V matematice je metrická nebo vzdálenostní funkce funkce, která definuje vzdálenost mezi prvky množiny. Množina s metrikou se nazývá metrický prostor. Metrika indukuje topologii na množině, ale ne všechny topologie mohou být generovány metrikou. Když topologický prostor má topologii, která může být popsána metrikou, říkáme, že topologický prostor je měřitelný.
V diferenciální geometrii se slovo „metrický“ používá také pro označení struktury definované pouze na diferencovatelné varietě, která je správněji nazývána metrický tenzor (nebo Riemannova nebo pseudo-Riemannova metrika).
Metrika na množině X je funkce (nazývá se funkce vzdálenosti nebo jednoduše vzdálenost)
(kde R je množina reálných čísel). Pro všechna x, y, z v X se požaduje, aby tato funkce splňovala tyto podmínky:
První podmínka vyplývá z ostatních.
Metrika se nazývá ultrametrická, pokud splňuje následující silnější verzi trojúhelníkové nerovnosti, kde body nemohou nikdy spadat ‚mezi‘ jiné body:
Metrika d na X se nazývá vnitřní, pokud libovolné dva body x a y v X mohou být spojeny křivkou s délkou libovolně blízkou d(x, y).
Pro množiny, na kterých je definováno sčítání + : X × X → X,
d se nazývá překladová invariantní metrika, pokud
Tyto podmínky vyjadřují intuitivní představy o pojmu vzdálenosti. Například, že vzdálenost mezi odlišnými body je kladná a vzdálenost od x do y je stejná jako vzdálenost od y do x. Trojúhelníková nerovnost znamená, že vzdálenost od x do z přes y je přinejmenším stejně velká jako od x do z přímo. Euklides ve své práci uvedl, že nejkratší vzdálenost mezi dvěma body je přímka; to byla trojúhelníková nerovnost pro jeho geometrii.
Je-li úprava trojúhelníkové nerovnosti
je použit v definici pak vlastnost 1 vyplývá přímo z vlastnosti 4*. Vlastnosti 2 a 4* dávají vlastnost 3 která zase dává vlastnost 4.
Pro danou množinu X se dvě metriky d1 a d2 nazývají topologicky ekvivalentní (jednotně ekvivalentní), pokud mapování identity
je homeomorfismus (jednotný izomorfismus).
Například pokud je metrika, pak a jsou metriky ekvivalentní
Normy vektorových prostorů jsou ekvivalentní určitým metrikám, konkrétně homogenním, translačně invariantním. Jinými slovy, každá norma určuje metriku a některé metriky určují normu.
Vzhledem k normované vektorový prostor můžeme definovat metriku na X podle
Metrické d se říká, že je vyvolána normou .
Naopak pokud metrika d na vektorovém prostoru X splňuje vlastnosti
pak můžeme definovat normu na X podle
Podobně seminorma indukuje pseudometriku (viz níže) a homogenní, translační invariantní pseudometrika indukuje seminormu.
Existuje mnoho způsobů, jak uvolnit axiomy metrik, což vede k různým představám o zobecněných metrických prostorech. Tyto zobecnění lze také kombinovat. Terminologie používaná k jejich popisu není zcela standardizovaná. Nejpozoruhodnější je, že ve funkční analýze pseudometrika často vychází ze seminorm na vektorových prostorech, a tak je přirozené nazývat je „semimetrika“. To je v rozporu s používáním termínu v topologii.
Někteří autoři dovolují, aby funkce vzdálenosti d dosáhla hodnoty ∞, tj. vzdálenosti jsou nezáporná čísla na rozšířené reálné číselné přímce. Takové funkci se říká rozšířená metrika. Každá rozšířená metrika může být transformována na konečnou metriku tak, aby metrické prostory byly ekvivalentní, pokud jde o pojmy topologie (jako je kontinuita nebo konvergence). To lze provést pomocí subaditiva monoticky zvyšující ohraničenou funkci, která je nula na nule, např. d′(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) nebo d′′(x, y) = min(1, d(x, y))).
