Gödel je nejznámější pro své dvě věty o neúplnosti, publikované v roce 1931, kdy mu bylo 25 let, rok po dokončení doktorátu na Vídeňské univerzitě. Známější věta o neúplnosti říká, že pro každou samokonzistentní rekurzivní axiomatickou soustavu dostatečně mocnou na to, aby popsala aritmetiku přirozených čísel (Peanova aritmetika), existují pravdivé výroky o přirozenosti, které nelze z axiomů dokázat. Aby tuto větu dokázal, vyvinul Gödel techniku dnes známou jako Gödelovo číslování, která kóduje formální výrazy jako přirozená čísla.
Ukázal také, že hypotéza kontinua nemůže být vyvrácena z přijatých axiomů teorie množin, pokud jsou tyto axiomy konzistentní. Udělal důležité příspěvky k teorii důkazu objasněním souvislostí mezi klasickou logikou, intuicionistickou logikou a modální logikou.
Kurt Friedrich Gödel se narodil 28. dubna 1906 v Brně v Rakousku-Uhersku do etnické německé rodiny Rudolfa Gödela, ředitele textilní továrny, a Marianne Gödelové (rozené Handschuhové). V době jeho narození mělo město mírnou německy mluvící většinu, a to byl jazyk jeho rodičů. Předkové Kurta Gödela byli často aktivní v kulturním životě města Brna. Například jeho dědeček Joseph Gödel byl slavným zpěvákem té doby a několik let členem „Brünner Männergesangverein“.
I když sám česky mluvil velmi málo, stal se Gödel automaticky československým občanem ve 12 letech, když se na konci první světové války rozpadlo Rakousko-uherské impérium]. Později řekl svému životopisci Johnu W. Dawsonovi, že se během této doby cítil jako „vyhnaný Rakušan v Československu“ („ein Österreicher im Exil in der Tschechoslowakei“). Ve 23 letech se rozhodl stát se rakouským občanem. Když nacistické Německo anektovalo Rakousko, stal se Gödel automaticky německým občanem ve 32 letech. Po druhé světové válce, ve věku 42 let, se stal americkým občanem.
Ve své rodině byl mladý Kurt znám jako Herr Warum („Pan Proč“) kvůli své nenasytné zvědavosti.
Podle jeho bratra Rudolfa trpěl Kurt ve věku šesti nebo sedmi let revmatickou horečkou; zcela se uzdravil, ale po zbytek života byl přesvědčen, že jeho srdce utrpělo trvalé poškození.
Gödel navštěvoval Evangelische Volksschule, luteránskou školu v Brně v letech 1912 až 1916, a byl zapsán do Deutsches Staats-Realgymnasium v letech 1916 až 1924, vynikal s vyznamenáním ve všech svých předmětech, zejména v matematice, jazycích a náboženství. I když Kurt nejprve vynikal v jazycích, později se začal více zajímat o historii a matematiku. Jeho zájem o matematiku vzrostl, když v roce 1920 jeho starší bratr Rudolf (narozen 1902) odešel do Vídně, aby šel na lékařskou fakultu na univerzitě ve Vídni (UV). Během dospívání studoval Kurt Gabelsbergerův těsnopis, Goethovu teorii barev a kritiku Isaaca Newtona a spisy Immanuela Kanta.
Ve věku 18 let se Kurt připojil ke svému bratrovi Rudolfovi ve Vídni a vstoupil na Vídeňskou univerzitu. V té době již zvládl matematiku na univerzitní úrovni. Přestože původně zamýšlel studovat teoretickou fyziku, Kurt také navštěvoval kurzy matematiky a filozofie. Během této doby přijal myšlenky matematického realismu. Četl Kantovu Metafyzu Anfangsgründe der Naturwissenschaft a účastnil se Vídeňského kruhu s Moritzem Schlickem, Hansem Hahnem a Rudolfem Carnapem. Kurt pak studoval teorii čísel, ale když se zúčastnil semináře vedeného Moritzem Schlickem, který studoval knihu Bertranda Russella Úvod do matematické filozofie, Kurt se začal zajímat o matematickou logiku.
Absolvování přednášky Davida Hilberta v Boloni o úplnosti a konzistenci matematických systémů možná nastavilo Gödelův životní směr.
V roce 1928 Hilbert a Wilhelm Ackermannovi publikovali Grundzüge der theoretischen Logik (Principy matematické logiky), úvod do logiky prvního řádu, v němž byl problém úplnosti položen: Jsou axiomy formálního systému dostatečné k odvození každého tvrzení, které je pravdivé ve všech modelech systému?
To bylo téma, které si Gödel vybral pro svou doktorskou práci.
V roce 1929, ve věku 23 let, dokončil svou doktorskou disertační práci pod dohledem Hanse Hahna. V ní Gödel stanovil úplnost predikátového počtu prvního řádu (tento výsledek je znám jako Gödelova věta o úplnosti). V roce 1930 mu byl udělen doktorát. Jeho diplomová práce, spolu s některými dalšími pracemi, byla publikována Vídeňskou akademií věd.
The Incompleteness Theorem
V roce 1931 a ještě ve Vídni Gödel publikoval své slavné věty o neúplnosti v „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme“ (v angličtině nazývané „O formálně nerozhodnutelných propozicích Principia Mathematica a souvisejících systémů“). V tomto článku dokázal pro každý výpočetní axiomatický systém, který je dostatečně silný na to, aby popsal aritmetiku přirozených čísel (např. Peanovy axiomy nebo ZFC), že:
Tyto věty skončil půl-století pokusů, počínaje prací Frege a vrcholí v Principia Mathematica a Hilbert je formalismus, najít soubor axiomy dostatečné pro všechny matematiky. Neúplnost věty také znamená, že ne všechny matematické otázky jsou vyčíslitelné.
Ve svém dvoustránkovém článku „Zum intuitionistischen Aussagenkalkül“ (1932) Gödel vyvrátil konečnou hodnotu intuicionistické logiky. V důkazu implicitně použil to, co později vešlo ve známost jako Gödelova–Dummettova intermediární logika (nebo Gödelova fuzzy logika).
Polovina třicátých let: další práce a návštěvy USA
Gödel získal habilitaci na UV v roce 1932 a v roce 1933 se tam stal Privatdozentem (neplaceným přednášejícím). V roce 1933 se v Německu dostal k moci Adolf Hitler a během následujících let se nacisté zvedli ve svůj vliv v Rakousku a mezi vídeňskými matematiky.
V červnu 1936 byl Moritz Schlick, jehož seminář vzbudil Gödelův zájem o logiku, zavražděn pronacistickým studentem. To vyvolalo v Gödelovi „těžkou nervovou krizi“.
Rozvinuly se u něj paranoidní příznaky, včetně strachu z otravy, a strávil několik měsíců v sanatoriu pro nervové choroby.
V roce 1933 Gödel poprvé cestoval do USA, kde se setkal s Albertem Einsteinem, který se stal dobrým přítelem. Doručil adresu na výročním zasedání Americké matematické společnosti. Během tohoto roku Gödel také rozvíjel myšlenky vyčíslitelnosti a rekurzivních funkcí do té míry, že přednesl přednášku o obecných rekurzivních funkcích a konceptu pravdy. Tato práce byla vyvinuta v teorii čísel, pomocí Gödelova číslování.
V roce 1934 Gödel vydal sérii přednášek na Institutu pro pokročilé studium (IAS) v Princetonu, New Jersey, s názvem Na nerozhodnutelné návrhy formálních matematických systémů. Stephen Kleene, kteří právě dokončil svůj Ph.D. v Princetonu, vzal na vědomí těchto přednášek, které byly následně zveřejněny.
Gödel by navštívit IAS znovu na podzim roku 1935. Cestování a tvrdá práce ho vyčerpala a další rok musel zotavit z deprese. Vrátil se k výuce v roce 1937. Během této doby pracoval na doklad o konzistenci axiom volby a hypotézy kontinua; on by jít na to ukázat, že tyto hypotézy nelze vyvrátit ze společného systému axiomů teorie množin.
20. září 1938 se oženil s Adélou Nimburskou (rozenou Porkertovou, 1899-1981), se kterou se znal více než 10 let.
Jejich vztah odmítali jeho rodiče s odůvodněním, že je rozvedená tanečnice, o šest let starší než on. Neměli žádné děti.
Následně odjel na další návštěvu do USA, kde strávil podzim 1938 na IAS a jaro 1939 na University of Notre Dame.
Gödel a jeho žena Adele strávili léto 1942 v Blue Hill v Maine, v Blue Hill Inn na vrcholu zátoky. Gödel si bral dovolenou od IAS.
Gödel nebyl pouze dovolenou, a měl velmi produktivní léto práce. Použití Heft 15 [svazek 15] Gödel je stále-nepublikované Arbeitshefte [pracovní notebooky], John W. Dawson, Jr. dohady, že Gödel objevil důkaz o nezávislosti axiom volby od konečných typ teorie, oslabené formě teorie množin, zatímco v Blue Hill v roce 1942. Gödel blízký přítel Hao Wang podporuje tuto domněnku, s tím, že Gödel je Blue Hill notebooky obsahují jeho nejrozsáhlejší zacházení s problémem.
Přesídlení do Princetonu, Einsteinu a občanství USA
Po anšlusu v roce 1938 se Rakousko stalo součástí nacistického Německa.
Německo zrušilo titul Privatdozent, takže Gödel musel zažádat o jiné místo podle nového řádu. Jeho dřívější spojení s židovskými členy Vídeňského kruhu, zejména s Hahnem, mu vadilo. Vídeňská univerzita jeho žádost zamítla.
Jeho nesnáze zesílily, když ho německá armáda shledala způsobilým pro brannou povinnost. Druhá světová válka začala v září 1939.
Než rok uplynul, Gödel s manželkou opustili Vídeň a vydali se do Princetonu. Aby se vyhnuli potížím s přechodem přes Atlantik, vydali se Gödelovi transsibiřskou železnicí do Pacifiku, plavili se z Japonska do San Franciska (kam dorazili 4. března 1940), pak přejeli USA vlakem do Princetonu, kde Gödel přijal místo v Institutu pro pokročilá studia (IAS).
Gödel velmi rychle pokračoval ve své matematické práci. V roce 1940 publikoval svou práci Konzistence axiomu volby a zobecněné hypotézy kontinua s axiomy teorie množin, která je klasikou moderní matematiky. V této práci představil konstruktibilní vesmír, model teorie množin, v němž jediné množiny, které existují, jsou ty, které lze sestrojit z jednodušších množin. Gödel ukázal, že jak axiom volby (AC), tak i zobecněná hypotéza kontinua (GCH) jsou pravdivé v konstruktibilním vesmíru, a proto musí být konzistentní se Zermelovými-Fraenkelovými axiomy pro teorii množin (ZF). Paul Cohen později sestrojil model ZF, v němž jsou AC a GCH nepravdivé; dohromady tyto důkazy znamenají, že AC a GCH jsou nezávislé na ZF axiomech pro teorii množin.
Albert Einstein v té době také žil v Princetonu. Gödel a Einstein si následně vytvořili silné přátelství a bylo známo, že spolu chodili na dlouhé procházky do a z Institutu pro pokročilé studium. Povaha jejich rozhovorů byla pro ostatní členy Institutu záhadou. Ekonom Oskar Morgenstern líčí, že ke konci svého života se Einstein svěřil, že jeho „vlastní práce už mnoho neznamenala, že přišel do Institutu pouze…aby měl tu čest jít domů s Gödelem“.
5. prosince 1947 Einstein a Morgenstern doprovázeli Gödela na jeho zkoušku z amerického občanství, kde vystupovali jako svědci. Gödel se jim svěřil, že objevil rozpor v americké ústavě, který by umožnil, aby se USA staly diktaturou. Einstein a Morgenstern se obávali, že nepředvídatelné chování jejich přítele by mohlo ohrozit jeho šance. Naštěstí se ukázalo, že rozhodčím je Phillip Forman. Forman znal Einsteina a složil přísahu na Einsteinově vlastním slyšení o občanství. Vše šlo hladce, dokud se Forman náhodou nezeptal Gödela, zda si myslí, že by v USA mohla nastat diktatura jako v nacistickém režimu. Gödel pak začal svůj objev vysvětlovat Formanovi. Forman pochopil, o co jde, přerušil Gödela a přesunul slyšení na další otázky a rutinní závěr.
Gödel se stal stálým členem Institutu pokročilého studia v Princetonu v roce 1946. Kolem této doby přestal publikovat, i když pokračoval v práci. Stal se řádným profesorem na ústavu v roce 1953 a emeritní profesor v roce 1976.
V roce 1951 Gödel demonstroval existenci paradoxních řešení rovnic pole Alberta Einsteina v obecné relativitě. Toto zpracování dal Einsteinovi jako dárek k jeho 70. narozeninám. Tyto „rotující vesmíry“ by umožnily cestování časem a způsobily, že Einstein měl pochybnosti o své vlastní teorii. Jeho řešení jsou známá jako Gödelova metrika.
Během mnoha let v Institutu se Gödelovy zájmy obrátily k filozofii a fyzice. Studoval a obdivoval díla Gottfrieda Leibnize, ale dospěl k přesvědčení, že nepřátelské spiknutí způsobilo, že některá Leibnizova díla byla potlačena. V menší míře studoval Immanuela Kanta a Edmunda Husserla. Na počátku sedmdesátých let Gödel obíhal mezi svými přáteli zpracování Leibnizovy verze ontologického důkazu o existenci Boha od Anselma z Canterbury. Ten je dnes znám jako Gödelův ontologický důkaz.
Gödel byl oceněn (s Julian Schwinger) první Albert Einstein Award v roce 1951, a byl také udělen Národní medaile vědy, v roce 1974.
V pozdějším životě trpěl Gödel obdobími duševní nestability a nemocí. Měl obsesivní strach z otravy; nejedl, dokud jeho jídlo neochutnala jeho žena Adele. Koncem roku 1977 byla Adele šest měsíců hospitalizována a Gödelovo jídlo už nemohla ochutnat. V její nepřítomnosti odmítal jíst a nakonec zemřel hlady. Když zemřel, vážil 65 liber (přibližně 30 kg). V jeho úmrtním listě se uvádí, že zemřel na „podvýživu a přežívání způsobené poruchou osobnosti“ v Princetonské nemocnici 14. ledna 1978.
Gravestone Kurta Gödela v Princetonu, NJ, hřbitov
Na jeho počest byla pojmenována Společnost Kurta Gödela, založená v roce 1987. Jedná se o mezinárodní organizaci na podporu výzkumu v oblastech logiky, filozofie a dějin matematiky. Vídeňská univerzita hostí Výzkumné centrum Kurta Gödela pro matematickou logiku. Asociace symbolické logiky od roku 1990 každoročně zve na přednášku Kurta Gödela.
Bylo vydáno pět svazků Gödelových sebraných děl. První dva zahrnují Gödelovy publikace, třetí zahrnuje nepublikované rukopisy z Gödelovy Nachlass a poslední dva zahrnují korespondenci.
Životopis Gödela zveřejnil John Dawson v roce 2005. Gödel byl také jedním ze čtyř matematiků zkoumaných v roce 2008 v dokumentu BBC s názvem „Nebezpečné znalosti“.
Gödel byl přesvědčený teista. Odmítal názor druhých, jako byl jeho přítel Albert Einstein, že Bůh je neosobní. Pevně věřil v posmrtný život a uvedl: „Jsem přesvědčen o posmrtném životě, nezávislém na teologii. Je-li svět racionálně konstruován, musí existovat posmrtný život.“ V nezmenšené odpovědi na dotazník Gödel popsal své náboženství jako „pokřtěné luteránství (ale ne jako člen žádné náboženské kongregace). Má víra je teistická, nikoli panteistická, následuje spíše Leibnize než Spinozu.“ O islámu řekl: „Mám rád islám: je to konzistentní [nebo následná] myšlenka náboženství a otevřená myšlení.“
Dotazník Grandjean je asi nejrozšířenější autobiografickou položkou v Gödelových dokumentech. Gödel ho vyplnil tužkou a napsal průvodní dopis, ale nikdy ho nevrátil. „Teistický“ je psaný kurzívou jak ve Wangu 1987, tak ve Wangu 1996. Je možné, že tato kurzíva je Wangova a ne Gödelova.
Citát navazuje na Wang 1987, se dvěma opravami převzatými z Wang 1996. Wang 1987 zní „Baptist Lutheran“, kde Wang 1996 „pokřtil Lutheran“. „Baptist Lutheran“ nedává smysl, zejména v kontextu, a byl pravděpodobně překlep nebo chybný překlad. Wang 1987 má „rel. cong.“, který ve Wang 1996 je rozšířen na „náboženskou kongregaci“.