Kumulant

Kumulanty náhodné proměnné

V teorii pravděpodobnosti a statistice má náhodná proměnná X očekávanou hodnotu μ = E(X) a rozptyl σ2 = E((X − μ)2). Jedná se o první dva kumulátory: μ = κ1 a σ2 = κ2.

Kumulanty κn jsou definovány funkcí generující kumulace:

Derivace kumulativní generující funkce je jednoduše:

tak, že kumulátory jsou deriváty

Distribuci s danými kumulacemi κn lze aproximovat pomocí Edgeworthovy řady.

Některé vlastnosti kumulátorů

Invariance a ekvivalence

První kumulátor je shift-equivariant; všechny ostatní jsou shift-invariantní. Abychom to uvedli méně stručně, označme pomocí κn(X) n-tý kumulátor pravděpodobnostního rozdělení náhodné proměnné X. Prohlášení zní, že pokud je c konstantní, pak κ1(X + c) = κ1(X) + c a κn(X + c) = κn(X) pro n ≥ 2, tj. c se přičte k prvnímu kumulátoru, ale všechny vyšší kumulátory se nezmění.

n-tý kumulát je homogenní stupně n, tj. pokud c je nějaká konstanta, pak

Pokud X a Y jsou nezávislé náhodné proměnné, pak κn(X + Y) = κn(X) + κn(Y).

Funkce generování momentů je:

takže kumulativní generující funkce je jednoduše logaritmus momentové generující funkce.
První kumulativní funkce je jednoduše očekávaná hodnota; druhá a třetí kumulativní funkce jsou druhý a třetí centrální moment (druhý centrální moment je rozptyl); ale vyšší kumulativní funkce nejsou ani momenty ani centrální momenty, ale spíše složitější polynomiální funkce momentů.

Kumulanty jsou vztaženy k momentům podle následujícího rekurzního vzorce:

n-tý moment μ′n je n-tý polynom v prvním n kumulátorů, tedy:

Koeficienty jsou přesně ty, které se vyskytují ve vzorci Faà di Bruno.

„Primární“ rozlišuje momenty μ′n od centrálních momentů μn. Pro vyjádření centrálních momentů jako funkcí kumulátorů stačí vypustit z těchto polynomů všechny pojmy, ve kterých se κ1 objevuje jako faktor:

Kumulanty a množinové děliče

Tyto polynomy mají pozoruhodný kombinatorický výklad: koeficienty počítat některé oddíly sady. Obecná forma těchto polynomů je

Tedy každý monomiální je konstantní krát součin kumulací, ve kterých je součet indexů n (např. v termínu κ3 κ22 κ1 je součet indexů 3 + 2 + 2 + 1 = 8; to se objevuje v polynomu, který vyjadřuje 8. moment jako funkci prvních osmi kumulací). Rozdělení celého čísla n odpovídá každému členu. Koeficient v každém členu je počet oddílů množiny n členů, které se zhroutí na tento oddíl celého čísla n, když se členy množiny stanou nerozeznatelnými.

Kumulanty jednotlivých rozdělení pravděpodobnosti

Zavedením poměru rozptylu k průměru, є = μ−1·σ2, výše uvedená rozdělení pravděpodobnosti získají jednotný vzorec pro derivaci kumulativní generující funkce:

potvrzení, že první kumulace je g ‚(0) = μ a druhá kumulace je g ‚ ‚(0) = μ·ε.
Konstantní náhodná veličina má є = 0. Binomické rozdělení má є = 1 − p tak, že 0<є<1. Poissonovo rozdělení má є = 1. Negativní binomické rozdělení má є = p−1 tak, že є > 1. Všimněte si analogie s teorií excentricity kuželosečky: kruh є=0, elipsa 0<є<1, parabola є=1, hyperbola є>1.

Společný kumulátor několika náhodných veličin X1, …, Xn je

kde π prochází seznamem všech oddílů { 1, …, n }, a B prochází seznamem všech bloků oddílu π. Například,

Společný kumulátor pouze jedné náhodné veličiny je její očekávaná hodnota a společný kumulátor dvou náhodných veličin je jejich kovariance. Pokud jsou některé náhodné veličiny nezávislé na všech ostatních, pak společný kumulátor je nula. Pokud je všech n náhodných veličin stejných, pak společný kumulátor je n-tý obyčejný kumulátor.

Kombinatorický význam vyjádření momentů z hlediska kumulátorů je srozumitelnější než význam kumulátorů z hlediska momentů:

Další důležitou vlastností společných kumulátorů je multilinearita:

Stejně jako druhý kumulátor je jednoduše rozptyl, společný kumulátor jen dvou náhodných veličin je jen kovariance. Známá identita

zobecňuje na kumulátory:

Podmíněné kumulace a zákon celkové kumulace

Zákon celkového očekávání a zákon celkového rozptylu se přirozeně zobecňují na podmíněné kumulátory. Případ n = 3, vyjádřený jazykem (centrálních) momentů spíše než jazykem kumulátorů, říká

Obecný výsledek uvedený níže se poprvé objevil v roce 1969 v Výpočet kumulací přes kondicionování David R. Brillinger ve svazku 21 Annals na Ústavu statistické matematiky, s 215-218.

Kumulanty byly poprvé zavedeny dánským astronomem, pojistným matematikem, matematikem a statistikem Thorvaldem N. Thielem (1838 – 1910) v roce 1889. Thiele je nazval polovičními invarianty. Poprvé se jim říkalo kumulanty v dokumentu z roku 1931, The derivation of the pattern formulae of two-way partitions from those of simpler patterns, Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, v. 33, pp. 195-208, od velkého statistického genetika Sira Ronalda Fishera a statistika Johna Wisharta, eponyma Wishartova rozdělení. Historik Stephen Stigler řekl, že jméno kumulace bylo navrženo Fisherovi v dopise od Harolda Hotellinga. V jiném dokumentu publikovaném v roce 1929, Fisher je nazval kumulativními momentovými funkcemi.

Obecněji řečeno, kumulátory posloupnosti { mn : n = 1, 2, 3, … }, ne nutně momenty jakéhokoliv rozdělení pravděpodobnosti, jsou dány

kde hodnoty κn pro n = 1, 2, 3, … jsou nalezeny formálně, tj. pouze pomocí algebry, bez ohledu na otázky, zda nějaká řada konverguje. Všechny obtíže „problému kumulací“ chybí, když jeden pracuje formálně. Nejjednodušším příkladem je, že druhý kumulátor pravděpodobnostního rozdělení musí být vždy nezáporný, a je nulový pouze tehdy, jsou-li všechny vyšší kumulace nulové. Formální kumulace nepodléhají žádným takovým omezením.

V kombinatorice je n-té Bellovo číslo počet oddílů množiny o velikosti n. Všechny kumulace posloupnosti Bellových čísel jsou rovny 1. Bellova čísla jsou momenty Poissonova rozdělení s očekávanou hodnotou 1.

Kumulanty polynomiální posloupnosti binomického typu

Pro libovolnou posloupnost { κn : n = 1, 2, 3, … } skalárů v poli charakteristické nuly, které jsou považovány za formální kumulátory, existuje odpovídající posloupnost { μ ′ : n = 1, 2, 3, … } formálních momentů, daná výše uvedenými polynomy. Pro tyto polynomy zkonstruujte polynomiální posloupnost následujícím způsobem. Mimo polynom

udělat nový polynom v těchto plus jednu další proměnnou x:

… a zobecnit vzorec. Vzorec je, že počty bloků ve výše uvedených oddílů jsou exponenty na x. Každý koeficient je polynom v kumulace; to jsou Bellovy polynomy, pojmenované po Eric Temple Bell.

Tato posloupnost polynomů je binomického typu. Ve skutečnosti neexistují žádné další posloupnosti binomického typu; každá polynomiální posloupnost binomického typu je zcela určena svou posloupností formálních kumulátorů.

jeden sčítá nad všemi oddíly množiny { 1, …, n }. Pokud místo toho jeden sčítá pouze nad nekřížícími oddíly, pak jeden dostane „volné kumulátory“ spíše než konvenční kumulátory ošetřené výše. Ty hrají ústřední roli v teorii volné pravděpodobnosti. V této teorii, spíše než zvažuje nezávislost náhodných proměnných, definovaných z hlediska karteziánských produktů algeber náhodných proměnných, jeden zvažuje místo „volnost“ náhodných proměnných, definovaných z hlediska volných produktů algeber spíše než karteziánských produktů algeber.

Běžné kumulátory stupně vyššího než 2 normálního rozdělení jsou nulové. Volné kumulátory stupně vyššího než 2 Wignerova půlkruhového rozdělení jsou nulové. To je jeden z aspektů, ve kterém je role Wignerova rozdělení ve volné teorii pravděpodobnosti analogická s rolí normálního rozdělení v konvenční teorii pravděpodobnosti.