Dynamické systémy

Dynamický systém je v matematice pojem, kdy pevné pravidlo popisuje časovou závislost bodu v geometrickém prostoru. Příkladem dynamických systémů jsou matematické modely používané k popisu houpání hodinového kyvadla, průtoku vody v potrubí nebo počtu ryb každého pramene v jezeře.

Dynamický systém má stav určený množinou reálných čísel. Malé změny ve stavu systému odpovídají malým změnám v číslech. Čísla jsou také souřadnicemi geometrického prostoru – mnohočetnosti. Evoluční pravidlo dynamického systému je pevné pravidlo, které popisuje, jaké budoucí stavy vyplývají ze současného stavu. Pravidlo je deterministické: pro daný časový interval vyplývá ze současného stavu pouze jeden budoucí stav.

Pojem dynamického systému má svůj původ v newtonovské mechanice. Tam, stejně jako v jiných přírodních vědách a technických oborech, je evoluční pravidlo dynamických systémů dáno implicitně vztahem, který dává stav systému jen krátkou dobu do budoucnosti. (Vztah je buď diferenciální rovnice nebo diferenciální rovnice.) Určení stavu pro všechny budoucí časy vyžaduje opakované opakování vztahu mnohokrát – každý postupující čas je malým krokem. iterační procedura se označuje jako řešení systému nebo integrace systému. Jakmile může být systém vyřešen, vzhledem k počátečnímu bodu je možné určit všechny jeho budoucí body, kolekci známou jako trajektorie nebo oběžná dráha.

Před nástupem rychlých výpočetních strojů vyžadovalo řešení dynamického systému sofistikované matematické techniky a mohlo být provedeno pouze pro malou třídu dynamických systémů. Numerické metody prováděné na počítačích zjednodušily úkol určení oběžných drah dynamického systému.

U jednoduchých dynamických systémů je znalost trajektorie často dostatečná, ale většina dynamických systémů je příliš složitá na to, aby byla pochopena z hlediska jednotlivých trajektorií. Potíže vznikají, protože:

Bylo to v práci Poincaré, že tyto dynamické systémy témata rozvíjet.

Dynamický systém je složené M nazývané fázový (nebo stavový) prostor a hladká evoluční funkce f t, že pro jakýkoli prvek t ∈ T, čas, mapuje bod fázového prostoru zpět do fázového prostoru. Pojem hladkosti se mění s aplikacemi a typem složeného prostoru. Pro množinu T existuje několik možností. Když T je bráno jako reals, dynamický systém se nazývá flow; a pokud T je omezeno na nezáporné reals, pak dynamický systém je semi-flow. Když T je bráno jako celá čísla, je to kaskáda nebo mapa; a omezení na nezáporná celá čísla je semi-kaskáda.

Evoluční funkce f t je často řešením diferenciální rovnice pohybu

Rovnice udává časovou derivaci, reprezentovanou tečkou, trajektorie x(t) ve fázovém prostoru začínající v nějakém bodě x0. Vektorové pole v(x) je hladká funkce, která v každém bodě fázového prostoru M udává vektor rychlosti dynamického systému v tomto bodě. (Tyto vektory nejsou vektory ve fázovém prostoru M, ale v tečnovém prostoru TMx bodu x.)

V rovnici nejsou potřeba derivace vyššího řádu, ani časová závislost v(x), protože ty lze eliminovat zohledněním systémů vyšších rozměrů. Například systém

Jiné typy diferenciálních rovnic mohou být použity k definování evolučního pravidla:

je příkladem rovnice, která vychází z modelování mechanických systémů s komplikovanými omezeními.

Diferenciální rovnice určující evoluční funkci f t jsou často obyčejné diferenciální rovnice: v tomto případě je fázový prostor M konečnou dimenzionální varietou. Mnoho pojmů v dynamických systémech lze rozšířit na nekonečně dimenzionální variety – ty, které jsou lokálně Banachovy prostory – v tomto případě jsou diferenciální rovnice parciálními diferenciálními rovnicemi. Koncem 20. století začala získávat na popularitě perspektiva dynamického systému parciálních diferenciálních rovnic.

Lineární dynamické systémy mohou být řešeny z hlediska jednoduchých funkcí a chování všech oběžných drah. V lineární soustavě je fázovým prostorem ν-dimenzionální euklidovský prostor, takže jakýkoliv bod ve fázovém prostoru může být reprezentován vektorem s ν čísly. Analýza lineárních systémů je možná, protože splňují princip superpozice: pokud u(t) a w(t) splňují diferenciální rovnici pro vektorové pole (ale ne nutně počáteční podmínku), pak to bude i u(t) + w(t).

Pro průtok je vektorové pole v(x) lineární funkcí pozice ve fázovém prostoru, tedy,

s A a matice, b a vektor čísel a x polohový vektor. Řešení tohoto systému lze nalézt použitím principu superpozice (linearita).
Případ b ≠ 0 s A = 0 je jen přímka ve směru b:

Když b je nula a A ≠ 0 je počátek rovnovážný (nebo singulární) bod toku, to znamená, že pokud x0 = 0, pak tam oběžná dráha zůstává.
Pro ostatní počáteční podmínky je rovnice pohybu dána exponenciální rovnicí matice: pro počáteční bod x0,

Doporučujeme:  Intraspecific

Když b = 0, vlastní čísla A určují strukturu fázového prostoru. Z vlastních čísel a vlastních čísel A je možné určit, zda se počáteční bod bude sbíhat nebo odchylovat k rovnovážnému bodu na počátku.

Vzdálenost mezi dvěma různými počátečními podmínkami v případě A ≠ 0 se bude ve většině případů exponenciálně měnit, buď se exponenciálně rychle konverguje k určitému bodu, nebo se exponenciálně rychle odchyluje. Lineární systémy vykazují citlivou závislost na počátečních podmínkách v případě divergence. Pro nelineární systémy je to jedna z (nezbytných, ale ne dostačujících) podmínek pro chaotické chování.

Lineární vektorová pole a několik trajektorií.

Diskrétně-časový, lineární dynamický systém má formu

s A a maticí a b a vektorem. Změna souřadnic x → x + (1 – A) –1b odstraní z rovnice výraz b. V nové souřadnicové soustavě je počátek pevným bodem mapy a řešení mají tvar A nx0.
Řešení pro mapu již nejsou křivky, ale body, které hopsají ve fázovém prostoru. Oběžné dráhy jsou uspořádány do křivek neboli vláken, což jsou soubory bodů, které se do sebe mapují působením mapy.

Stejně jako v kontinuálním případě, vlastní čísla a vlastní čísla A určují strukturu fázového prostoru. Například pokud u1 je vlastní číslo A, s reálným vlastním číslem menším než jedna, pak přímky dané body podél α u1, s α ∈ R, jsou invariantní křivkou mapy. Body v této přímce vedou do pevného bodu.

Kvalitativní vlastnosti dynamických systémů se nemění při plynulé změně souřadnic (to je někdy bráno jako definice kvalitativní): singulární bod vektorového pole (bod, kde v(x) = 0) zůstane singulárním bodem při plynulých transformacích; periodická oběžná dráha je smyčka ve fázovém prostoru a plynulé deformace fázového prostoru nemohou změnit jeho existenci jako smyčky. Právě v sousedství singulárních bodů a periodických oběžných drah lze dobře pochopit strukturu fázového prostoru dynamického systému. V kvalitativním studiu dynamických systémů je přístup ukázat, že dochází ke změně souřadnic (obvykle nespecifikovaných, ale vyčíslitelných), které činí dynamický systém co nejjednodušším.

Proudění ve většině malých částí fázového prostoru může být velmi jednoduché. Jestliže y je bod, kde vektorové pole v(y) ≠ 0, pak dochází ke změně souřadnic pro oblast kolem y, kde se vektorové pole stává sérií paralelních vektorů stejné velikosti. To je známé jako rektifikační věta.

