V teorii pravděpodobnosti (a zejména v hazardních hrách) je očekávaná hodnota (nebo matematické očekávání) náhodné veličiny součtem pravděpodobnosti každého možného výsledku experimentu vynásobené jeho výplatou („hodnota“). Představuje tedy průměrnou částku, kterou člověk „očekává“, že vyhraje na jednu sázku, pokud se sázky se stejným kurzem mnohokrát opakují. Všimněte si, že hodnotu samotnou nelze očekávat v obecném smyslu; může být nepravděpodobná nebo dokonce nemožná. Hra nebo situace, ve které je očekávaná hodnota pro hráče nulová (žádný čistý zisk nebo ztráta), se nazývá „férová hra“.
což je asi -$0.0526. Proto se očekává, že v průměru ztratíme přes pět centů za každý dolar sázky.
Obecně platí, že pokud je náhodná proměnná definovaná na pravděpodobnostním prostoru , pak očekávaná hodnota (označené nebo někdy nebo ) je definována jako
kde je použit Lebesgueův integrál. Všimněte si, že ne všechny náhodné proměnné mají očekávanou hodnotu, protože integrál nemusí existovat (např. Cauchyho rozdělení). Dvě proměnné se stejným rozdělením pravděpodobnosti budou mít stejnou očekávanou hodnotu, pokud je definována.
Pokud je diskrétní náhodná proměnná s hodnotami , , … a odpovídající pravděpodobnosti , , … které se sčítají do 1, pak mohou být vypočteny jako součet nebo řady
jako ve výše uvedeném příkladu s hazardními hrami.
Je-li rozdělení pravděpodobnosti připouští funkci hustoty pravděpodobnosti , Pak očekávaná hodnota může být vypočtena jako
Z definice diskrétního případu přímo vyplývá, že pokud je konstantní náhodná proměnná, tj. pro některé pevné reálné číslo , Pak očekávaná hodnota je také .
Očekávaná hodnota libovolné funkce x, g(x), s ohledem na hustotu pravděpodobnosti funkce f(x) je dána
Operátor očekávané hodnoty (nebo operátor očekávání) je lineární v tom smyslu, že
pro jakékoli dvě náhodné proměnné a (které je třeba definovat na stejné pravděpodobnosti prostoru) a jakékoli reálných čísel a .
Pro libovolné dvě náhodné proměnné lze definovat podmíněné očekávání:
Pak očekávání splňuje
Proto platí následující rovnice:
Pravá strana této rovnice se označuje jako iterované očekávání. Toto tvrzení je ošetřeno v zákoně celkového očekávání.
Je-li náhodná proměnná X vždy menší nebo rovna jiné náhodné proměnné Y, je očekávání X menší nebo rovno očekávání Y:
Zejména, protože a , Absolutní hodnota očekávání náhodné proměnné je menší nebo rovna očekávání jeho absolutní hodnoty:
Následující vzorec platí pro každou nezápornou náhodnou veličinu oceněnou reálnou hodnotou (například ), a kladné reálné číslo :
Obecně platí, že operátor očekávané hodnoty není multiplikativní, tj. není nutně roven , s výjimkou případů, kdy a jsou nezávislé nebo nekorelované.
Tento nedostatek multiplikativity vede ke studiu kovariance a korelace.
Obecně platí, že operátor očekávání a funkce náhodných proměnných nekomunikují; to je
Použití a aplikace očekávané hodnoty
Očekávané hodnoty mocnin se nazývají momenty ; momenty o průměru jsou očekávané hodnoty mocnin . Momenty některých náhodných proměnných mohou být použity k určení jejich rozdělení, prostřednictvím jejich momentu generování funkcí.
Pro empirický odhad očekávané hodnoty náhodné veličiny se opakovaně měří pozorování dané veličiny a vypočítává se aritmetický průměr výsledků. To odhaduje skutečnou očekávanou hodnotu nezaujatým způsobem a má tu vlastnost, že minimalizuje součet čtverců zbytkových veličin (součet čtvercových rozdílů mezi pozorováními a odhadem). Zákon velkých čísel ukazuje, že (za poměrně mírných podmínek) jak se velikost vzorku zvětšuje, rozptyl tohoto odhadu se zmenšuje.
V klasické mechanice je těžiště analogickým konceptem k očekávání. Například předpokládejme je diskrétní náhodná veličina s hodnotami a odpovídajícími pravděpodobnostmi . Nyní uvažujme beztížnou tyč, na které jsou umístěna závaží, v místech podél tyče a mající hmotnosti (jejichž součet je jedna). Bod, ve kterém tyč vyvažuje (její těžiště) je . (Všimněte si však, že těžiště není stejné jako těžiště.)
Tato vlastnost se využívá v kovariančních maticích.