Vykreslení dvou kritérií při maximalizaci výnosu a minimalizaci rizika ve finančních portfoliích (Pareto-optimální body červeně)
Rozhodování na základě více kritérií nebo analýza rozhodování na základě více kritérií je dílčí disciplínou provozního výzkumu, který výslovně zvažuje více kritérií v rozhodovacím prostředí. Ať už v našem každodenním životě nebo v profesionálním prostředí, obvykle existuje více protichůdných kritérií, která je třeba při rozhodování vyhodnotit. Náklady nebo cena jsou obvykle jedním z hlavních kritérií. Určité měřítko kvality je obvykle dalším kritériem, které je v konfliktu s náklady. Při nákupu auta mohou být jedním z hlavních kritérií, která zvažujeme, náklady, komfort, bezpečnost a úspora paliva. Je neobvyklé mít nejlevnější auto, které je nejpohodlnější a nejbezpečnější. Při správě portfolia máme zájem na dosažení vysokých výnosů, ale zároveň na snížení našich rizik. Opět platí, že akcie, které mají potenciál přinášet vysoké výnosy, s sebou obvykle nesou také vysoká rizika ztráty peněz. V odvětví služeb jsou spokojenost zákazníků a náklady na poskytování služeb dvě protichůdná kritéria, která by bylo vhodné zvážit.
V našem každodenním životě obvykle zvažujeme více kritérií implicitně a můžeme být spokojeni s důsledky takových rozhodnutí, která jsou učiněna pouze na základě intuice. Na druhou stranu, když je v sázce hodně, je důležité správně strukturovat problém a explicitně vyhodnotit více kritérií. Při rozhodování o tom, zda postavit jadernou elektrárnu nebo ne a kde ji postavit, existují nejen velmi složité otázky zahrnující více kritérií, ale existuje také více stran, které jsou hluboce zasaženy důsledky.
Dobře strukturovat složité problémy a zvažovat více kritérií výslovně vede k informovanějším a lepším rozhodnutím. V této oblasti došlo k významnému pokroku od počátku moderní disciplíny rozhodování o více kritériích na počátku šedesátých let. Byla vyvinuta celá řada přístupů a metod, z nichž mnohé byly implementovány specializovaným softwarem pro rozhodování.
Základy, pojmy, definice
MCDM se zabývá strukturováním a řešením rozhodovacích a plánovacích problémů zahrnujících více kritérií. Účelem je podpořit osoby s rozhodovací pravomocí, které se potýkají s takovými problémy. Typicky pro takové problémy neexistuje jedinečné optimální řešení a je nutné použít preference osob s rozhodovací pravomocí k rozlišení mezi řešeními.
„Řešení“ lze interpretovat různými způsoby. Mohlo by to odpovídat výběru „nejlepší“ alternativy ze souboru dostupných alternativ (kde „nejlepší“ lze interpretovat jako „nejvíce preferovanou alternativu“ osoby s rozhodovací pravomocí). Jinou interpretací „řešení“ by mohl být výběr malého souboru dobrých alternativ nebo seskupování alternativ do různých souborů preferencí. Extrémní interpretací by mohlo být nalezení všech „efektivních“ nebo „neovládaných“ alternativ (které definujeme v nejbližší době).
Obtížnost problému pramení z přítomnosti více než jednoho kritéria. Neexistuje již jedinečné optimální řešení MCDM problému, které by bylo možné získat bez zahrnutí informací o preferencích. Koncept optimálního řešení je často nahrazen souborem nedominovaných řešení. Nedominované řešení má tu vlastnost, že není možné přejít od něj k jinému řešení, aniž by bylo obětováno alespoň jedno kritérium. Proto má smysl, aby ten, kdo rozhoduje, zvolil řešení z nedominované množiny. Jinak by si mohl vést lépe, pokud jde o některá nebo všechna kritéria, a nevedl by si hůře v žádném z nich. Obecně však platí, že soubor nedominovaných řešení je příliš velký na to, aby mohl být předložen tomu, kdo rozhoduje o jeho konečné volbě. Proto potřebujeme nástroje, které pomohou tomu, kdo rozhoduje, soustředit se na jím preferovaná řešení (nebo alternativy). Normálně je třeba „vykompenzovat“ určitá kritéria za jiná.
MCDM je aktivní oblastí výzkumu od 70. let 20. století. Existuje několik organizací spojených s MCDM, včetně
International Society on Multi-criteria Decision Making, Euro Working Group on MCDA a INFORMS Section on MCDM. Historie viz: Köksalan, Wallenius and Zionts (2011). Viz také Stručná historie připravená Steuer and Zionts.
MCDM čerpá ze znalostí v mnoha oblastech včetně:
Existují různé klasifikace problémů a metod MCDM. Hlavní rozdíl mezi problémy MCDM je založen na tom, zda jsou řešení explicitně nebo implicitně definována.