Rektifikační věta říká, že mimo singulární body je dynamika bodu v malém záplatovém místě přímka. Záplata může být někdy zvětšena sešitím několika záplat dohromady, a když to funguje v celém fázovém prostoru M, je dynamický systém integrální. Ve většině případů nelze záplatu rozšířit do celého fázového prostoru. Ve vektorovém poli mohou být singulární body (kde v = 0); nebo se záplaty mohou zmenšovat a zmenšovat, jak se k nějakému bodu přibližuje. Jemnějším důvodem je globální omezení, kdy trajektorie začíná v záplatě a po návštěvě řady dalších záplat se vrací k té původní. Pokud se příště oběžná dráha otočí kolem fázového prostoru jiným způsobem, pak není možné opravit vektorové pole v celé řadě záplat.

Obecně platí, že v okolí periodické oběžné dráhy nelze použít rektifikační větu. Poincaré vyvinul přístup, který transformuje analýzu v blízkosti periodické oběžné dráhy na analýzu mapy. Vyberte bod x0 na oběžné dráze γ a zvažte body ve fázovém prostoru v tomto okolí, které jsou kolmé na v(x0). Tyto body jsou Poincarého sekce S(γ, x0) oběžné dráhy. Tok nyní definuje mapu, Poincarého mapu F : S → S, pro body začínající na S a vracející se na S.

Průnik periodické oběžné dráhy s Poincarého částí je pevným bodem Poincarého mapy F. Podle překladu lze předpokládat, že bod je v x = 0. Taylorova řada mapy je F(x) = J · x + O(x²), takže změna souřadnic h lze očekávat pouze zjednodušení F na její lineární část

Výsledky o existenci řešení konjugační rovnice závisí na vlastních číslech J a stupni hladkosti požadovaném od h. Protože J nepotřebuje mít žádné speciální symetrie, jeho vlastní čísla budou typicky komplexní čísla. Když vlastní čísla J nejsou v jednotkové kružnici, dynamika poblíž pevného bodu x0 F se nazývá hyperbolická a když jsou vlastní čísla na jednotkové kružnici a komplexní, dynamika se nazývá eliptická.

Doporučujeme:  Percepční styl

V hyperbolickém případě dává Hartmanova a Grobmanova věta podmínky pro existenci spojité funkce, která mapuje okolí pevného bodu mapy k lineární mapě J ·x. Hyperbolický případ je také strukturálně stabilní. Malé změny ve vektorovém poli způsobí pouze malé změny v Poincarého mapě a tyto malé změny se odrazí v malých změnách polohy vlastních čísel J v komplexní rovině, což znamená, že mapa je stále hyperbolická.

KAM věta udává chování v blízkosti eliptického bodu.

Pokud vývojová mapa f t (nebo vektorové pole, ze kterého je odvozena) závisí na parametru μ, struktura fázového prostoru bude záviset také na tomto parametru. Malé změny nemusí vyvolat žádné kvalitativní změny ve fázovém prostoru, dokud není dosaženo zvláštní hodnoty μ0. V tomto bodě se fázový prostor kvalitativně mění a dynamický systém prý prošel bifurkací.

Bifurkační teorie uvažuje strukturu ve fázovém prostoru (typicky pevný bod, periodická oběžná dráha nebo invariantní torus) a studuje její chování jako funkci parametru μ. V bifurkačním bodě může struktura změnit svou stabilitu, rozdělit se do nových struktur nebo splynout s jinými strukturami. Použitím Taylorovy řady aproximací map a pochopení rozdílů, které mohou být odstraněny změnou souřadnic, je možné katalogizovat bifurkace dynamických systémů.

Některé bifurkace mohou vést k velmi komplikovaným strukturám ve fázovém prostoru. Scénář Ruelle-Takens popisuje, jak se periodická oběžná dráha bifurkuje do toru a torus do podivného atraktoru. Feigenbaumovo zdvojení periody popisuje, jak stabilní periodická oběžná dráha prochází sérií zdvojení své periody.

V mnoha dynamických systémech je možné zvolit souřadnice systému tak, aby objem (ve skutečnosti ν-dimenzionální objem) ve fázovém prostoru byl invariantní. To se děje u mechanických systémů odvozených z Newtonových zákonů tak dlouho, dokud jsou souřadnicemi poloha a hybnost a objem je měřen v jednotkách (poloha) × (hybnost). Tok bere body podmnožiny A do bodů f t(A) a invariance fázového prostoru znamená, že

V hamiltonském formalismu, vzhledem k souřadnici je možné odvodit vhodnou (zobecněnou) hybnost tak, že příslušný objem je zachován tokem. Objem je řekl, že se počítá Liouville opatření.

V Hamiltonově systému nelze dosáhnout všech možných konfigurací polohy a hybnosti z počátečního stavu. Kvůli úspoře energie jsou přístupné pouze stavy se stejnou energií jako počáteční stav. Stavy se stejnou energií tvoří energetickou slupku Ω, dílčí členitost fázového prostoru. Objem energetické slupky, vypočítaný pomocí Liouvilleovy míry, je zachován v evoluci.

Pro systémy, kde je objem zachován průtokem, Poincaré objevil rekurence věta: Předpokládejme, že fázový prostor má konečný Liouville objem a nechť F je fázový prostor objem-zachování mapy a A podmnožina fázového prostoru. Pak téměř každý bod A se vrací k A nekonečně často. Poincaré rekurence věta byla použita Zermelo objekt na Boltzmannův odvození zvýšení entropie v dynamickém systému kolidujících atomů.

Jednou z otázek vznesených Boltzmannova práce byla možná rovnost mezi časovými průměry a prostorovými průměry, co nazval ergodickou hypotézu. Hypotéza uvádí, že délka času typické trajektorie stráví v regionu A je vol(A)/vol(Ω).

Ukázalo se, že ergodická hypotéza není základní vlastností potřebnou pro rozvoj statistické mechaniky a byla zavedena řada dalších ergodicky podobných vlastností, které zachycují relevantní aspekty fyzikálních systémů. Koopman ke studiu ergodických systémů přistoupil pomocí funkční analýzy. Pozorovatelné a je funkce, která ke každému bodu fázového prostoru přiřazuje číslo (řekněme okamžitý tlak nebo průměrnou výšku). Hodnotu pozorovatelného lze vypočítat v jiném čase pomocí evoluční funkce f t. Ta zavádí operátora U t, přenosového operátora,

Studiem spektrálních vlastností lineárního operátoru U je možné klasifikovat ergodické vlastnosti f t. Při použití Koopmanova přístupu zvažování působení toku na pozorovatelnou funkci se konečný-dimenzionální nelineární problém zahrnující f t dostane mapován do nekonečně-dimenzionálního lineárního problému zahrnujícího U.

Liouvilleova míra omezená na energetický povrch Ω je základem pro průměry vypočítané v rovnovážné statistické mechanice. Průměr v čase podél trajektorie se rovná průměru v prostoru vypočítanému pomocí Boltzmannova faktoru exp(−βH). Tuto myšlenku zobecnili Sinai, Bowen a Ruelle na větší třídu dynamických systémů, která zahrnuje rozptylové systémy. Měřítka SRB nahrazují Boltzmannův faktor a jsou definována na atraktorech chaotických systémů.

Jednoduché nelineární dynamické systémy a dokonce i po částech lineární systémy mohou vykazovat zcela nepředvídatelné chování, které se může zdát náhodné. (Pamatujte, že mluvíme o zcela deterministických systémech!). Toto nepředvídatelné chování bylo nazváno chaosem. Hyperbolické systémy jsou přesně definované dynamické systémy, které vykazují vlastnosti připisované chaotickým systémům. V hyperbolických systémech může být tečný prostor kolmý k trajektorii dobře rozdělen do dvou částí: jedna s body, které se sbíhají k oběžné dráze (stabilní rozvod) a další z bodů, které se vzdalují od oběžné dráhy (nestabilní rozvod).

Doporučujeme:  Poruchy rovnováhy

Tento obor matematiky se zabývá dlouhodobým kvalitativním chováním dynamických systémů. Zde není kladen důraz na hledání přesných řešení rovnic definujících dynamický systém (což je často beznadějné), ale spíše na odpovědi na otázky typu „Usadí se systém dlouhodobě do ustáleného stavu, a pokud ano, jaké jsou možné atraktory?“ nebo „Závisí dlouhodobé chování systému na jeho počátečním stavu?“

Všimněte si, že chaotické chování komplikovaných systémů není problémem. Meteorologie je už léta známá tím, že zahrnuje komplikované – až chaotické – chování. Teorie chaosu je tak překvapivá, protože chaos lze nalézt v téměř triviálních systémech. Logistická mapa je pouze polynom druhého stupně; podkovovitá mapa je piecewise lineární.

