V teorii pravděpodobnosti charakteristická funkce libovolné náhodné veličiny zcela definuje její rozdělení pravděpodobnosti. Na reálné přímce je dána následujícím vzorcem, kde X je libovolná náhodná veličina s daným rozdělením:
kde t je reálné číslo, i je imaginární jednotka a E označuje očekávanou hodnotu.
Je-li FX je kumulativní distribuční funkce, pak charakteristická funkce je dána Riemann-Stieltjesův integrál
V případech, kdy existuje hustota pravděpodobnosti funkce, fX, se to stává
Je-li X náhodná veličina oceněná vektorem, bere se argument t jako vektor a tX jako skalární součin.
Každé rozdělení pravděpodobnosti na R nebo na Rn má charakteristickou funkci, protože integruje ohraničenou funkci nad prostorem, jehož míra je konečná.
Více než to, existuje bijekce mezi kumulativními funkcemi rozdělení pravděpodobnosti a charakteristickými funkcemi. Jinými slovy, dvě odlišná rozdělení pravděpodobnosti nikdy nesdílejí stejnou charakteristickou funkci.
Při dané charakteristické funkci φ je možné rekonstruovat odpovídající kumulativní funkci rozdělení pravděpodobnosti F:
Obecně se jedná o nesprávný integrál; funkce, která je integrována, může být pouze podmíněně integrální spíše než Lebesgueova integrální, tj. integrál její absolutní hodnoty může být nekonečný.
Pokud posloupnost charakteristických funkcí distribucí Fn konverguje k charakteristické funkci distribuce F, pak Fn(x) konverguje k F(x) při každé hodnotě x, při které je F spojitá.
Použití charakteristických funkcí
Charakteristické funkce jsou zvláště užitečné pro práci s funkcemi nezávislých náhodných proměnných. Například pokud X1, X2, …, Xn je posloupnost nezávislých (a ne nutně identicky rozložených) náhodných proměnných, a
kde ai jsou konstanty, pak charakteristická funkce pro Sn je dána
Zejména, . Chcete-li to vidět, napište definici charakteristické funkce:
Všimněte si, že nezávislost a je nutné stanovit rovnost třetí a čtvrtý výraz.
Kvůli kontinuitě věta, charakteristické funkce jsou použity v nejčastěji viděný důkaz o centrální limitní věta.
Charakteristické funkce mohou být také použity k nalezení momentů náhodné proměnné. Za předpokladu, že existuje n-tý moment, charakteristická funkce může být diferencována n krát a
Charakteristické funkce vznikají v prohlášení a doklad o Bochner věta.
Související pojmy zahrnují funkci generující moment a funkci generující pravděpodobnost. Charakteristická funkce existuje pro všechna rozdělení pravděpodobnosti. To však neplatí pro funkci generující moment.
Charakteristická funkce úzce souvisí s Fourierovou transformací:
charakteristická funkce hustoty pravděpodobnosti funkce je komplexní konjugát spojité Fourierovy transformace na (podle obvyklé konvence; viz).
kde označuje spojitou Fourierovu transformaci funkce hustoty pravděpodobnosti .
Podobně, může být obnovena prostřednictvím inverzní Fourierovy transformace:
Dokonce i když náhodná veličina nemá hustotu, charakteristickou funkci lze považovat za Fourierovu transformaci míry odpovídající náhodné veličině.