V teorii pravděpodobnosti a statistice je kth moment o průměru (nebo kth centrálním momentu) náhodné veličiny X s reálnou hodnotou veličinou E[(X − E[X])k], kde E je operátor očekávání. Některé náhodné veličiny nemají žádný průměr, v takovém případě není definován moment o průměru. kth moment o průměru je často označován jako μk. Pro spojité rozložení pravděpodobnosti s jednorozměrnou funkcí hustoty pravděpodobnosti f(x) je moment o průměru μ
Někdy je výhodné převést momenty o vzniku na momenty o průměru. Obecná rovnice pro převod momentu n-tého řádu o vzniku na moment o průměru je
kde m je průměr rozdělení, a okamžik o původu je dán
První moment o průměru je nula. Druhý moment o průměru se nazývá rozptyl a obvykle se označuje σ2, kde σ představuje směrodatnou odchylku. Třetí a čtvrtý moment o průměru se používají k definování standardizovaných momentů, které se zase používají k definování šikmosti a kurtózy.
Pro n ≥ 2 je n-tý centrální moment translačně invariantní, tj. pro libovolnou náhodnou proměnnou X a libovolnou konstantu c máme
Pro všechna n je n-tý centrální moment homogenní stupně n:
Pouze pro n ≤ 3 máme vlastnost additivity pro náhodné proměnné X a Y, které jsou nezávislé:
Související funkce, která sdílí vlastnosti translační invariance a homogenity s n-tým centrálním momentem, ale má tuto vlastnost aditivity i když n ≥ 4 je n-tý kumulátor κn(X). Pro n = 1 je n-tý kumulát jen očekávaná hodnota; pro n = buď 2 nebo 3 je n-tý kumulát jen n-tý centrální moment; pro n ≥ 4 je n-tý kumulát n-tý monický polynom v prvních n momentech (asi nula) a je také (jednodušší) n-tý polynom v prvních n centrálních momentech.
Ústřední momenty 2, 3 a 4
Jak bylo uvedeno výše, druhý ústřední moment je rozptyl a třetí a čtvrtý ústřední moment souvisí s šikmostí a kurtózou. Proto je užitečné mít vzorce pro tyto ústřední momenty z hlediska momentů o vzniku. Jsou to:
kde je průměr, jako dříve.