Matematická sociologie je využití matematiky ke konstrukci sociálních teorií a je obor, který se překrývá s matematickou psychologií. Matematická sociologie si klade za cíl vzít sociologickou teorii, která je silná v intuitivním obsahu, ale slabá z formálního hlediska, a vyjádřit ji formálními termíny. Výhody tohoto přístupu zahrnují větší srozumitelnost a schopnost využít matematiku k odvození důsledků teorie, ke kterým nelze dospět intuitivně. V matematické sociologii je preferovaný styl zapouzdřen do fráze „konstrukce matematického modelu“. To znamená vytvořit specifikované předpoklady o nějakém sociálním jevu, vyjádřit je ve formální matematice a poskytnout empirickou interpretaci myšlenek. Znamená to také odvodit vlastnosti modelu a porovnat je s relevantními empirickými daty. Analýza sociálních sítí je nejznámějším příspěvkem tohoto podoboru k sociologii jako celku a vědecké obci obecně. Modely, které se obvykle používají v matematické sociologii, umožňují sociologům pochopit, jak předvídatelné lokální interakce jsou často schopny vyvolat globální vzorce sociální struktury.
Navíc známost je pozitivní vazba, ale co negativní vazby, jako je nevraživost mezi osobami? Pro řešení tohoto problému lze teorii grafů, což je matematické studium abstraktních reprezentací sítí bodů a čar, rozšířit o tyto dva typy vazeb a tím vytvořit modely, které reprezentují jak pozitivní, tak negativní sentimentální vztahy, které jsou reprezentovány jako podepsané grafy. Podepsaný graf se nazývá vyvážený, pokud je součin znaků všech vztahů v každém cyklu (odkazy v každém cyklu grafu) pozitivní. Toto úsilí vedlo k Hararyho Strukturní větě (1953), která říká, že pokud je síť vzájemně propojených pozitivních a negativních vazeb vyvážená, např. jak ilustruje psychologický princip, že „nepřítel mého přítele je můj nepřítel“, pak se skládá ze dvou podsítí tak, že každá má pozitivní vazby mezi svými uzly a mezi uzly v odlišných podsítích jsou pouze negativní vazby. Obraz zde zachycuje sociální systém, který se rozděluje na dvě kliky. Existuje však zvláštní případ, kdy je jedna ze dvou podsítí prázdná, což se může vyskytnout ve velmi malých sítích.
V jiném modelu mají vazby relativní silné stránky. ‚Znalost‘ může být považována za ‚slabou‘ kravatu a ‚přátelství‘ je reprezentováno jako pevná kravata. Stejně jako její uniformní bratranec diskutovaný výše, existuje koncept uzavření, nazývaný silný triadický uzávěr. Graf splňuje silný triadický uzávěr Je-li A silně spojeno s B a B je silně spojeno s C, pak A a C musí mít kravatu (buď slabou nebo silnou).
V těchto dvou vývojových směrech máme matematické modely ovlivňující analýzu struktury. Jiné rané vlivné vývojové směry v matematické sociologii se týkaly procesu. Například v roce 1952 Herbert Simon vytvořil matematickou formalizaci publikované teorie sociálních skupin konstrukcí modelu sestávajícího z deterministického systému diferenciálních rovnic. Formální studium systému vedlo k větám o dynamice a předpokládaných rovnovážných stavech jakékoli skupiny.
Simonův model vyvolává otázku: jak lze takové teoretické modely spojit s daty sociologie, která mají často podobu průzkumů, v nichž se výsledky vyjadřují formou proporcí lidí, kteří něčemu věří nebo něco dělají. To naznačuje odvození rovnic z předpokladů o šancích, že se jednotlivec změní v malém časovém intervalu, což je postup dobře známý v matematice stochastických procesů.
Coleman ztělesnil tuto myšlenku ve své knize z roku 1964 Úvod do matematické sociologie, která ukázala, jak by mohly být stochastické procesy v sociálních sítích analyzovány tak, aby bylo možné testovat konstruovaný model porovnáním s relevantními daty. Coleman navíc použil matematické myšlenky čerpané z ekonomie, jako je obecná teorie rovnováhy, aby argumentoval, že obecná sociální teorie by měla začínat konceptem účelového jednání a z analytických důvodů přibližovat takové jednání použitím modelů racionální volby (Coleman, 1990). Tento argument poskytl podnět pro vznik značného úsilí o propojení racionálního myšlení volby s tradičnějšími sociologickými záležitostmi zahrnujícími sociální struktury.
Mezitím strukturální analýza dříve uvedeného typu získala další rozšíření na sociální sítě založené na institucionalizovaných sociálních vztazích, zejména těch příbuzenských. Propojení matematiky a sociologie se zde týkalo abstraktní algebry, zejména teorie grup. To zase vedlo k zaměření na datově-analytickou verzi homomorfní redukce komplexní sociální sítě (která je spolu s mnoha dalšími technikami prezentována ve Wassermanovi a Faustovi 1994).
Některé výzkumné programy v sociologii využívají experimentální metody ke studiu procesů sociální interakce. Joseph Berger a jeho kolegové iniciovali takový program, ve kterém je ústřední myšlenkou využití teoretického konceptu „stav očekávání“ ke konstrukci teoretických modelů k vysvětlení mezilidských procesů, např. těch, které spojují vnější status ve společnosti s diferenciálním vlivem v místním skupinovém rozhodování. Velká část této teoretické práce je spojena s budováním matematických modelů (Berger 2000).
Generace matematických sociologů, kteří následovali Rapoporta, Simona, Hararyho, Colemana, Whitea a Bergera, včetně těch, kteří vstoupili do oboru v šedesátých letech, jako byli mimo jiné Thomas Fararo, Philip Bonacich a Tom Mayer, čerpaly z jejich práce různými způsoby.
Učebnice matematické sociologie pokrývají celou řadu modelů, obvykle vysvětlují požadované matematické pozadí, než diskutují o důležitých pracích v literatuře (Fararo 1973, Leik a Meeker 1975). Časopis matematické sociologie (zahájený v roce 1971) byl otevřen pro práce pokrývající široké spektrum témat využívajících různé druhy matematiky, zejména prostřednictvím častých speciálních otázek. Články v sociálních sítích, časopise věnovaném sociální strukturální analýze, velmi často používají matematické modely a související analýzy strukturálních dat. Kromě toho, a to je důležité jako ukazatel pronikání matematického modelu stavějícího do sociologického výzkumu, hlavní obsáhlé časopisy v sociologii, zejména The American Journal of Sociology a The American Sociological Review, pravidelně publikují články obsahující matematické formulace.