Ať už se jedná o problém vyhodnocení nebo o problém návrhu, informace o preferencích DM jsou vyžadovány pro rozlišení mezi řešeními. Metody řešení problémů MCDM jsou běžně klasifikovány na základě načasování informací o preferencích získaných z DM.
Existují metody, které na začátku procesu vyžadují informace o preferencích DM, a problém tak transformují v podstatě na problém jediného kritéria. Tyto metody prý fungují na základě „předchozí artikulace preferencí“. Metody založené na odhadu hodnotové funkce nebo na využití konceptu „nadřazených vztahů“, analytického hierarchického procesu a některých metod založených na pravidlech rozhodování se snaží řešit problémy s vyhodnocováním více kritérií s využitím předchozí artikulace preferencí. Podobně existují metody vyvinuté k řešení problémů s navrhováním více kritérií s využitím předchozí artikulace preferencí konstrukcí hodnotové funkce. Zřejmě nejznámější z těchto metod je programování cíle. Jakmile je hodnotová funkce zkonstruována, výsledný jediný objektivní matematický program je vyřešen s cílem získat preferované řešení.
Některé metody vyžadují informace o preferencích od DM během celého procesu řešení. Ty jsou označovány jako interaktivní metody nebo metody, které vyžadují „progresivní artikulaci preferencí“. Tyto metody byly dobře vyvinuty jak pro hodnocení více kritérií (viz např. Geoffrion, Dyer a Feinberg, 1972, a Köksalan a Sagala, 1995), tak pro návrhové problémy (viz Steuer, 1986).
Návrhové problémy s více kritérii obvykle vyžadují řešení řady matematických programovacích modelů, aby se odhalila implicitně definovaná řešení. U těchto problémů může být také zajímavé znázornění nebo přiblížení „efektivních řešení“. Tato kategorie je označována jako „zadní artikulace preferencí“, což znamená, že zapojení DM začíná až po explicitním odhalení „zajímavých“ řešení (viz například Karasakal a Köksalan, 2009).
Když matematické programovací modely obsahují celočíselné proměnné, problémy návrhu se stávají obtížněji řešitelnými. Multiobjektivní kombinatorická optimalizace (MOCO) představuje zvláštní kategorii takových problémů, které představují podstatnou výpočetní obtížnost (viz Ehrgott a Gandibleux, 2002, pro recenzi).
Vyjádření a definice
Problém MCDM může být reprezentován v prostoru kritérií nebo v prostoru rozhodnutí. Alternativně, pokud jsou různá kritéria kombinována váženou lineární funkcí, je také možné reprezentovat problém v prostoru váhy. Níže jsou ukázky prostoru kritérií a váhy a také některé formální definice.
Kritérium reprezentace vesmíru
Předpokládejme, že hodnotíme řešení v konkrétní problémové situaci pomocí několika kritérií. Dále předpokládejme, že více je v každém kritériu lepší. Pak nás ze všech možných řešení ideálně zajímají ta řešení, která mají dobré výsledky ve všech zvažovaných kritériích. Je však nepravděpodobné, že by existovalo jediné řešení, které by mělo dobré výsledky ve všech zvažovaných kritériích. Obvykle některá řešení mají dobré výsledky v některých kritériích a některá v jiných. Nalezení způsobu obchodování mezi kritérii je jedním z hlavních snah v literatuře MCDM.
Matematicky lze problém MCDM odpovídající výše uvedeným argumentům reprezentovat jako
kde q je vektor funkcí kritéria k (objektivní funkce) a Q je proveditelná množina, Q ⊆ Rk.
Pokud je Q definováno explicitně (množinou alternativ), výsledný problém se nazývá problém vyhodnocení více kritérií.
Pokud je Q definováno implicitně (množinou omezení), výsledný problém se nazývá problém Multiple Criteria Design.
Uvozovky se používají k označení toho, že maximalizace vektoru není dobře definovanou matematickou operací. To odpovídá argumentu, že budeme muset najít způsob, jak vyřešit kompromis mezi kritérii (typicky založenými na preferencích toho, kdo rozhoduje), když neexistuje řešení, které by dobře fungovalo ve všech kritériích.
Reprezentace rozhodovacího prostoru
Prostor pro rozhodování odpovídá souboru možných rozhodnutí, která máme k dispozici. Hodnoty kritérií budou důsledky rozhodnutí, která učiníme. Proto můžeme definovat odpovídající problém v prostoru pro rozhodování. Například při navrhování produktu rozhodujeme o parametrech návrhu (proměnné rozhodnutí), z nichž každý má vliv na výkonnostní měřítka (kritéria), kterými hodnotíme náš produkt.
Matematicky může být problém návrhu více kritérií v rozhodovacím prostoru znázorněn následovně:
kde X je proveditelná množina a x je vektor rozhodovací proměnné velikosti n.
Dobře vyvinutý speciální případ je získán, když X je mnohostěn definovaný lineárními nerovnostmi a rovnicemi. Pokud jsou všechny objektivní funkce lineární z hlediska proměnných rozhodnutí, vede tato variace k vícenásobnému objektivnímu lineárnímu programování (MOLP), což je důležitá podtřída MCDM problémů.
Existuje několik definic, které jsou v MCDM stěžejní. Dvě úzce související definice jsou definice nondominance (definované na základě kritéria prostorové reprezentace) a efektivity (definované na základě reprezentace rozhodovací proměnné).
Definice 1. q* ∈ Q je nedominované, pokud neexistuje jiné q ∈ Q takové, že q ≥ q* a q ≠ q*.
Zhruba řečeno, řešení je nedominované, pokud není ve všech zvažovaných kritériích podřadné vůči jakémukoli jinému dostupnému řešení.
Definice 2. x* ∈ X je efektivní, pokud neexistuje jiné x ∈ X takové, že f(x) ≥ f(x*) a f(x) ≠ f(x*).
Pokud MCDM problém dobře reprezentuje rozhodovací situaci, pak nejvíce preferovaným řešením DM musí být efektivní řešení v rozhodovacím prostoru a jeho obraz je nedominovaným bodem v prostoru kritérií. Následující definice jsou také důležité.
Definice 3. q* ∈ Q je slabě nedominované, pokud neexistuje jiné q ∈ Q takové, že q > q*.
Definice 4. x* ∈ X je slabě efektivní, pokud neexistuje jiné x ∈ X takové, že f(x) > f(x*).
Slabě nedominované body zahrnují všechny nedominované body a některé speciálně dominované body. Význam těchto speciálně dominovaných bodů vychází ze skutečnosti, že se běžně objevují v praxi a je nutná zvláštní péče k jejich odlišení od nedominovaných bodů. Pokud například maximalizujeme jeden cíl, můžeme skončit se slabě nedominovaným bodem, který je ovládán. Dominantní body slabě nedominované množiny jsou umístěny buď na svislých nebo vodorovných rovinách (hyperplanes) v prostoru kritérií.
Ideální bod: (v prostoru kritérií) představuje nejlepší (maximum pro maximalizační problémy a minimum pro minimalizační problémy) z každé objektivní funkce a typicky odpovídá nečitelnému řešení.
Nadirský bod: (v prostoru kritérií) představuje nejhorší (minimum pro maximalizační problémy a maximum pro minimalizační problémy) z každé objektivní funkce mezi body v neovládané množině a je typicky dominantním bodem.
Ideální bod a bod nadir jsou užitečné pro DM získat „pocit“ z řady řešení (i když to není jednoduché najít bod nadir pro konstrukční problémy s více než dvěma kritérii).
Ilustrace mezer pro rozhodnutí a kritéria
Následující problém dvou proměnných MOLP v prostoru rozhodovací proměnné pomůže názorně demonstrovat některé klíčové pojmy.
Obrázek 1. Ukázka prostoru pro rozhodování
Na obrázku 1 krajní body „e“ a „b“ maximalizují první, respektive druhý cíl. Červená hranice mezi těmito dvěma krajními body představuje efektivní množinu. Z obrázku je patrné, že u jakéhokoli proveditelného řešení mimo efektivní množinu je možné zlepšit oba cíle o některé body na efektivní množině. Naopak u jakéhokoli bodu na efektivní množině není možné zlepšit oba cíle přechodem k jinému proveditelnému řešení. U těchto řešení je třeba obětovat jeden z cílů, aby se zlepšil druhý cíl.
Vzhledem k jeho jednoduchosti může být výše uvedený problém reprezentován v prostoru kritéria nahrazením x ‚s s f ‚s takto:
Obrázek 2. Ukázka řešení v prostoru kritérií
Prostor kritérií znázorňujeme graficky na obrázku 2. Snazší je detekce nedominovaných bodů (odpovídajících efektivním řešením v prostoru rozhodnutí) v prostoru kritérií. Severovýchodní oblast proveditelného prostoru představuje množinu nedominovaných bodů (pro maximalizační problémy).
Vytváření nedominovaných řešení
Existuje několik způsobů, jak generovat nedominovaná řešení. Budeme diskutovat o dvou z nich. První přístup může generovat speciální třídu nedominovaných řešení, zatímco druhý přístup může generovat jakékoli nedominované řešení.
