Formální modální logika představuje modality využívající unární modální operátory. Například „Jonesova vražda byla jednou z možností“; „Jones byl možná zavražděn“; a „Je možné, že Jones byl zavražděn“, to vše obsahuje pojem možnosti; v modální logice je to reprezentováno jako operátor, Možná, připojující se k větě Jones byl zavražděn.
Základními modálními operátory jsou obvykle (nebo L) pro Nezbytně a (nebo M) pro Možná. Každý může být definován od druhého a negace. Například:
Je tedy možné, že Jones byl zavražděn tehdy a jen tehdy, pokud není nutné, aby Jones nebyl zavražděn.
Nutnost a možnost se někdy nazývají aletické modality, z řeckého aletheia pravda. Modální logika byla nejprve vyvinuta, aby se zabývala těmito pojmy, a teprve poté byla rozšířena na další. Z tohoto důvodu, nebo možná pro jejich obeznámenost a jednoduchost, jsou nutnost a možnost často nezávazně považovány za předmět modální logiky.
Věta je prý
Je-li tedy něco nutně pravda, pak je to pravda; je-li to pravda, pak je to možné.
Stejně tak téměř nic není logicky nemožné: něco logicky nemožného se nazývá rozpor nebo logická lež. Je možné, že Elvis je naživu; ale je nemožné, že Elvis je naživu a není naživu. Mnoho logiků také zastává názor, že matematické pravdy jsou logicky nutné: je nemožné, aby 2+2 ≠ 4.
Něco, co je logicky nutné, se nazývá logickou pravdou. Například je nutné, aby pokud je Elvis naživu, pak je naživu.
Něco je fyzicky možné, pokud to povolují přírodní zákony. Například je možné, aby existoval atom s atomovým číslem 150, i když ve skutečnosti nemusí existovat. Na druhou stranu není možné, aby v tomto smyslu existoval prvek, jehož jádro obsahuje sýr. I když je logicky možné cestovat rychleji než rychlostí světla, není to podle moderní vědy fyzicky možné.
Filozofové uvažují o vlastnostech, které mají objekty nezávisle na těch, které jsou diktovány vědeckými zákony. Například by mohlo být metafyzicky nezbytné, jak si někteří mysleli, že všechny myslící bytosti mají těla a mohou prožívat plynutí času, nebo že Bůh existuje (nebo neexistuje). Saul Kripke argumentoval, že každý člověk má nutně rodiče, které má: každý s různými rodiči by nebyl tou samou osobou.
Metafyzická možnost je obecně považována za silnější než holá logická možnost (je možné méně věcí). Její přesný vztah k fyzické možnosti je předmětem určitého sporu. Filozofové se také neshodnou na tom, zda jsou metafyzické pravdy nezbytné pouze „z definice“, nebo zda odrážejí nějaká základní hluboká fakta o světě, nebo něco úplně jiného.
Zmatek s epistemickými modalitami
Alethické modality a epistemické modality (viz níže) se často vyjadřují v angličtině za použití stejných slov. Tudíž „Je možné, že bigfoot existuje“ může znamenat buď Bylo by možné, aby takový tvor jako bigfoot existoval, nebo (což je pravděpodobnější), „Pokud vím, mohou existovat i bigfooti“.
V prvním případě by mluvčí mohl vědět, že žádní bigfootové neexistují, ale říká, že by (na rozdíl od kulatých čtverců) mohli existovat – existence bigfootů není nemožná. V druhém případě říká, že mohou existovat právě teď.
Epistemické modality (z řeckého episteme, znalost) pojednávají o jistotě vět. Operátory se překládají jako „Je jistě pravda, že…“ a „Může být (vzhledem k dostupným informacím) pravda, že…“ V běžné řeči se obě modality často vyjadřují podobnými slovy, pomoci mohou následující kontrasty:
Člověk, Jones, by mohl důvodně říci obojí: (1) „Ne, není možné, aby Bigfoot existoval; tím jsem si zcela jist;“ a, (2) „Jistě, Bigfoot by mohl existovat.“ Jones tím (1) míní, že vzhledem ke všem dostupným informacím nezbývá žádná otázka, zda Bigfoot existuje. To je epistemické tvrzení. Tím (2) míní, že věci mohly být jinak. Nemyslí tím „je možné, že Bigfoot existuje – pokud vím.“ (Takže neodporuje (1).) Spíše metafyzicky tvrdí, že je možné, aby Bigfoot existoval, i když neexistuje.
Z opačného směru by Jones mohl říci, (3) „Je možné, že Goldbachova domněnka je pravdivá; ale také možné, že je nepravdivá,“ a také (4) „pokud je pravdivá, pak je nutně pravdivá, a ne možná nepravdivá.“ Zde Jones míní, že je epistemicky možné, že je pravdivá nebo nepravdivá, podle všeho, co ví (Goldbachova domněnka nebyla prokázána ani pravdivá, ani nepravdivá). Pokud však existuje důkaz (dosud neobjevený), pak by to ukazovalo, že není logicky možné, aby Goldbachova domněnka byla nepravdivá – nemohla by existovat množina čísel, která by ji porušovala. Logická možnost je formou aletické možnosti; (4) vznáší tvrzení o tom, zda je možné, aby matematická pravda byla nepravdivá, ale (3) vznáší pouze tvrzení o tom, zda je možné, aby matematické tvrzení bylo nepravdivé, podle všeho, co Jones ví, a tak si Jones opět neodporuje. Stojí za povšimnutí, že Jones nemusí mít nutně pravdu: Je možné (epistemicky), že Goldbachova domněnka je jak pravdivá, tak neprokazatelná.
Epistemické možnosti se také vztahují na skutečný svět způsobem, který metafyzické možnosti nemají. Metafyzické možnosti se vztahují na způsoby, jakými by svět mohl být, ale epistemické možnosti se vztahují na způsob, jakým svět může být (podle všeho, co víme). Předpokládejme například, že chci vědět, zda si mám vzít deštník, než odejdu. Pokud mi řeknete „Je možné, že venku prší“ – ve smyslu epistemické možnosti – pak by to rozhodlo o tom, zda si deštník vezmu, nebo ne. Ale pokud mi prostě řeknete, že „Je možné, aby venku pršelo“ – ve smyslu metafyzické možnosti – pak na tom nejsem pro tento kousek modálního osvícení o nic lépe.
Existuje několik analogických způsobů řeči, které jsou sice méně zaměnitelné s aletickými modalitami, ale přesto spolu úzce souvisejí. Jedním z nich je řeč o čase. Zdá se rozumné říci, že zítra možná bude pršet, a možná nebude; na druhou stranu, pokud včera pršelo, pokud už opravdu pršelo, pak nemůže být zcela správné říci „Včera možná nepršelo“. Zdá se, že minulost je „pevná“ nebo nezbytná, a to způsobem, jakým budoucnost není.
Standardní metodou pro formalizaci řeči o čase je použití dvou párů operátorů, jednoho pro minulost a jednoho pro budoucnost. Pro minulost nechť „Vždy to byl případ, že…“ je ekvivalentní krabici, a nechť „Kdysi to byl případ, že…“ je ekvivalentní diamantu. Pro budoucnost nechť „Vždy to bude případ, že…“ je ekvivalentní krabici, a nechť „Nakonec to bude případ, že…“ je ekvivalentní diamantu. Pokud se tyto dva systémy použijí společně, bude samozřejmě nutné označit, jako indexy, která krabice je která.
Další binární operátory jsou také důležité pro temporální logiku, q.v. Lineární temporální logika.
Stejně tak řeči o morálce, nebo o povinnosti a normách obecně, mají zřejmě modální strukturu. Rozdíl mezi „Musíš to udělat“ a „Můžeš to udělat“ vypadá hodně podobně jako rozdíl mezi „Je to nutné“ a „Je to možné“. Taková logika se nazývá deontická, z řeckého „povinnost“.
Je příznačné, že modální logika může být vyvinuta tak, aby vyhovovala většině těchto idiomů; je to skutečnost jejich společné logické struktury (použití „intensional“ nebo non-truth-functional sentential operators), která z nich dělá všechny varianty jedné věci. Epistemická logika je pravděpodobně nejlépe zachycena v systému „S4“; deontická logika v systému „D“, temporální logika v „t“ (sic:lowercase) a aletická logika pravděpodobně s „S5“.
Výklady modální logiky
V nejběžnější interpretaci modální logiky se uvažuje o „všech logicky možných světech“. Pokud je tvrzení pravdivé ve všech možných světech, pak je to nezbytná pravda. Pokud je tvrzení náhodou pravdivé v našem světě, ale není pravdivé ve všech možných světech, pak je to podmíněná pravda. Prohlášení, které je pravdivé v nějakém možném světě (ne nutně v našem vlastním), se nazývá možná pravda.
Zda je tento idiom „možných světů“ nejlepším způsobem, jak interpretovat modální logiku, a jak doslovně lze tento idiom brát, je pro metafyziky živou otázkou. Například idiom možných světů by tvrzení o Bigfootovi přeložil jako „Existuje nějaký možný svět, ve kterém Bigfoot existuje“. Pro tvrzení, že existence Bigfoota je možná, ale ne skutečná, by se dalo říci: „Existuje nějaký možný svět, ve kterém Bigfoot existuje; ale ve skutečném světě Bigfoot neexistuje“. Ale není jasné, k čemu nás to, že vznášíme modální tvrzení, zavazuje. Opravdu tvrdíme, že existují možné světy, každý kousek stejně reálný jako náš skutečný svět, jen ne skutečný? David Lewis se proslavil tím, že kousl do kulky, a pak tvrdil, že možné světy jsou stejně reálné jako náš vlastní. Tento postoj se nazývá „modální realismus“. Není divu, že většina filozofů se k této ontologicky extravagantní doktríně odmítá přihlásit a raději hledá různé způsoby, jak parafrázovat ontologické závazky vyplývající z našich modálních nároků.
Lewis začal v této oblasti pracovat v roce 1912. Hughes a Cresswell (1996) například popisují 42 normálních a 25 nenormálních modálních logik. Zeman (1973) popisuje některé systémy, které Hughes a Cresswell vynechávají.
Moderní zpracování modální logiky začíná rozšířením výrokového kalkulu o dvě unární operace, z nichž jedna označuje „nutnost“ a druhá „možnost“. Lewisova notace, od té doby hodně používaná, označuje „nutně p“ předponou „box“ ( ), jehož rozsah je dán závorkami. Stejně tak předpona „diamond“ () označuje „možná p“. Bez ohledu na notaci je každý z těchto operátorů definovatelný navzájem:
Proto a tvoří dvojí pár operátorů.
V mnoha modálních logikách, nutnost a možnost operátory splňují následující analogie de Morgan zákony z Booleovy algebry:
Přesně to, jaké axiomy musí být přidány do výrokového kalkulu, aby se vytvořil použitelný systém modální logiky, je věcí filozofického názoru, často řízeného větami, které si člověk přeje dokázat. Mnoho modálních logik, souhrnně známých jako normální modální logiky, zahrnuje následující pravidlo a axiom:
Nejslabší normální modální logika, pojmenovaná K na počest Saula Kripkeho, je prostě výrokový kalkul rozšířený o , Pravidlo N, a axiom K. K je slabý v tom, že nedokáže vyřešit, zda může být výrok nutný, ale pouze podmíněně nutný. To znamená, že to není věta K, že pokud je pravda, pak je pravda, tj. že nezbytné pravdy jsou nezbytně nutné. To nemusí být velký defekt K, protože takové otázky se zdají být spíše vynucené, a každý pokus na ně odpovědět nás zahrnuje do matoucích otázek. V každém případě, různé odpovědi na takové otázky přinášejí různé systémy modální logiky.
Přidáním axiomů k K vznikají další známé modální systémy. V K nelze dokázat, že pokud „p je nezbytné“, pak p je ve skutečnosti tento případ. axiom T odstraňuje tuto vadu:
Další známé elementární axiomy jsou:
Tyto axiomy poskytují systémy:
K až S5 tvoří vnořenou hierarchii systémů, tvořící jádro normální modální logiky. D je především zajímavý pro ty, kteří zkoumají deontickou interpretaci modální logiky.
Běžně používaný systém S5 robustně řeší obvyklé modální rozpaky tím, že činí všechny modální pravdy nezbytnými. Například pokud je možné, že p, pak je nutně možné, že p. Také pokud je nutné, aby p, je také nutné, aby to bylo nezbytné. To je běžně zdůvodněno tím, že S5 je systém získaný, pokud je každý možný svět možný vzhledem ke každému jinému světu. Nicméně jiné systémy modální logiky byly formulovány, částečně proto, že S5 nepopisuje každý druh metafyzické modality zájmu. To naznačuje, že řeči o možných světech a jejich sémantice nemusí vystihnout všechny modality.
Vývoj modální logiky
Ačkoli se Aristotelova logika téměř výhradně zabývá teorií kategorického sylogismu, v jeho díle jsou pasáže, jako například slavná Námořní bitva Argument v De Interpretatione § 9, které jsou nyní považovány za předjímání modální logiky a jejího spojení s potenciálem a časem. Modální logika jako subjekt, který si sám sebe uvědomuje, vděčí za mnohé spisům Scholastiků, zejména Vilémovi z Ockhamu a Johnu Dunsovi Scotusovi, kteří neformálně uvažovali modálním způsobem, zejména za účelem analýzy výroků o podstatě a náhodě.
C. I. Lewis založil moderní modální logiku ve své diplomové práci z Harvardu v roce 1910 a v sérii odborných článků, které začaly v roce 1912. Tato práce vyvrcholila v jeho knize Symbolická logika z roku 1932 (spolu s C. H. Langfordem), která představila pět systémů S1 až S5. Současná éra modální logiky začala v roce 1959, kdy Saul Kripke (tehdy teprve devatenáctiletý student Harvardovy univerzity) představil dnes již standardní Kripkeho sémantiku pro modální logiku. Ty jsou běžně označovány jako sémantika „možných světů“. Kripke a A. N. Prior si předtím poměrně dlouho dopisovali.
A. N. Prior vytvořil temporální logiku, úzce související s modální logikou, v roce 1957 přidáním modálních operátorů [F] a [P] znamenajících „napříště“ a „dosud“. Vaughan Pratt zavedl dynamickou logiku v roce 1976. V roce 1977 Amir Pnueli navrhl použití temporální logiky k formalizaci chování kontinuálně operujících souběžných programů. Příznaky temporální logiky zahrnují výrokovou dynamickou logiku (PDL), výrokovou lineární temporální logiku (PLTL), lineární temporální logiku (LTL), výpočetní stromovou logiku (CTL), Hennessy-Milnerovu logiku a T.
Matematická struktura modální logiky, konkrétně booleovské algebry rozšířené unárními operacemi (často nazývané „modální algebry“), se začala objevovat s J.C.C. McKinseyho důkazem z roku 1941, že S2 a S4 jsou rozhodnutelné, a dosáhla plného rozkvětu v díle Alfreda Tarskiho a jeho studenta Bjarniho Jonssona (Jonsson a Tarski 1951-52). Tato práce odhalila, že S4 a S5 jsou modely vnitřní algebry, správné rozšíření booleovské algebry původně navržené tak, aby zachytily vlastnosti vnitřní a uzavírací operátory topologie. Texty o modální logice obvykle zmiňují jen její spojení s booleovskou algebrou a topologií. Pro důkladný průzkum historie formální modální logiky a přidružené matematiky viz Goldblatt (2006).
Intenzita a modální logika
Ve skutečnosti toto tvrzení není správné, protože můžeme dát sémantiku modální logiky strukturální indukcí, použijeme-li stavové modely, nazývané také koaliční modely. Můžeme například vzít v úvahu následující velmi jednoduchou syntaxi modální logiky:
Hodnota pravdivosti vzorce je definována nad modely, které nejsou množinami, ale přechodovými systémy.
Přechodový systém je pár, kde je nastavena a .
Výklad logiky nad stavu , Vzhledem k tomu, přechodný systém , je vztah , Kde se čte „stav s splňuje vzorec F“, vzhledem k tomu, strukturální indukce takto:
Pokud nahlížíme na přechodový systém jako soubor stavů a soubor přechodů ze stavu do jiného, modální vzorec , který se nazývá „další“ modalita, se čte jako „v mých možných dalších stavů, tam je ten, který splňuje F“.
Tato logika je pro praktické použití příliš jednoduchá; složitější logiky mohou mít složitější modely (příkladem jsou Kripkeho rámce), nicméně definice sémantiky je obvykle dána strukturní indukcí nad stavy.
Tento článek obsahuje materiál z Free On-line Dictionary of Computing, používaný se svolením podle GFDL.