Doxastická logika je modální logika zabývající se úvahami o víře. Termín doxastický pochází ze starořeckého δόξα, doxa, což znamená „víra“. Obvykle doxastická logika používá ‚Bx‘ ve smyslu „Věří se, že x je případ“ a množina označuje množinu přesvědčení. V doxastické logice se s vírou zachází jako s modálním operátorem.
Existuje úplný paralelismus mezi osobou, která věří výrokům, a formálním systémem, který odvozuje výroky. Pomocí doxastické logiky lze vyjádřit epistemický protějšek Gödelovy věty o neúplnosti metalogické, stejně jako Löbovu větu a další metalogické výsledky ve smyslu víry.
Pro demonstraci vlastností množin přesvědčení, Raymond Smullyan definuje následující typy argumentů:
Přesný rozumitel nikdy nevěří žádné falešné tvrzení. (modální axiom T)
Zvýšení úrovně racionality
Gödelova neúplnost a doxastická nerozhodnutelnost
Řekněme, že přesný rozumbrada stojí před úkolem přiřadit pravdivostní hodnotu výroku, který je mu předkládán. Existuje výrok, o kterém musí rozumbrada buď zůstat navždy nerozhodnutý, nebo svou přesnost ztratit. Jedním z řešení je výrok:
Věří-li někdy logický pracovník tvrzení S, stává se tímto faktem zfalšovaným, čímž se S stává nepravdivým přesvědčením, a tudíž se logický pracovník mylně domnívá, že S.
Tudíž, vzhledem k tomu, že argumentátor je přesný, nikdy neuvěří S. Tudíž výrok byl pravdivý, protože to je přesně to, co tvrdil. Dále z toho vyplývá, že argumentátor nikdy nebude mít falešné přesvědčení, že S je pravdivý. Argumentátor nemůže uvěřit ani tomu, že výrok je pravdivý nebo nepravdivý, aniž by se stal nekonzistentním (tj. zastával dvě protichůdná přesvědčení). A tak musí argumentant zůstat navždy nerozhodnutý, zda výrok S je pravdivý nebo nepravdivý.
Ekvivalentní věta je, že pro jakýkoliv formální systém F existuje matematický výrok, který může být interpretován jako „Tento výrok není prokazatelný ve formálním systému F“. Pokud je systém F konzistentní, ani výrok, ani jeho opak v něm nebudou prokazatelné.
Nekonzistence a svéráznost domýšlivých rozumbradů
Odůvodnění typu 1 je postaveno před výrok „Této větě nikdy neuvěřím.“ Zajímavé na tom je, že pokud se zdůvodnění domnívá, že je vždy přesné, pak se stane nepřesným. Takový zdůvodnění zdůvodní: „Pokud uvěřím výroku, pak bude učiněn nepravdivým tímto faktem, což znamená, že budu nepřesný. To je nemožné, protože jsem vždy přesný. Proto nemohu uvěřit výroku: musí být nepravdivý.“
V tomto bodě se logický pracovník domnívá, že výrok je nepravdivý, což činí výrok pravdivým. Tudíž je logický pracovník nepřesný v tom, že se domnívá, že výrok je nepravdivý. Kdyby logický pracovník nepředpokládal svou vlastní přesnost, nikdy by neupadl do nepřesnosti.
Lze také prokázat, že domýšlivý rozumbrada je zvláštní.
Pro systémy definujeme reflexivitu tak, že pro každé p (v jazyce systému) existuje nějaké q takové, že q≡(Bq→p) je prokazatelné v systému. Löbova věta (v obecné formě) je, že pro každý reflexivní systém typu 4, pokud Bp→p je prokazatelné v systému, tak je p.
Nejednotnost víry ve vlastní stabilitu
Pokud se konzistentní reflexivní logický pracovník typu 4 domnívá, že je stabilní, pak se stane nestabilním. Jinak řečeno, pokud se stabilní reflexivní logický pracovník typu 4 domnívá, že je stabilní, pak se stane nekonzistentním. Proč tomu tak je? Předpokládejme, že stabilní reflexivní logický pracovník typu 4 věří, že je stabilní. Ukážeme, že bude (dříve nebo později) věřit každé tezi p (a tudíž bude nekonzistentní). Vezměte jakoukoliv tezi p. Logický pracovník věří BBp→Bp, tudíž podle Löbovy věty bude věřit Bp (protože věří Br→r, kde r je teze Bp, a tak bude věřit r, což je teze Bp). Protože je stabilní, bude pak věřit p.