΛ = 0 pro nějaký nenulový vektor Λ. To závisí na determinantu A, který je
Protože determinant je nenulový, jsou vektory (1, 1) a (-3, 2) lineárně nezávislé.
Pokud se počet vektorů rovná rozměru vektorů, je matice čtvercová, a je tedy definován determinant.
Jinak předpokládejme, že máme m vektorů o n souřadnicích, přičemž m < n. Pak A je matice n × m a Λ je sloupcový vektor s m položkami a nás opět zajímá AΛ = 0. Jak jsme viděli dříve, je to ekvivalentní seznamu n rovnic. Uvažujme prvních m řádků A, tedy prvních m rovnic; každé řešení úplného seznamu rovnic musí platit i pro redukovaný seznam. Ve skutečnosti, je-li 〈i1,...,im〉 libovolný seznam m řádků, pak rovnice musí být pravdivá pro tyto řádky.
Navíc je to i naopak. To znamená, že můžeme otestovat, zda je m vektorů lineárně závislých, a to tak, že otestujeme, zda
pro všechny možné seznamy m řádků. (V případě, že m = n, stačí pouze jeden determinant, jak je uvedeno výše. Pokud m > n, pak platí věta, že vektory musí být lineárně závislé.) Tento fakt je cenný pro teorii, v praktických výpočtech jsou k dispozici efektivnější metody.
Nechť V = Rn a uvažujme následující prvky ve V:
Pak jsou e1, e2, …, en lineárně nezávislé.
Předpokládejme, že a1, a2, …, an jsou takové prvky R, že
pak ai = 0 pro všechna i v {1, …, n}.
Nechť V je vektorový prostor všech funkcí reálné proměnné t. Pak funkce et a e2t ve V jsou lineárně nezávislé.
Předpokládejme, že a a b jsou dvě reálná čísla taková, že
pro všechny hodnoty t. Musíme ukázat, že a = 0 a b = 0. Za tímto účelem vydělíme et (které nikdy není nulové) a odečteme, abychom dostali hodnotu a = 0.
Jinými slovy, funkce bet musí být nezávislá na t, což nastane pouze tehdy, když b = 0. Z toho vyplývá, že a je také nulová.
Projektivní prostor lineárních závislostí
Lineární závislost mezi vektory v1, …, vn je trojice (a1, …, an) s n skalárními složkami, které nejsou všechny nulové, taková, že
Pokud taková lineární závislost existuje, pak je n vektorů lineárně závislých. Má smysl identifikovat dvě lineární závislosti, pokud jedna vzniká jako nenulový násobek druhé, protože v tomto případě obě popisují stejný lineární vztah mezi vektory. Při této identifikaci je množina všech lineárních závislostí mezi vektory v1, …., vn projektivním prostorem.