Pro dynamický systém existují dvě formální definice: jedna je motivována obyčejnými diferenciálními rovnicemi a má geometrickou příchuť; a druhá je motivována ergodickou teorií a má měrnou teoretickou příchuť. Měřítkové teoretické definice předpokládají existenci měrně konzervující transformace. Zdá se, že to vylučuje rozptylující systémy, protože v rozptylujícím systému se malá oblast fázového prostoru zmenšuje v průběhu vývoje času. Jednoduchá konstrukce (někdy nazývaná Krylovova-Bogoliubovova věta) ukazuje, že je vždy možné sestrojit měrnou jednotku tak, aby se evoluční pravidlo dynamického systému stalo měrně konzervující transformací. V konstrukci je daná měrná jednotka stavového prostoru shrnuta pro všechny budoucí body trajektorie, čímž je zajištěna invariance.

Mnoho různých invariantních měr může být spojeno s jakýmkoli jedním evolučním pravidlem. V ergodické teorii se předpokládá, že volba byla provedena, ale pokud je dynamický systém dán soustavou diferenciálních rovnic, musí být stanovena příslušná míra. Některé systémy mají přirozenou míru, jako je Liouvilleova míra v Hamiltonianských systémech, zvolenou před jinými invariantními opatřeními, jako jsou opatření podporovaná na pravidelných oběžných drahách Hamiltonianského systému. Pro mnoho rozptylujících chaotických systémů je volba invariantní míry technicky náročnější. Míru je třeba podpořit na atraktoru, ale atraktory mají nulovou Lebesgueovu míru a invariantní míry musí být jednotné s ohledem na Lebesgueovu míru.

U hyperbolických dynamických systémů se SRB opatření jeví jako přirozená volba. Jsou postavena na geometrické struktuře stabilních a nestabilních rozvodů dynamického systému; chovají se fyzicky při malých perturbacích; a vysvětlují mnohé z pozorovaných statistik hyperbolických systémů.

Obtížnost při konstrukci přirozené míry pro dynamický systém ztěžuje rozvoj ergodické teorie počínaje diferenciálními rovnicemi, takže se stává výhodné mít dynamickými systémy motivovanou definici v rámci ergodické teorie, která boční kroky při volbě míry.

Dynamický systém je tuple , s rozmanité (lokálně Banachův prostor nebo euklidovský prostor), doména pro čas (non-negativní reals, celá čísla, …) a evoluční pravidlo f t (s ) diffeomorfizmus z rozmanité na sebe.

Teoretická definice opatření

Dynamický systém může být definován formálně, jako opatření-zachování transformace sigma-algebra, kvadrupleta . Zde, X je množina, a Σ je topologie na X, tak, že je sigma-algebra. Pro každý prvek , μ je jeho konečná míra, tak, že trojice je prostor pravděpodobnosti. Mapa je řekl být Σ-měřitelné tehdy a jen tehdy, jestliže, pro každý , Jeden má . Mapa τ je řekl zachovat opatření tehdy a jen tehdy, jestliže, pro každý , Jeden má . Kombinace výše uvedené, mapa τ je řekl být opatření-zachování transformace X , pokud je mapa od X k sobě, to je Σ-měřitelné, a je opatření-zachování. Čtyřnásobek , pro takový τ, je pak definován jako dynamický systém.

Mapa τ ztělesňuje časový vývoj dynamického systému. Pro diskrétní dynamické systémy jsou tedy studovány iteráty pro celé číslo n. Pro spojité dynamické systémy je mapa τ chápána jako konečná mapa časového vývoje a konstrukce je složitější.

Příklady dynamických systémů

Díla poskytující široké pokrytí:

Úvodní texty s jedinečnou perspektivou: