Nulový součet popisuje situaci, kdy je zisk nebo ztráta účastníka přesně vyvážena ztrátami nebo zisky ostatních účastníků. Nazývá se tak proto, že když se sečtou celkové zisky účastníků a odečtou celkové ztráty, jejich součet se rovná nule. Příkladem hry s nulovým součtem jsou šachy – není možné, aby oba hráči vyhráli. Nulový součet je speciálním případem obecnějšího konstantního součtu, kdy se zisky a ztráty všech hráčů rovnají stejné hodnotě. Krájení dortu je hra s nulovým nebo konstantním součtem, protože odebrání většího kusu dortu snižuje množství dortu, které je k dispozici ostatním.
Situace, kdy všichni účastníci mohou společně získat nebo utrpět, jako například země s přebytkem banánů, která obchoduje s jinou zemí za její přebytek jablek, přičemž z transakce mají prospěch obě země, se označují jako nenulový součet. Jiné hry s nenulovým součtem jsou hry, ve kterých je součet zisků a ztrát hráčů vždy menší než jejich počáteční hodnota, jako například při hře poker v kasinu, kde si podíl bere kasino.
Tento koncept byl poprvé vyvinut v teorii her, a proto se situace s nulovým součtem často nazývají hry s nulovým součtem, což však neznamená, že se tento koncept nebo samotná teorie her vztahuje pouze na to, co se běžně označuje jako hry. Optimální strategie pro hry s nulovým součtem pro dva hráče lze často nalézt pomocí minimaxových strategií.
V roce 1944 John von Neumann a Oskar Morgenstern dokázali, že jakákoli hra s nulovým součtem zahrnující n hráčů je ve skutečnosti zobecněnou formou hry s nulovým součtem pro dvě osoby a že jakoukoli hru s nenulovým součtem pro n hráčů lze redukovat na hru s nulovým součtem pro n + 1 hráčů; (n + 1) hráč představuje globální zisk nebo ztrátu. Z toho vyplývá, že hra s nulovým součtem pro dva hráče tvoří základní jádro matematické teorie her.
Nejběžnějším nebo nejjednodušším příkladem z podoboru sociální psychologie je pojem „sociální pasti“. V některých případech můžeme posílit náš kolektivní blahobyt tím, že budeme sledovat své osobní zájmy – nebo mohou strany sledovat vzájemně destruktivní chování, protože si volí své vlastní cíle.
Ekonomie a nenulový součet
Situace s nenulovým součtem jsou důležitou součástí ekonomické činnosti díky výrobě, meznímu užitku a hodnotě . Většina ekonomických situací má nenulový součet, protože hodnotné statky a služby mohou být vytvořeny, zničeny nebo špatně alokovány a každá z těchto situací vytvoří čistý zisk nebo ztrátu. Jednou ze strategií pro hry s nenulovým součtem je hra „tit for tat“.
Pokud se zemědělci podaří vypěstovat velkou úrodu, bude mít prospěch z toho, že bude moci prodat více potravin a vydělat více peněz. Výhodu mají i spotřebitelé, kterým slouží, protože mají k dispozici více potravin, takže cena za jednotku potraviny bude nižší. Ostatní zemědělci, kteří neměli tak dobrou úrodu, mohou být kvůli těmto nižším cenám poněkud poškozeni, ale tyto náklady pro ostatní zemědělce mohou být velmi dobře nižší než výhody, které mají všichni ostatní, takže celkově nárazová úroda vytvořila čistý přínos. Stejný argument platí i pro jiné druhy výrobní činnosti.
Obchod je činnost s nenulovým součtem, protože všechny strany dobrovolné transakce věří, že se po ní budou mít lépe než před ní, jinak by se jí neúčastnily. Je možné, že se v tomto přesvědčení mýlí, ale zkušenosti ukazují, že lidé jsou častěji schopni správně odhadnout, kdy se po transakci budou mít lépe, a proto v obchodování setrvávají po celý život. Ne vždy platí, že každý účastník bude mít stejný prospěch. Obchod je však stále situací s nenulovým součtem, kdykoli je jeho výsledkem čistý zisk, bez ohledu na to, jak rovnoměrně či nerovnoměrně je tento zisk rozdělen.
Nenulová povaha ekonomických transakcí kontrastuje s jejich nulovým součtem, který se projevuje převodem peněz. Někteří v tom vidí ospravedlnění pro prosazování méně tradičních forem peněz.
