Earnshawova věta říká, že sbírka bodových nábojů nemůže být udržována ve stabilní stacionární rovnovážné konfiguraci pouze elektrostatickou interakcí nábojů. Poprvé to dokázal Samuel Earnshaw v roce 1842. Obvykle se odkazuje na magnetická pole, ale původně se používala na elektrostatická pole. Vztahuje se na klasické síly zákona inverzních kvadratur (elektrické a gravitační) a také na magnetické síly permanentních magnetů a paramagnetických materiálů (ale ne diamagnetických materiálů).
Neformálně je případ bodového náboje v libovolném statickém elektrickém poli jednoduchým důsledkem Gaussova zákona. Aby byla částice ve stabilní rovnováze, malé perturbace („tlačí“) na částici v jakémkoli směru by neměly rovnováhu narušit; částice by měla „spadnout“ zpět do své předchozí polohy. To znamená, že siločáry silového pole kolem rovnovážné pozice částice by měly všechny směřovat dovnitř, směrem k této pozici. Jestliže všechny okolní siločáry pole směřují k rovnovážnému bodu, pak musí být divergence pole v tomto bodě záporná (tj. tento bod působí jako propad). Nicméně, Gaussův zákon říká, že divergence jakéhokoli možného elektrického silového pole je ve volném prostoru nulová. V matematické notaci, elektrická síla F(r) odvozená z potenciálního U(r) bude vždy divergencní (vyhovuje Laplaceově rovnici):
Proto neexistují žádná lokální minima nebo maxima potenciálu pole ve volném prostoru, pouze sedlové body. Stabilní rovnováha částice nemůže existovat.
Abychom byli zcela důslední, existuje možnost, že částice opustí stabilní bod v jednom směru, ale vrátí se do stabilního bodu z jiného směru. Tuto možnost lze řešit pomocí argumentů zachování energie. Existence stabilního bodu také striktně vzato nevyžaduje, aby všechny sousední silové vektory směřovaly přesně ke stabilnímu bodu; silové vektory by se například mohly spirálovitě přibližovat ke stabilnímu bodu. Jedna metoda, jak se s tím vypořádat, se odvolává na skutečnost, že kromě divergence je také nulové zakřivení jakéhokoli elektrického silového pole ve volném prostoru (všimněte si, že nulové zakřivení je víceméně ekvivalentní zachování energie).
Tato věta také říká, že neexistuje žádná možná statická konfigurace feromagnetů, které by mohly stabilně levitovat objekt proti gravitaci, i když magnetické síly jsou silnější než gravitační síly.
Earnshawova věta byla dokonce prokázána pro obecný případ prodloužených těles, a to i v případě, že jsou flexibilní a vodivé, za předpokladu, že nejsou diamagnetické.
Existuje však několik výjimek z předpokladů pravidla, které umožňují magnetickou levitaci.
Earnshawova věta, kromě toho, že konfigurace klasických nabitých částic obíhajících kolem sebe jsou také nestabilní kvůli elektromagnetickému záření, znamená, že i dynamické systémy nábojů jsou nestabilní, dlouhodobě. To, po poměrně dlouhou dobu vedlo k záhadné otázce, proč hmota zůstává pohromadě, protože bylo nalezeno mnoho důkazů, že hmota držela pohromadě elektromagneticky.
Tyto otázky nakonec ukázaly cestu ke kvantově mechanickému vysvětlení struktury atomu.
Doklady pro magnetické dipóly
Zatímco obecnější důkaz může být možný, zvažují se zde tři konkrétní případy. Prvním případem je magnetický dipól konstantní velikosti, který má rychlou (pevnou) orientaci. Druhým a třetím případem jsou magnetické dipóly, u nichž se orientace mění tak, aby zůstala zarovnána buď rovnoběžně, nebo antiparalelně k siločárám vnějšího magnetického pole. U paramagnetických a diamagnetických materiálů jsou dipóly zarovnány rovnoběžně, respektive antiparalelně k siločárám pole.
Zde posuzované důkazy jsou založeny na následujících zásadách.
Energie U magnetického dipólu s magnetickým dipólovým momentem M ve vnějším magnetickém poli B je dána
Dipól bude stabilně levitován pouze v bodech, kde má energie minimum. Energie může mít minimum pouze v bodech, kde je laplacián energie větší než nula. Tedy kde
A konečně, protože divergence i zakřivení magnetického pole jsou nulové (při absenci proudu nebo měnícího se elektrického pole), Laplaciány jednotlivých složek magnetického pole jsou nulové. Tedy,
To je prokázáno na samém konci tohoto článku, protože je to zásadní pro pochopení celkového důkazu.
Pro magnetický dipól pevné orientace (a konstantní velikosti) bude energie dána
kde , A jsou konstantní. V tomto případě Laplacian energie je vždy nula,
dipól tedy nemůže mít ani energetické minimum, ani energetické maximum. To znamená, že neexistuje žádný bod ve volném prostoru, kde by byl dipól buď stabilní ve všech směrech, nebo nestabilní ve všech směrech.
Magnetické dipóly uspořádané paralelně nebo antiparalelně s vnějším polem s velikostí dipólu úměrnou vnějšímu poli budou odpovídat paramagnetickým a diamagnetickým materiálům. V těchto případech bude energie dána
kde k je konstanta větší než nula pro paramagnetické materiály a menší než nula pro diamagnetické materiály.
V tomto případě bude prokázáno, že
což v kombinaci s konstantou k ukazuje, že paramagnetické materiály mohou mít energetická maxima, ale ne energetická minima a diamagnetické materiály mohou mít energetická minima, ale ne energetická maxima. To znamená, že paramagnetické materiály mohou být nestabilní ve všech směrech, ale ne stabilní ve všech směrech a diamagnetické materiály mohou být stabilní ve všech směrech, ale ne nestabilní ve všech směrech. Samozřejmě, oba materiály mohou mít sedlové body.
Nakonec magnetický dipól feromagnetického materiálu (permanentního magnetu), který je zarovnán paralelně nebo antiparalelně s magnetickým polem, bude dán
takže energie bude dána
ale to je jen druhá odmocnina energie pro paramagnetický a diamagnetický případ diskutované výše a, protože druhá odmocnina funkce je monotónně rostoucí, jakékoliv minimum nebo maximum v paramagnetickém a diamagnetickém případě bude minimum nebo maximum i zde.
Je však třeba poznamenat, že nejsou známy žádné konfigurace permanentních magnetů, které by stabilně levitovaly, takže mohou existovat i jiné důvody, o kterých se zde nehovoří, proč není možné udržovat permanentní magnety v orientacích antiparalelních s magnetickými poli (alespoň ne bez rotace – viz Levitron).
Earnshawova věta byla původně formulována pro elektrostatiku (bodové náboje), aby ukázala, že neexistuje stabilní konfigurace kolekce bodových nábojů. Doklady zde prezentované pro jednotlivé dipóly by měly být zobecnitelné pro kolekce magnetických dipólů, protože jsou formulovány z hlediska energie, která je aditivní. Důsledné zpracování tohoto tématu je však v současné době mimo rozsah tohoto článku.
Magnetický dipól s pevnou orientací
Bude prokázáno, že na všech místech ve volném prostoru
Energie U magnetického dipólu M ve vnějším magnetickém poli B je dána
Rozšíření a přeskupení pojmů (a s tím, že dipól M je konstantní) máme
ale Laplaciáni jednotlivých složek magnetického pole jsou nulové ve volném prostoru (nepočítám elektromagnetické záření) tak
který doplní důkaz.
Magnetický dipól zarovnaný s vnějšími siločárami pole
Jako první se posuzuje případ paramagnetického nebo diamagnetického dipólu. Energie je dána
rozšíření a přeskupení pojmů,
ale protože Laplacián každé jednotlivé složky magnetického pole je nula,
a protože na náměstí o velikosti je vždy pozitivní,
Jak bylo uvedeno výše, to znamená, že Laplacián energie paramagnetického materiálu nemůže být nikdy kladný (žádná stabilní levitace) a Laplacián energie diamagnetického materiálu nemůže být nikdy záporný (žádná nestabilita ve všech směrech).
Dále, protože energie pro dipól pevného magnituda zarovnaný s vnějším polem bude druhá odmocnina výše uvedené energie, platí stejná analýza.
Laplacián jednotlivých složek magnetického pole
Je zde dokázáno, že Laplacián každé jednotlivé složky magnetického pole je nulový. To ukazuje potřebu vyvolat vlastnosti magnetických polí, že divergence magnetického pole je vždy nulová a ohyb magnetického pole je nulový ve volném prostoru. (To znamená v nepřítomnosti proudu nebo měnícího se elektrického pole.) Viz Maxwellovy rovnice pro podrobnější diskusi o těchto vlastnostech magnetických polí.
Vezměme si Laplaciánství x složky magnetického pole
Protože kroucení B je nula,
Ale protože je spojitá, pořadí diferenciace nevadí dávat
Rozdílnost B je konstantní (nula, ve skutečnosti), takže
Laplacián y složky magnetického pole a Laplacián z složky magnetického pole lze vypočítat analogicky.