Číslo je matematický objekt používaný při počítání a měření. Notový symbol, který představuje číslo, se nazývá číslice, ale v běžném užívání se slovo číslo používá jak pro abstraktní objekt, tak pro symbol, stejně jako pro slovo pro číslo. Kromě jejich použití při počítání a měření se číslice často používají pro popisky (telefonní čísla), pro řazení (sériová čísla) a pro kódy (ISBN). V matematice byla definice čísla v průběhu let rozšířena o taková čísla jako 0, záporná čísla, racionální čísla, iracionální čísla a komplexní čísla.
Některé procedury, které berou jedno nebo více čísel jako vstup a produkují číslo jako výstup, se nazývají numerické operace. Unární operace berou jedno vstupní číslo a produkují jedno výstupní číslo. Například následnická operace přidá jedno k celému číslu, takže následník 4 je 5. Běžnější jsou binární operace, které berou dvě vstupní čísla a produkují jedno výstupní číslo. Příklady binárních operací zahrnují sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování. Studium numerických operací se nazývá aritmetika.
Odvětví matematiky, které studuje strukturu v počtu systémů, pomocí témat, jako jsou skupiny, kroužky a pole, se nazývá abstraktní algebra.
V různých případech se používají různé typy čísel. Čísla lze klasifikovat do množin, tzv. číselných soustav. (Různé metody vyjadřování čísel pomocí symbolů, jako jsou římské číslice, viz číselné soustavy.)
Nejznámější čísla jsou přirozená čísla nebo počtová čísla: jedna, dvě, tři a tak dále.
V systému základních deseti čísel, v téměř univerzálním použití dnes pro aritmetické operace, jsou symboly přirozených čísel psány pomocí deseti číslic: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 a 9. V tomto systému základních deseti má číslice, která je nejvíce vpravo od přirozeného čísla, místo hodnoty jedné a každá druhá číslice má místo hodnoty desetkrát větší, než je místo hodnoty číslice vpravo. Symbol pro množinu všech přirozených čísel je N, také psáno .
V teorii množin, která je schopna fungovat jako axiomatický základ moderní matematiky, mohou být přirozená čísla reprezentována třídami ekvivalentních množin. Například číslo 3 může být reprezentováno jako třída všech množin, které mají přesně tři prvky. Alternativně, v Peanově aritmetice, je číslo 3 reprezentováno jako sss0, kde s je „následnická“ funkce. Je možné mnoho různých reprezentací; vše, co je potřeba k formální reprezentaci čísla 3, je zapsat určitý symbol nebo vzor symbolů 3krát.
Záporná čísla jsou čísla, která jsou menší než nula. Jsou opakem kladných čísel. Pokud například kladné číslo označuje bankovní vklad, pak záporné číslo označuje výběr stejné částky. Záporná čísla se obvykle zapisují záporným znaménkem (také nazývaným znaménko minus) před číslo, jehož jsou opakem. Proto se píše opak 7 −7. Když se množina záporných čísel kombinuje s přirozenými čísly a nulou, výsledkem je množina celočíselných čísel, také nazývaných celá čísla, také psaných Z . Zde písmeno Z pochází z německého slova Zahl, (množné číslo Zahlen).
Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek s celočíselným čitatelem a nenulovým přirozeným jmenovatelem čísla. Zlomek m/n nebo
m představuje stejné části, kde n stejných částí této velikosti tvoří jeden celek. Dva různé zlomky mohou odpovídat stejnému racionálnímu číslu; například 1/2 a 2/4 jsou stejné, to znamená:
Pokud je absolutní hodnota m větší než n, pak je absolutní hodnota zlomku větší než 1. Zlomky mohou být větší než, menší než nebo rovno 1 a mohou být také kladné, záporné nebo nulové. Množina všech racionálních čísel zahrnuje celá čísla, protože každé celé číslo lze zapsat jako zlomek se jmenovatelem 1. Například −7 lze zapsat −7/1. Symbol pro racionální čísla je Q (kvocient), také zapsaný .
Reálná čísla zahrnují všechna měřicí čísla. Reálná čísla se obvykle zapisují pomocí desetinných číslic, ve kterých je desetinná čárka umístěna vpravo od číslice s hodnotou místa jedna. Každá číslice vpravo od desetinné čárky má hodnotu místa jednu desetinu hodnoty místa číslice vlevo. Tedy
představuje 1 stovku, 2 desítky, 3 jedničky, 4 desetiny, 5 setin a 6 tisícin. Při vyslovení čísla se desetinná čárka čte jako „bod“, tedy: „jedna dvě tři celé čtyři pět šest“. V USA a Velké Británii a řadě dalších zemí je desetinná čárka reprezentována tečkou, zatímco v kontinentální Evropě a některých dalších zemích je desetinná čárka reprezentována čárkou. Nula se často píše jako 0,0, pokud je to nutné, aby se s ní zacházelo jako s reálným číslem a ne jako s celým číslem. Záporná reálná čísla se zapisují s předchozím znaménkem minus:
Každé racionální číslo je také reálné číslo. Chcete-li zapsat zlomek jako desetinné číslo, vydělte čitatele jmenovatelem. Není to však tak, že každé reálné číslo je racionální. Pokud reálné číslo nelze zapsat jako zlomek dvou celých čísel, nazývá se iracionální. Desetinné číslo, které lze zapsat jako zlomek, buď končí (končí) nebo se navždy opakuje, protože je odpovědí na problém v dělení. Takže reálné číslo 0,5 lze zapsat jako 1/2 a reálné číslo 0,333… (navždy opakující trojky) lze zapsat jako 1/3. Na druhou stranu reálné číslo π (pí), poměr obvodu libovolné kružnice k jejímu průměru, je
Vzhledem k tomu, že desetinná čárka nekončí ani se věčně neopakuje, nelze ji zapsat jako zlomek a je příkladem iracionálního čísla. Mezi další iracionální čísla patří
(druhá odmocnina z 2, tedy kladné číslo, jehož druhá mocnina je 2).
Tedy 1.0 a 0.999… jsou dvě různé desetinné číslice reprezentující přirozené číslo 1. Existuje nekonečně mnoho dalších způsobů reprezentace čísla 1, například 2/2, 3/3, 1.00, 1.000 a tak dále.
Každé reálné číslo je buď racionální nebo iracionální. Každé reálné číslo odpovídá bodu na číselné přímce. Reálná čísla mají také důležitou, ale vysoce technickou vlastnost nazývanou nejmenší horní mez. Symbol pro reálná čísla je R nebo .
Když reálné číslo představuje měření, vždy je zde mez chyby. Ta je často indikována zaokrouhlením nebo zkrácením desetinné čárky, takže číslice, které naznačují větší přesnost než samotné měření, jsou odstraněny. Zbývající číslice se nazývají významné číslice. Například měření pravítkem lze zřídka provádět bez meze chyby alespoň 0,01 metru. Pokud jsou strany obdélníku měřeny jako 1,23 metru a 4,56 metru, pak násobení dává plochu pro obdélník 5,6088 metru čtverečního. Protože pouze první dvě číslice za desetinným místem jsou významné, je to obvykle zaokrouhleno na 5,61.
V abstraktní algebře jsou reálná čísla až po izomorfismus jedinečně charakterizovaná tím, že jsou jediným úplným uspořádaným polem. Nejsou však algebraicky uzavřeným polem.
Přesunem na vyšší úroveň abstrakce lze reálná čísla rozšířit na komplexní čísla. Tato množina čísel vznikla historicky z otázky, zda záporné číslo může mít druhou odmocninu. To vedlo k vynálezu nového čísla: druhé odmocniny záporné jedničky, označené i, symbolem přiřazeným Leonhardem Eulerem, a nazývané imaginární jednotka. Komplexní čísla se skládají ze všech čísel tvaru
kde a a b jsou reálná čísla. Ve výrazu a + bi se reálné číslo a nazývá reálná část a bi se nazývá imaginární část. Je-li reálná část komplexního čísla nula, pak se číslo nazývá imaginární číslo nebo se označuje jako čistě imaginární; je-li imaginární část nula, pak číslo je reálné číslo. Reálná čísla jsou tedy podmnožinou komplexních čísel. Jsou-li reálná a imaginární část komplexního čísla celá čísla, pak se číslo nazývá Gaussovo celé číslo. Symbolem komplexních čísel je C nebo .
V abstraktní algebře jsou komplexní čísla příkladem algebraicky uzavřeného pole, což znamená, že každý polynom s komplexními koeficienty může být započten do lineárních faktorů. Stejně jako soustava reálných čísel je soustava komplexních čísel pole a je kompletní, ale na rozdíl od reálných čísel není uspořádaná. To znamená, že není žádný význam v tvrzení, že i je větší než 1, ani není žádný význam v tvrzení, že i je menší než 1. Z technického hlediska komplexní čísla postrádají vlastnost trichotomie.
Složitá čísla odpovídají bodům na komplexní rovině, někdy nazývané Argandova rovina.
Každá z výše uvedených číselných soustav je vlastní podmnožinou další číselné soustavy. Symbolicky .
Přesuneme-li se k problémům výpočtu, jsou vypočitatelná čísla určena v množině reálných čísel. Vypočítatelná čísla, známá také jako rekurzivní čísla nebo vypočitatelné reálie, jsou reálná čísla, která mohou být vypočtena s libovolnou požadovanou přesností konečným, koncovým algoritmem. Ekvivalentní definice mohou být dány použitím μ-rekurzivních funkcí, Turingových strojů nebo λ-kalkulu jako formální reprezentace algoritmů. Vypočítatelná čísla tvoří reálné uzavřené pole a mohou být použita místo reálných čísel pro mnoho, ale ne pro všechny, matematických účelů.
Hyperreálná a hyperkomplexní čísla se používají v nestandardní analýze. Hyperreals, neboli nestandardní reals (obvykle označované jako *R), označují uspořádané pole, které je řádným rozšířením uspořádaného pole reálných čísel R a které splňuje princip přenosu. Tento princip umožňuje, aby pravdivá první řádová prohlášení o R byla reinterpretována jako pravdivá první řádová prohlášení o *R.
Superreálná a surrealistická čísla rozšiřují reálná čísla přidáním nekonečně malých čísel a nekonečně velkých čísel, ale stále tvoří pole.
Myšlenka p-adických čísel je následující:
Zatímco reálná čísla mohou mít nekonečně dlouhé expanze vpravo od desetinné čárky, tato čísla umožňují nekonečně dlouhé expanze vlevo. Číselná soustava, jejíž výsledky závisí na tom, jaká základna je použita pro číslice: jakákoli základna je možná, ale systém s nejlepšími matematickými vlastnostmi je získán, když základnou je prvočíslo.
Pro práci s nekonečnými kolekcemi byla přirozená čísla zobecněna na ordinální čísla a na kardinální čísla. První udává pořadí kolekce, zatímco druhé udává její velikost. Pro konečnou množinu jsou ordinální a kardinální čísla rovnocenná, ale liší se v nekonečném případě.
Existují také další množiny čísel se specializovaným použitím. Některé jsou podmnožinou komplexních čísel. Například algebraická čísla jsou kořeny polynomů s racionálními koeficienty. Komplexní čísla, která nejsou algebraická, se nazývají transcendentální čísla.
Množiny čísel, které nejsou podmnožinou komplexních čísel, se někdy nazývají hyperkomplexní čísla. Patří mezi ně kvaterniony H, které vynalezl sir William Rowan Hamilton a v nichž násobení není komutativní, a oktoniony, v nichž násobení není asociativní. Prvky funkčních polí nenulové charakteristiky se chovají určitým způsobem jako čísla a jsou často považovány za čísla teoretiky čísel.
Kromě toho, různé specifické druhy čísel jsou studovány v sadách přirozených a celočíselných čísel.
Sudé číslo je celé číslo, které je „rovnoměrně dělitelné“ číslem 2, tj. dělitelné číslem 2 bez zbytku; liché číslo je celé číslo, které není rovnoměrně dělitelné číslem 2. (Staromódní termín „rovnoměrně dělitelné“ je nyní téměř vždy zkrácen na „dělitelné“.)
Formální definice lichého čísla je taková, že se jedná o celé číslo tvaru n = 2k + 1, kde k je celé číslo. Sudé číslo má tvar n = 2k, kde k je celé číslo.
Perfektní číslo je definováno jako kladné celé číslo, které je součtem jeho vlastních kladných dělitelů, tedy součtem kladných dělitelů nezahrnujících číslo samotné. Rovnocenně je perfektní číslo číslo, které je polovinou součtu všech jeho kladných dělitelů, nebo σ(n) = 2 n. První perfektní číslo je 6, protože 1, 2 a 3 jsou jeho vlastní kladné dělitele a 1 + 2 + 3 = 6. Další perfektní číslo je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Další perfektní čísla jsou 496 a 8128 (sekvence A000396 v OEIS)
. Tato první čtyři perfektní čísla byla jediná známá rané řecké matematice.
Figurální číslo je číslo, které může být reprezentováno jako pravidelný a diskrétní geometrický obrazec (např. tečky). Pokud je obrazec polytopický, je figura označena polytopickým číslem a může být polygonálním číslem nebo polyhedrálním číslem. Polytopická čísla pro r = 2, 3 a 4 jsou:
Číslo relace je definováno jako třída relací skládající se ze všech relací, které jsou podobné jednomu členu třídy.
Čísla by měla být odlišena od číslic, symbolů používaných k reprezentaci čísel. Boyer ukázal, že Egypťané vytvořili první šifrovaný číselný systém. Řekové následovali zmapování jejich čísel počítání na Jónské a Dórské abety. Číslo pět může být reprezentováno jak základní desítkou číslice ‚5‘, římskou číslicí ‚Ⅴ‘ a šifrovanými písmeny. Notace používané k reprezentaci čísel jsou diskutovány v článku číselné systémy. Důležitý vývoj v historii číslic byl vývoj pozičního systému, jako moderní desetinná čísla, která mohou představovat velmi velká čísla. Římské číslice vyžadují extra symboly pro větší čísla.
Spekuluje se, že první známé použití čísel se datuje do doby kolem 35.000 př.n.l. Kosti a další artefakty byly objeveny se značkami do nich řezanými, které mnozí považují za shodné značky. Použití těchto shodných značek mohlo být pro počítání uplynulého času, jako jsou počty dní, nebo pro vedení záznamů o množství, například zvířat.
Sčítací systémy nemají pojem místo-hodnota (jako v současné době používané desítkové notace), které omezují jeho zastoupení velkých čísel a jako takový je často považován za první druh abstraktního systému, který by byl použit, a mohl by být považován za číselný systém.
První známý systém s hodnotou místa byl Mezopotámský systém základny 60 (cca 3400 př. n. l.) a nejstarší známý systém základny 10 pochází z roku 3100 př. n. l. v Egyptě.
Použití nuly jako čísla by mělo být odlišeno od jejího použití jako zástupné číslice v systémech místo-hodnota. Mnoho starověkých textů používalo nulu. Babyloňané a egyptské texty ji používaly. Egypťané používali slovo nfr k označení nulového zůstatku v položkách podvojného účetnictví. Indické texty používaly sanskrtské slovo Shunya k odkazu na pojem prázdnota; v matematických textech bylo toto slovo často používáno k odkazu na číslo nula. V podobném duchu, Pāṇini (5. století př.n.l.) používal operátor null (nula) (tj. lambda produkce) v Aštadhyayi, jeho algebraické gramatice pro sanskrtský jazyk. (také viz Pingala)
Záznamy ukazují, že antičtí Řekové si zřejmě nebyli jisti postavením nuly jako čísla: ptali se sami sebe „jak může být ‚nic‘ něco?“ což vedlo k zajímavým filozofickým a ve středověku náboženským argumentům o povaze a existenci nuly a vakua. Paradoxy Zena z Elee závisejí z velké části na nejisté interpretaci nuly. (Staří Řekové se dokonce ptali, jestli je 1 číslo.)
Pozdní Olmékové v jižním středním Mexiku začali používat pravou nulu (shellový glyf) v Novém světě možná už ve 4. století př. n. l., ale určitě už v roce 40 př. n. l., což se stalo nedílnou součástí mayských číslic a mayského kalendáře. Mayská aritmetika používala základ 4 a základ 5 zapsaný jako základ 20. Sanchez v roce 1961 ohlásil základ 4, základ 5 ‚prstové‘ počítadlo.
Kolem roku 130 Ptolemaios, ovlivněný Hipparchem a Babylóňany, používal symbol pro nulu (malé kolečko s dlouhou čárkou) v rámci sexagesimální číselné soustavy, jinak používající abecední řecké číslice. Protože byla používána samostatně, nikoli jen jako zástupný znak, byla tato helénistická nula prvním doloženým použitím skutečné nuly ve Starém světě. V pozdějších byzantských rukopisech jeho Syntaxis Mathematica (Almagest) se helénistická nula přeměnila na řecké písmeno omikron (jinak 70).
Další pravdivá nula byla použita v tabulkách vedle římských číslic číslem 525 (první známé použití Dionysiem Exiguem), ale jako slovo, nulla znamená nic, ne jako symbol. Když dělení přineslo nulu jako zbytek, bylo použito nihil, také neznamenající nic. Tyto středověké nuly byly použity všemi budoucími středověkými výpočetními technikami (kalkulačkami Velikonoc). Izolované použití jejich iniciály N bylo použito v tabulce římských číslic Bedou nebo kolegou asi 725, pravdivý symbol nuly.
První doložené použití nuly Brahmaguptou (v Brahmasphutasiddhantě) se datuje k roku 628. S nulou zacházel jako s číslem a diskutoval o operacích, které se jí týkaly, včetně dělení. Do této doby (7. století) se koncept jasně dostal do Kambodže a dokumentace ukazuje, že myšlenka se později rozšířila do Číny a islámského světa.
Historie záporných čísel
Abstraktní koncept záporných čísel byl uznán již v letech 100 př. n. l. – 50 př. n. l. Čínská „Devět kapitol o matematickém umění“ (Ťiu-čang Suan-šu) obsahuje metody pro hledání oblastí čísel; červené tyče byly používány pro označení kladných koeficientů, černá pro záporné. Toto je nejstarší známá zmínka o záporných číslech na východě; první zmínka v západní práci byla ve 3. století v Řecku. Diophantus odkazoval na rovnici ekvivalentní (řešení by bylo záporné) v Arithmetica, říká, že rovnice dal absurdní výsledek.
Během 60. let se v Indii používala záporná čísla, která představovala dluhy. Diophantův předchozí odkaz byl explicitněji diskutován indickým matematikem Brahmaguptou v Brahma-Sphuta-Siddhanta 628, který použil záporná čísla k vytvoření obecné formy kvadratického vzorce, který se používá dodnes. Nicméně ve 12. století v Indii Bhaskara uvádí záporné kořeny pro kvadratické rovnice, ale říká, že záporná hodnota „se v tomto případě nebere, protože je nedostatečná; lidé nesouhlasí se zápornými kořeny“.
Evropští matematici z větší části odolávali konceptu záporných čísel až do 17. století, i když Fibonacci připustil záporná řešení ve finančních problémech, kde mohla být interpretována jako dluhy (kapitola 13 Liber Abaci, 1202) a později jako ztráty (ve Flosu). Ve stejné době Číňané označovali záporná čísla tím, že kreslili diagonální tah přes pravou nenulovou číslici odpovídající kladné číslice[Jak odkazovat a odkazovat na shrnutí nebo text]. První použití záporných čísel v evropském díle bylo Chuquetem během 15. století. Používal je jako exponenty, ale označoval je jako „absurdní čísla“.
Ještě v 18. století, švýcarský matematik Leonhard Euler věřil, že záporná čísla jsou větší než nekonečno [Jak odkazovat a odkaz na shrnutí nebo text], a to bylo běžnou praxí ignorovat jakékoliv negativní výsledky vrátil rovnic za předpokladu, že byly nesmyslné, stejně jako René Descartes udělal s negativními řešení v kartézské souřadnicového systému.
Historie racionálních, iracionálních a reálných čísel
Historie racionálních čísel
Je pravděpodobné, že pojem frakčních čísel se datuje do pravěku. Dokonce i staří Egypťané psali matematické texty popisující, jak převést obecné zlomky do jejich speciální notace. Tabulka RMP 2/n a Kahunův papyrus psaly jednotkové zlomkové řady pomocí nejmenších běžných násobků. Klasičtí řečtí a indičtí matematici dělali studie teorie racionálních čísel, jako součást obecného studia teorie čísel. Nejznámější z nich jsou Euklidovy Prvky, datované zhruba do roku 300 př. n. l. Z indických textů je nejvýznamnější Sthanangova sútra, která také pokrývá teorii čísel jako součást obecného studia matematiky.
Pojem desetinných zlomků je úzce spjat se zápisem desetinných míst; zdá se, že se oba vyvinuly v tandemu. Například je běžné, že jainské matematické sútry zahrnují výpočty desetinných zlomků aproximací na pí nebo druhou odmocninu ze dvou. Podobně babylonské matematické texty vždy používaly sexagesimální zlomky s velkou frekvencí.
Historie iracionálních čísel
Nejstarší známé použití iracionálních čísel bylo v indickém Sulba sútry složené mezi 800-500 př. nl. [Jak odkazovat a odkaz na shrnutí nebo text] První existence důkazy iracionálních čísel je obvykle připisována Pythagoras, přesněji na Pythagorean Hippasus z Metapontum, kteří vyrobené (s největší pravděpodobností geometrický) důkaz o iracionality na druhou odmocninu z 2. Příběh vypráví, že Hippasus objevil iracionální čísla, když se snaží reprezentovat druhou odmocninu z 2 jako zlomek. Nicméně Pythagoras věřil v absolutnost čísel, a nemohl akceptovat existenci iracionálních čísel. Nemohl vyvrátit jejich existenci prostřednictvím logiky, ale jeho přesvědčení by nepřijala existenci iracionálních čísel, a tak odsoudil Hippasus k smrti utopením.
V šestnáctém století došlo ke konečnému přijetí záporných, integrálních a frakčních čísel Evropany. V sedmnáctém století došlo k desítkovým zlomkům s moderní notací zcela obecně používanou matematiky. Ale až v devatenáctém století byla iracionální čísla rozdělena na algebraickou a transcendentální část a vědecké studium teorie iracionálních čísel bylo provedeno ještě jednou. Zůstalo téměř nečinné od Euklida. V roce 1872 došlo ke zveřejnění teorií Karla Weierstrasse (jeho žákem Kossakem), Heina (Crelle, 74), Georga Cantora (Annalen, 5) a Richarda Dedekinda. Méray vzal v roce 1869 stejný výchozí bod jako Heine, ale teorie je obecně odkazováno na rok 1872. Weierstrassova metoda byla zcela stanovena Salvatorem Pincherlem (1880) a Dedekindova získala další význam díky autorově pozdější práci (1888) a nedávnému schválení Paulem Tannerym (1894). Weierstrass, Cantor, a Heine založit své teorie na nekonečné řady, zatímco Dedekind najde jeho na myšlenku řezu (Schnitt) v systému reálných čísel, oddělující všechny racionální čísla do dvou skupin, které mají určité charakteristické vlastnosti. Toto téma obdržel později příspěvky na rukou Weierstrass, Kroneckerovo (Crelle, 101), a Méray.
Pokračující zlomky, úzce související s iracionálními čísly (a díky Cataldi, 1613), obdržela pozornost v rukou Euler, a na počátku devatenáctého století byly uvedeny do popředí prostřednictvím spisů Josepha Louise Lagrange. Další pozoruhodné příspěvky byly provedeny Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), a Günther (1872). Ramus (1855) nejprve spojené téma s determinanty, což, s následnými příspěvky Heine, Möbius, a Günther, v teorii Kettenbruchdeterminanten. Dirichletův také přidal do obecné teorie, stejně jako četné přispěvatelé do aplikací na toto téma.
Transcendentální čísla a reály
První výsledky týkající se transcendentálních čísel byly Lambertův 1761 důkaz, že π nemůže být racionální, a také, že en je iracionální, pokud n je racionální (pokud n = 0). (Konstanta e byla poprvé zmíněna v Napierově 1618 práci o logaritmech.) Legendre rozšířil tento důkaz, aby ukázal, že π není druhá odmocnina racionálního čísla. Hledání kořenů rovnic pátého a vyššího stupně bylo důležitým vývojem, Abelova-Ruffiniho věta (Ruffini 1799, Abel 1824) ukázala, že nemohou být vyřešeny radikály (vzorec zahrnující pouze aritmetické operace a kořeny). Proto bylo nutné vzít v úvahu širší množinu algebraických čísel (všechna řešení polynomiálních rovnic). Galois (1832) spojené polynomiální rovnice do teorie grup, což vedlo k oblasti Galoisovy teorie.
Dokonce i soubor algebraických čísel nebyla dostatečná a celá sada reálných čísel zahrnuje transcendentální čísla.[Jak odkazovat a odkaz na shrnutí nebo text] Existence, která byla poprvé stanovena Liouville (1844, 1851). Hermitova prokázáno v roce 1873, že e je transcendentální a Lindemann prokázáno v roce 1882, že π je transcendentální. Konečně Cantor ukazuje, že soubor všech reálných čísel je nespočetně nekonečný, ale soubor všech algebraických čísel je nespočetně nekonečný, takže existuje nespočetně nekonečný počet transcendentálních čísel.
Nejstarší známé pojetí matematického nekonečna se objevuje v Jajurské védě – starověkém písmu v Indii, které v jednom bodě uvádí „jestliže odstraníte část z nekonečna nebo přidáte část k nekonečnu, stále to, co zůstává, je nekonečno“. Nekonečno bylo populární téma filozofického studia mezi džinskými matematiky kolem roku 400 př. n. l. Rozlišovali mezi pěti typy nekonečna: nekonečno v jednom a dvou směrech, nekonečno v oblasti, nekonečno všude a nekonečno věčně.
Na Západě byl tradiční pojem matematického nekonečna definován Aristotelem, který rozlišoval mezi skutečným nekonečnem a potenciálním nekonečnem; obecný konsenzus byl, že jen to druhé má skutečnou hodnotu. Galileovy Dvě nové vědy pojednávaly o myšlence korespondence jedna ku jedné mezi nekonečnými množinami. Ale další velký pokrok v teorii učinil Georg Cantor; v roce 1895 vydal knihu o své nové teorii množin, která mimo jiné zavedla nekonečná čísla a formulovala hypotézu kontinua. To byl první matematický model, který představoval nekonečno čísly a dal pravidla pro práci s těmito nekonečnými čísly.
V šedesátých letech ukázal Abraham Robinson, jak nekonečně velká a nekonečně malá čísla mohou být přesně definována a použita k rozvoji oblasti nestandardní analýzy. Systém hyperreálných čísel představuje důslednou metodu zpracování myšlenek o nekonečných a nekonečně malých číslech, které byly používány ledabyle matematiky, vědci a inženýry již od vynálezu kalkulu Newtonem a Leibnizem.
Moderní geometrická verze nekonečna je dána projektivní geometrií, která zavádí „ideální body v nekonečnu“, jeden pro každý prostorový směr. Každá rodina paralelních čar v daném směru je postulována tak, aby konvergovala k odpovídajícímu ideálnímu bodu. To úzce souvisí s myšlenkou mizejících bodů v perspektivní kresbě.
Nejstarší letmý odkaz na druhou odmocninu záporných čísel se objevil v díle matematika a vynálezce Herona z Alexandrie v 1. století našeho letopočtu, když považoval objem nemožného frustum pyramidy. Staly se významnějšími, když v 16. století byly uzavřenými vzorci pro kořeny polynomů třetího a čtvrtého stupně objeveny italskými matematiky (viz Niccolo Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano). Brzy se ukázalo, že tyto vzorce, i když se člověk zajímal jen o reálná řešení, někdy vyžadovaly manipulaci s druhou odmocninou záporných čísel.
Zdálo se, že je rozmarně v rozporu s algebraické identity
která platí pro kladná reálná čísla a a b a která byla také použita ve výpočtech komplexních čísel s jedním z a, b pozitivním a druhým negativním. Nesprávné použití této identity a související identity
v případě, kdy a i b jsou negativní, i Eulera oklamala. Tato potíž ho nakonec přivedla ke konvenci používat speciální symbol i místo √−1, aby se chránil před touto chybou.
V 18. století pracovali Abraham de Moivre a Leonhard Euler. De Moivreovi vděčí (1730) známá formule, která nese jeho jméno, de Moivreova formule:
a Euler (1748) Euler je vzorec komplexní analýzy:
Existence komplexních čísel byla zcela přijata až v roce 1799, kdy geometrickou interpretaci popsal Caspar Wessel; o několik let později byla znovu objevena a zpopularizována Carlem Friedrichem Gaussem, a v důsledku toho se teorie komplexních čísel výrazně rozšířila. Myšlenka grafického znázornění komplexních čísel se však objevila již v roce 1685 ve Wallisově De Algebra tractatus.
Také v roce 1799 Gauss poskytl první obecně přijímaný důkaz o základní větě algebry, ukazující, že každý polynom nad komplexními čísly má úplnou sadu řešení v této oblasti. Obecné přijetí teorie komplexních čísel není málo kvůli práci Augustina Louise Cauchyho a Nielse Henrika Abela, a zejména posledně jmenovaného, který byl první, kdo odvážně používat komplexní čísla s úspěchem, který je dobře známý.
Gauss studoval komplexní čísla tvaru a + bi, kde a a b jsou integrální, nebo racionální (a i je jeden ze dvou kořenů x2 + 1 = 0). Jeho student Ferdinand Eisenstein studoval typ a + bω, kde ω je komplexní kořen x3 − 1 = 0. Jiné takové třídy (nazývané cyklotomická pole) komplexních čísel jsou odvozeny od kořenů jednoty xk − 1 = 0 pro vyšší hodnoty k. Toto zobecnění je z velké části zásluhou Ernsta Kummera, který také vynalezl ideální čísla, která byla vyjádřena jako geometrické entity Felixem Kleinem v roce 1893. Obecnou teorii polí vytvořil Évariste Galois, který studoval pole generovaná kořeny jakékoliv polynomiální rovnice F(x) = 0.
V roce 1850 učinil Victor Alexandre Puiseux klíčový krok spočívající v rozlišení mezi póly a rozvětvenými body a zavedl koncept základních singulárních bodů, což nakonec vedlo ke konceptu rozšířené komplexní roviny.
Prvočísla byla studována po celou zaznamenanou historii. Euklides věnoval jednu knihu Prvků teorii prvočísel; v ní dokázal nekonečnost prvočísel a základní větu aritmetiky a představil euklidovský algoritmus pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel.
V roce 240 př. n. l. Eratosthenes použil Eratosthenovo síto k rychlé izolaci prvočísel. Většina dalšího vývoje teorie prvočísel v Evropě se však datuje do renesance a pozdějších období.
V roce 1796 Adrien-Marie Legendre odhadl prvočíselnou větu, popisující asymptotické rozložení prvočísel. Další výsledky týkající se rozložení prvočísel zahrnují Eulerův důkaz, že součet vzájemnosti prvočísel se liší, a Goldbachovu domněnku, která tvrdí, že každé dostatečně velké sudé číslo je součtem dvou prvočísel. Ještě další domněnka týkající se rozložení prvočísel je Riemannova hypotéza, formulovaná Bernhardem Riemannem v roce 1859. Prvočíselná věta byla nakonec prokázána Jacquesem Hadamardem a Charlesem de la Vallée-Poussinem v roce 1896. Na domněnky Goldbacha a Riemanna ještě zbývá dokázat nebo vyvrátit.
Některá čísla mají tradičně alternativní slova, která je vyjadřují, včetně následujících:
Reálná čísla () ·
Složitá čísla () ·
Kvaterniony () ·
Oktoniony () ·
Sedeniony () ·
Konstrukce Cayley-Dickson ·
Dvojčísla ·
Hyperkomplexní čísla ·
Superreálná čísla ·
Iracionální čísla ·
Transcendentální čísla ·
Hyperreálná čísla ·
Surreálná čísla
Přibližné číselné soustavy ·
Kardinální čísla ·
Ordinální čísla ·
p-adická čísla ·
Nadpřirozená čísla