Proměnná je v matematice hodnota, která se může měnit v rámci daného problému nebo souboru operací. Naproti tomu konstanta je hodnota, která zůstává nezměněna, i když je často neznámá nebo neurčená. Pojmy konstanty a proměnné jsou zásadní pro mnoho oblastí matematiky a jejích aplikací. „Konstanta“ by v tomto kontextu neměla být zaměňována s matematickou konstantou, což je specifické číslo nezávislé na rozsahu daného problému.
Závislé a nezávislé proměnné
Proměnné se dále rozlišují buď jako závislá proměnná, nebo jako nezávislá proměnná. Nezávislé proměnné se považují za vstupy do systému a mohou volně nabývat různých hodnot. Závislé proměnné jsou ty hodnoty, které se mění v důsledku změn jiných hodnot v systému.
Je-li jedna hodnota zcela určena jinou nebo několika jinými, pak se nazývá funkcí jiné hodnoty nebo hodnot. V tomto případě je hodnota funkce závislá proměnná a ostatní hodnoty jsou nezávislé proměnné. Pro hodnotu funkce f se používá notace f(x) s tím, že x reprezentuje nezávislou proměnnou. Podobně lze použít notaci jako f(x, y, z), pokud existuje několik nezávislých proměnných, které nejsou stejné.
Co to znamená pro proměnnou se liší
Proměnlivost v kontextu matematických proměnných neznamená změnu v průběhu času, ale spíše závislost na kontextu, ve kterém je proměnná použita. To může být bezprostřední kontext výrazu, ve kterém se proměnná vyskytuje, jako v případě sumačních proměnných nebo proměnných, které označují argument definované funkce. Kontext může být také větší, například když je proměnná použita k označení hodnoty vyskytující se v hypotéze dané diskuse. V některých případech se nemění vůbec nic a místo „proměnné“ lze použít alternativní názvy: parametr je hodnota, která je pevně daná v prohlášení zkoumaného problému (i když její hodnota nemusí být explicitně známá), neznámá je proměnná, která je zavedena jako zkratka konstantní hodnoty, která není zpočátku známá, ale která se může stát známou vyřešením nějaké rovnice (rovnic) pro ni, a neurčitá je symbol, který nemusí být zkratkou pro nic jiného, ale je abstraktní hodnotou sám o sobě. Ve všech těchto případech je termín „proměnná“ často stále používán, protože pravidla pro manipulaci s těmito symboly jsou stejná.
Pokud jeden definuje funkci f z reálných čísel na reálných čísel o
pak x je proměnná stojící pro argument funkce je definována, což může být jakékoliv reálné číslo. V identitě
proměnná i je sumační proměnná, která označuje postupně každé z celých čísel 1, 2, …, n (nazývá se také index, protože jeho variace je přes diskrétní sadu hodnot), zatímco n je parametr (nemění se v rámci vzorce).
V teorii polynomů je polynom stupně 2 obecně označován jako ax2 + bx + c, kde a, b a c se nazývají koeficienty (předpokládá se, že jsou pevné, tj. parametry uvažovaného problému), zatímco x se nazývá proměnná. Při studiu tohoto polynomu pro jeho polynomiální funkci toto x znamená argument funkce. Při studiu polynomu jako objektu samého o sobě se x považuje za neurčité a často by se místo toho psalo velkým písmenem pro označení tohoto stavu.
Vzorce z fyziky jako E = mc2 nebo PV = nRT (ideální zákon plynu) nezahrnují matematický pojem proměnné, protože veličiny E, m, P, V, n a T se místo toho používají k označení určitých vlastností (energie, hmotnost, tlak, objem, množství, teplota) fyzikálního systému.
V matematice jsou názvy proměnných s jedním symbolem normou. Po francouzském filozofovi a matematikovi Reném Descartovi ze 17. století se pro konstanty běžně používají písmena na začátku abecedy, např. a, b, c a pro proměnné písmena na konci abecedy, např. x, y, z a t. Dříve se podle konvence Françoise Vièteho používaly souhlásky jako známé konstanty a samohlásky pro neznámé veličiny. V tištěné matematice se proměnné a konstanty obvykle nastavují kurzívou.
Konkrétní obory a aplikace matematiky mají obvykle specifické názvové konvence pro proměnné. Proměnným s podobnými rolemi nebo významy jsou často přiřazována po sobě jdoucí písmena. Například tři osy ve 3D souřadnicovém prostoru jsou konvenčně nazývány x, y a z, zatímco náhodné proměnné ve statistice jsou obvykle nazývány X, Y, Z. Ve fyzice jsou názvy proměnných do značné míry určeny fyzikální veličinou, kterou popisují, ale existují různé názvové konvence.
Konvence často používaná v pravděpodobnosti a statistice je použití X, Y, Z pro názvy náhodných proměnných, přičemž tyto jsou nahrazeny x, y, z pro pozorování nebo výběrové výstupy těchto náhodných proměnných. Tyto posledně jmenované (malými písmeny) symboly jsou obyčejné matematické proměnné. První (velká písmena) symboly ve skutečnosti znamenají funkce od výběrového prostoru (sada atomových výstupů) experimentu k (typicky) reálným číslům. Další konvence někdy používaná ve statistice je označení populačních hodnot určité statistiky malými (nebo velkými) řeckými písmeny, přičemž výběrové odhady těchto veličin jsou označeny odpovídajícími malými (nebo velkými) písmeny z běžné abecedy.
Proměnné se používají v otevřených větách. Například ve vzorci x + 1 = 5 je x proměnná, která představuje „neznámé“ číslo. Proměnné jsou často reprezentovány řeckými nebo římskými písmeny a mohou být použity s dalšími speciálními symboly.
V matematice jsou proměnné podstatné, protože umožňují, aby kvantitativní vztahy byly uvedeny obecně. Pokud bychom byli nuceni používat skutečné hodnoty, pak by vztahy platily pouze v užším souboru situací. Například:
V tomto příkladu je tedy proměnná x „zástupným znakem“ pro libovolné číslo – tedy proměnnou. Jedna důležitá věc, kterou předpokládáme, je, že hodnota x se nemění, i když nevíme, co x je. Ale v některých algoritmech se x samozřejmě změní a jsou různé způsoby, jak pak označit, pokud máme na mysli jeho starou nebo novou hodnotu – opět obecně nevíme ani jedno, ale možná (například), že jedno je menší než druhé.
Matematika má mnoho konvencí. Níže jsou některé z těch běžnějších. Mnoho symbolů má jiné konvenční použití, ale ve skutečnosti mohou představovat konstantu nebo specifickou funkci spíše než proměnnou.