Pokud spojíme více kritérií do jednoho kritéria tak, že každé kritérium vynásobíme kladnou váhou a sečteme vážená kritéria, pak řešení výsledného problému s jedním kritériem je speciálním efektivním řešením. Tato speciální efektivní řešení se objevují v rohových bodech množiny dostupných řešení. Efektivní řešení, která nejsou v rohových bodech, mají speciální charakteristiky a tato metoda není schopna takové body najít. Matematicky můžeme tuto situaci znázornit jako
Díky různým vahám mohou být vážené součty použity pro generování efektivních extrémních bodových řešení pro návrhové problémy a podporované (konvexní nedominované) body pro vyhodnocovací problémy.
Obrázek 3. Projekce bodů na nedominovanou sadu s funkcí Achievement Scalarizing
Skalarizační funkce Achievement také kombinují více kritérií do jediného kritéria tím, že je váží velmi speciálním způsobem. Vytvářejí obdélníkové kontury jdoucí od referenčního bodu směrem k dostupným efektivním řešením. Tato speciální struktura umožňuje skalarizačním funkcím achievement dosáhnout jakéhokoli efektivního řešení. To je mocná vlastnost, díky které jsou tyto funkce velmi užitečné pro MCDM problémy.
Matematicky můžeme odpovídající problém reprezentovat jako
Funkci scalarizace dosažení lze použít k promítnutí libovolného bodu (proveditelného nebo nečitelného) na efektivní hranici. Jakéhokoli bodu (podporovaného nebo nepodporovaného) lze dosáhnout. Druhý člen v objektivní funkci je nutný, aby nevznikla neefektivní řešení. Obrázek 3 ukazuje, jak se proveditelný bod g1 a nečitelný bod g2 promítají na nedominované body q1 a q2 ve směru w pomocí funkce scalarizace dosažení. Přerušované a pevné kontury odpovídají konturám objektivní funkce s druhým členem objektivní funkce a bez něj.
Pro řešení problémů MCDM se vyvinuly různé myšlenkové proudy (designového i evaluačního typu). Pro bibliometrickou studii ukazující jejich vývoj v čase viz Bragge, Korhonen, H. Wallenius a J. Wallenius [2010].
Vícenásobná objektivní matematická škola programování
(1) Vektorová maximalizace: Účelem vektorové maximalizace je přiblížit nedominovanou množinu; původně vyvinuto pro problémy vícenásobného objektivního lineárního programování (Evans a Steuer, 1973; Yu a Zeleny, 1975).
(2) Interaktivní programování: fáze výpočtu se střídají s fázemi rozhodování (Benayoun et al., 1971; Geoffrion, Dyer and Feinberg, 1972; Zionts and Wallenius, 1976; Korhonen and Wallenius, 1988). Nepředpokládá se žádná výslovná znalost hodnotové funkce DM.
Účelem je stanovit apriorní cílové hodnoty pro cíle a minimalizovat vážené odchylky od těchto cílů. Byly použity jak váhy důležitosti, tak i lexikografické preventivní váhy (Charnes a Cooper, 1961).
Fuzzy množiny byly zavedeny Zadehem (1965) jako rozšíření klasického pojmu množin. Tato myšlenka se používá v mnoha algoritmech MCDM k modelování a řešení fuzzy problémů.
Teoretici multiatributových utilit
Multiatributové utility nebo hodnotové funkce jsou vyvolány a použity k identifikaci nejvíce preferované alternativy nebo k seřazení alternativ. Jsou použity propracované interview techniky, které existují pro vyvolání lineárních aditivních utilitních funkcí a multiplikačních nelineárních utilitních funkcí (Keeney a Raiffa, 1976).
Francouzská škola se zaměřuje na pomoc při rozhodování, zejména na rodinu outrankingových metod ELECTRE, které vznikly ve Francii v polovině 60. let. Metodu poprvé navrhl Bernard Roy (Roy, 1968).
Evoluční multiobjektivní optimalizační škola (EMO)
Algoritmy EMO začínají s počáteční populací a aktualizují ji pomocí procesů navržených tak, aby napodobovaly principy přirozeného přežití nejsilnějších jedinců a operátory genetické variace, aby zlepšily průměrnou populaci z jedné generace na druhou. Cílem je konvergovat k populaci řešení, která představují neovládanou množinu (Schaffer, 1984; Srinivas a Deb, 1994). V poslední době se objevují snahy začlenit informace o preferencích do procesu řešení algoritmů EMO (viz Deb a Köksalan, 2010).
Proces analytické hierarchie (AHP)
AHP nejprve rozkládá rozhodovací problém do hierarchie dílčích problémů. Poté rozhodující osoba hodnotí relativní význam svých různých prvků pomocí párových srovnání. AHP tato hodnocení převádí na číselné hodnoty (váhy nebo priority), které se používají pro výpočet skóre pro každou alternativu (Saaty, 1980). Index konzistence měří, do jaké míry byla rozhodující osoba konzistentní ve svých odpovědích.
K dispozici jsou následující metody MCDM, z nichž mnohé jsou implementovány specializovaným rozhodovacím softwarem: