Náhodná proměnná je termín používaný v matematice a statistice. Lze ji považovat za číselný výsledek provozu nedeterministického mechanismu nebo provedení nedeterministického experimentu za účelem generování náhodného výsledku. Náhodná proměnná může být například použita k popisu procesu válcování spravedlivé kostky a možných výsledků { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Jiná náhodná proměnná může popisovat možné výsledky výběru náhodné osoby a měření její výšky.
Na rozdíl od běžné praxe s jinými matematickými proměnnými nemůže být náhodné proměnné přiřazena hodnota; náhodná proměnná nepopisuje skutečný výsledek konkrétního experimentu, ale spíše popisuje možné, dosud neurčené výsledky z hlediska reálných čísel.
Přestože takové jednoduché příklady jako válcování kostky a měření výšek umožňují snadnou vizualizaci praktického využití náhodných veličin, jejich matematická konstrukce umožňuje matematikům pohodlnost zabývat se mnohými měřeno-teoretickými teoriemi pravděpodobnosti ve známější oblasti reálně oceňovaných funkcí. Naopak tento koncept také pevně zasazuje experimenty zahrnující reálně oceňované výsledky do měřeno-teoretického rámce.
Někteří považují výraz náhodná proměnná za chybné pojmenování, protože náhodná proměnná není proměnná, ale spíše funkce, která mapuje události na čísla. Nechť A je σ-algebra a Ω prostor událostí relevantní pro prováděný experiment. V die-rollingovém příkladu je prostor událostí jen možnými výstupy hodu, tj. Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, a A by byla mocninová množina Ω. V tomto případě by vhodnou náhodnou proměnnou mohla být identifikační funkce X(ω) = ω, takže pokud je výsledek ‚1‘, pak náhodná proměnná je také rovna 1. Stejně jednoduchý, ale méně triviální příklad je ten, ve kterém bychom si mohli hodit mincí: vhodný prostor možných událostí je Ω = { H, T } (pro pannu a orel), a A rovná se opět mocninová množina Ω. Jedna z mnoha možných náhodných proměnných definovaných v tomto prostoru je
Matematicky je náhodná veličina definována jako měřitelná funkce od pravděpodobnostního prostoru k nějakému měřitelnému prostoru. Tento měřitelný prostor je prostor možných hodnot veličiny a obvykle se za něj považují reálná čísla s borelovskou σ-algebrou. To se předpokládá v následujícím textu, pokud není uvedeno jinak.
Nechť (Ω, A, P) je prostor pravděpodobnosti. Formálně funkce X: Ω → R je (reálně oceněná) náhodná proměnná pokud pro každou podmnožinu Ar = { ω : X(ω) ≤ r } kde r ∈ R, máme také Ar ∈ A. Důležitost této technické definice je v tom, že nám umožňuje sestrojit distribuční funkci náhodné proměnné.
Pokud je zadána náhodná proměnná definovaná na pravděpodobnostním prostoru, můžeme si klást otázky typu „Jak je pravděpodobné, že hodnota je větší než 2?“. To je stejné jako pravděpodobnost události, která je často psána jako zkrácená.
Zaznamenání všech těchto pravděpodobností výstupních rozsahů náhodné proměnné X s reálnou hodnotou přináší rozdělení pravděpodobnosti X. Rozdělení pravděpodobnosti „zapomíná“ na konkrétní prostor pravděpodobnosti použitý k definici X a zaznamenává pouze pravděpodobnosti různých hodnot X. Takové rozdělení pravděpodobnosti lze vždy zachytit jeho funkcí kumulativního rozdělení
a někdy také pomocí funkce hustoty pravděpodobnosti. V měřeno-teoretické terminologii používáme náhodnou proměnnou X k „posunutí“ míry P na Ω na míru dF na R.
Podkladový prostor pravděpodobnosti Ω je technický přístroj používaný k zaručení existence náhodných proměnných a někdy k jejich konstrukci. V praxi člověk často zlikviduje prostor Ω úplně a jen položí míru na R, která přiřadí míru 1 celé reálné přímce, tj. pracuje s distribucí pravděpodobnosti místo náhodných proměnných.
Funkce náhodných proměnných
Pokud máme náhodnou proměnnou X na Ω a měřitelnou funkci f: R → R, pak Y = f(X) bude také náhodnou proměnnou na Ω, protože složení měřitelných funkcí je také měřitelné. Stejný postup, který umožnil přechod z pravděpodobnostního prostoru (Ω, P) do (R, dFX) lze použít k získání rozdělení Y. Kumulativní distribuční funkce Y je
Nechť X je reálná, spojitá náhodná proměnná a nechť Y = X2. Potom,
Pokud y < 0, pak P(X2 ≤ y) = 0, takže
Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny je často charakterizováno malým počtem parametrů, které mají také praktický výklad. Například často stačí vědět, jaká je její „průměrná hodnota“. To je zachyceno matematickým konceptem očekávané hodnoty náhodné veličiny, označené E[X]. Všimněte si, že obecně E[f(X)] není totéž jako f(E[X]). Jakmile je známa „průměrná hodnota“, lze se pak ptát, jak daleko od této průměrné hodnoty jsou obvykle hodnoty X, což je otázka, která je zodpovězena rozptylem a směrodatnou odchylkou náhodné veličiny.
Matematicky je tento problém znám jako (zobecněný) problém momentů: pro danou třídu náhodných proměnných X najděte sbírku {fi} funkcí tak, aby očekávané hodnoty E[fi(X)] plně charakterizovaly rozložení náhodné proměnné X.
Rovnocennost náhodných proměnných
Existuje několik různých smyslů, ve kterých mohou být náhodné proměnné považovány za ekvivalentní. Dvě náhodné proměnné mohou být stejné, stejné téměř jistě, stejné v průměru nebo stejné v rozložení.
V pořadí podle síly je níže uvedena přesná definice těchto pojmů rovnocennosti.
Dvě náhodné proměnné X a Y jsou si rovny v rozdělení, pokud
mají stejné distribuční funkce:
Dvě náhodné proměnné, které mají stejné momentové generující funkce, mají stejné rozdělení. To poskytuje například užitečnou metodu kontroly rovnosti některých funkcí iidrv.
Aby se náhodné proměnné rovnaly v rozdělení, nemusí být definovány na stejném pravděpodobnostním prostoru.
Pojem rovnocennosti v rozdělení je spojen s následujícím pojmem vzdálenosti mezi pravděpodobnostními rozděleními,
který je základem Kolmogorovova-Smirnova testu.
Rovnost v pth znamená rovnost v qth průměru pro všechna q
Dvě náhodné proměnné X a Y se téměř jistě rovnají tehdy a jen tehdy, je-li pravděpodobnost, že se liší, nulová:
Pro všechny praktické účely v teorii pravděpodobnosti je tento pojem rovnocennosti stejně silný jako skutečná rovnost. Je spojen s následující vzdáleností:
kde ‚sup‘ v tomto případě představuje základní supremum ve smyslu teorie míry.
Konečně dvě náhodné proměnné X a Y se rovnají, jsou-li si rovny jako funkce na svém pravděpodobnostním prostoru, tedy,
Velká část matematické statistiky spočívá v prokazování výsledků konvergence pro určité posloupnosti náhodných proměnných; viz například zákon velkých čísel a centrální limitní věta.
Existují různé smysly, ve kterých se posloupnost (Xn) náhodných proměnných může konvergovat k náhodné proměnné X. Ty jsou vysvětleny v článku o konvergenci náhodných proměnných.
Papoulis, Athanasios 1965 Pravděpodobnost, náhodné proměnné a stochastické procesy. McGraw-Hill Kogakusha, Tokio, 9. editon, ISBN 0071199810.
spojitá náhodná veličina
událost (teorie pravděpodobnosti)
Algoritmická teorie informace
Tento článek zahrnuje materiál z náhodné veličiny na PlanetMath, která je licencována pod GFDL.
Dvě náhodné proměnné X a Y se téměř jistě rovnají tehdy a jen tehdy, je-li pravděpodobnost, že se liší, nulová:
Pro všechny praktické účely teorie pravděpodobnosti je tento pojem rovnocennosti stejně silný jako skutečná rovnost. Je spojen s následující vzdáleností:
kde ‚sup‘ v tomto případě představuje zásadní supremum ve smyslu teorie míry.
Konečně dvě náhodné proměnné X a Y jsou stejné, pokud jsou stejné jako funkce v jejich pravděpodobnostním prostoru, to znamená,
Velká část matematické statistiky spočívá v prokázání konvergenčních výsledků pro určité posloupnosti náhodných proměnných; viz například zákon velkých čísel a centrální limitní věta.
Existují různé smysly, ve kterých posloupnost (Xn) náhodných proměnných může konvergovat k náhodné proměnné X. Ty jsou vysvětleny v článku o konvergenci náhodných proměnných.
Papoulis, Athanasios 1965 Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Kogakusha, Tokio, 9. vydání, ISBN 0071199810.
Tento článek obsahuje materiál z proměnné Random na PlanetMath, která je licencována pod GFDL.