Složitost a nenulový součet
Kritika tohoto názoru poukazuje na to, že ve skutečném systému s nulovým součtem není možné, aby všichni dosáhli řešení, která jsou výhodná pro všechny, a že se tak část populace omezuje na přijímání řešení typu prohra-prohra. Jinými slovy, systém s nenulovým součtem je možné vnímat pouze tehdy, když se nedíváme na celý systém (tj. když pozorujeme pouze část populace, která vyhrává), ale pouze na jednu z jeho nevyvážených částí. Je-li rozsah pozorování dostatečně široký, bude každý pozorovaný systém vykazovat charakteristiky nulového součtu.
Výherní matice hry je vhodným způsobem reprezentace. Uvažujme například hru s nulovým součtem pro dva hráče na obrázku vpravo.
Pořadí hry je následující: První hráč si tajně vybere jednu ze dvou akcí 1 nebo 2; druhý hráč, který nezná volbu prvního hráče, si tajně vybere jednu ze tří akcí A, B nebo C. Poté se volby odhalí a celkový počet bodů každého hráče se ovlivní podle výhry za tyto volby.
Příklad: První hráč si vybere akci 2 a druhý hráč akci B. Při přidělení výplaty získá první hráč 20 bodů a druhý hráč 20 bodů ztratí.
V této příkladové hře znají oba hráči matici výher a snaží se maximalizovat počet svých bodů. Co by měli udělat?
Hráč 1 může uvažovat takto: „S akcí 2 mohu ztratit až 20 bodů a vyhrát jen 20, zatímco s akcí 1 mohu ztratit jen 10, ale vyhrát až 30, takže akce 1 vypadá mnohem lépe.“ S podobnou úvahou by hráč 2 zvolil akci C. Pokud oba hráči zvolí tyto akce, první hráč získá 20 bodů. Co se však stane, pokud hráč 2 předvídá uvažování prvního hráče a volbu akce 1 a záludně se rozhodne pro akci B, aby vyhrál 10 bodů? Nebo pokud první hráč naopak tento záludný trik předvídá a rozhodne se pro akci 2, takže přece jen získá 20 bodů?
John von Neumann přišel se zásadním a překvapivým poznatkem, že pravděpodobnost poskytuje východisko z této hádanky. Místo toho, aby se oba hráči rozhodli pro určitou akci, přiřadí svým akcím pravděpodobnosti a pak použijí náhodné zařízení, které jim podle těchto pravděpodobností akci vybere. Každý hráč vypočítá pravděpodobnosti tak, aby minimalizoval maximální očekávanou bodovou ztrátu nezávisle na strategii soupeře; to vede k problému lineárního programování s jedinečným řešením pro každého hráče. Touto minimaxovou metodou lze vypočítat prokazatelně optimální strategie pro všechny hry dvou hráčů s nulovým součtem.
Pro výše uvedený příklad se ukazuje, že první hráč by měl zvolit akci 1 s pravděpodobností 57 % a akci 2 s pravděpodobností 43 %, zatímco druhý hráč by měl třem akcím A, B a C přiřadit pravděpodobnosti 0 %, 57 % a 43 %.
První hráč pak v průměru vyhraje 2,85 bodu na hru.
Hra v normální formě – Hra v rozsáhlé formě – Kooperativní hra – Informační soubor – Preference
Nashova rovnováha – Subgame perfection – Bayesian-Nash – Perfect Bayesian – Trembling hand – Proper equilibrium – Epsilon-equilibrium – Correlated equilibrium – Sequential equilibrium – Quasi-perfect equilibrium – Evolutionarily stable strategy – Risk dominance – Pareto efficiency
Dominantní strategie – Čistá strategie – Smíšená strategie – Tit for tat – Grim trigger – Tajná dohoda – Zpětná indukce
Symetrická hra – Dokonalá informace – Dynamická hra – Sekvenční hra – Opakovaná hra – Signální hra – Levná řeč – Hra s nulovým součtem – Návrh mechanismu – Problém vyjednávání – Stochastická hra – Nepřechodná hra – Globální hry
Vězňovo dilema – Cestovatelovo dilema – Koordinační hra – Kuře – Dilema dobrovolníka – Dolarová aukce – Souboj pohlaví – Hon na jelena – Odpovídající penízky – Hra na ultimátum – Hra na menšinu – Kámen-papír-nůžky – Pirátská hra – Hra na diktátora – Hra na veřejné statky – Blotové hry -Válka o úbytek – Problém baru El Farol – Stříhání dortu – Hra na Cournota – Mrtvý zámek – Dilema strávníka – Uhodni 2/3 průměru – Kuhnův poker -Nashova vyjednávací hra – Hra na prověřování – Hra na signalizaci – Hra na důvěru – Hra na princeznu a příšeru
Věta o minimu – Purifikační věta – Lidová věta – Princip zjevení – Arrowova věta o nemožnosti