Pseudoretrická funkce na X je funkce d : X × X → R, která splňuje axiomy pro metriku, s tím rozdílem, že místo druhé (identita indiscernibles) je pro všechna x vyžadováno pouze d(x,x)=0. Jinými slovy, axiomy pro pseudometriku jsou:
To je nejčastější zobecnění metrik. [citace nutná] V některých kontextech jsou pseudometriky označovány jako semimetriky kvůli jejich vztahu k seminormám.
Občas je kvasimetrická funkce definována jako funkce, která splňuje všechny axiomy pro metriku s možnou výjimkou symetrie:
Je-li d je kvasimetrický na X, metrické d‘ na X lze vytvořit tím, že
Kvasimetriky jsou běžné v reálném životě. Například, vzhledem k množině X horských vesnic, typické doby chůze mezi prvky X tvoří kvasimetriku, protože cesta do kopce trvá déle než cesta z kopce dolů. Dalším příkladem je topologie geometrie taxíků s jednosměrnými ulicemi, kde cesta z bodu A do bodu B zahrnuje jinou množinu ulic než cesta z bodu B do bodu A.
Kvasimetrický na reals lze definovat nastavením
Topologický prostor, který je základem tohoto kvasimetrického prostoru, je Sorgenfreyho přímka.
Semimetrická funkce na X je funkce d : X × X → R, která splňuje první tři axiomy, ale ne nutně trojúhelníkovou nerovnost:
Někteří autoři pracují se slabší formou trojúhelníkové nerovnosti, například:
ρ-inframetrická nerovnost implikuje ρ-relaxed trojúhelníkovou nerovnost (za předpokladu prvního axiomu) a ρ-relaxed trojúhelníková nerovnost implikuje 2ρ-inframetrickou nerovnost. Semimetrika splňující tyto ekvivalentní podmínky byla někdy označována jako „kvasimetrika“, „nearmetrics“ nebo inframetrika.
ρ-inframetrické nerovnosti byly zavedeny k modelování doby zpoždění okružních jízd na internetu. Trojúhelníková nerovnost implikuje 2-inframetrickou nerovnost a ultrametrická nerovnost je přesně 1-inframetrická nerovnost.
Uvolnění posledních tří axiomů vede k pojmu premetrický, tj. funkce splňující následující podmínky:
To není standardní termín. Někdy se používá k odkazu na jiná zobecnění metrik, jako je pseudosemimetrika nebo pseudometrika; v překladech ruských knih se někdy objevuje jako „prametrický“.
Jakákoli premetrie dává vzniknout topologii následovně. Pro kladné reálné r je otevřená r-koule se středem v bodě p definována jako
Sada je otevřená, pokud pro jakýkoli bod p v sadě existuje r-koule se středem na p, která je obsažena v sadě. Obecně platí, že otevřené r-koule samy o sobě nemusí být otevřené sady s ohledem na tuto topologii. Ve skutečnosti může být vnitřek r-koule prázdný. Tudíž každý premetrický prostor je topologický prostor, a ve skutečnosti sekvenční prostor.
Pokud jde o metriky, vzdálenost mezi dvěma soubory A a B, je definována jako
To definuje premetrii na mocninné množině premetrického prostoru. Začneme-li s (pseudosemi-)metrickým prostorem, dostaneme pseudosemimetrickou, tj. symetrickou premetrii.
Jakákoli premetrie dává vzniknout preclosure operátoru cl takto:
Předylkovatelné pseudo-, kvazi- a semi- mohou být také kombinovány, např. pseudokvazimetrický (někdy nazývaný hemimetrický) uvolňuje jak axiom nerozdělitelnosti, tak axiom symetrie a je jednoduše premetrický splňující trojúhelníkovou nerovnost. Pro pseudokvazimetrické prostory tvoří otevřené r-kuličky základ otevřených množin. Velmi základním příkladem pseudokvazimetrického prostoru je množina {0,1} s premetrickou dánou d(0,1) = 1 a d(1,0) = 0. Přidružený topologický prostor je Sierpińského prostor.
Sady vybavené rozšířenou pseudokvasimetrií byly studovány Williamem Lawverem jako „zobecněné metrické prostory“. Z kategorického hlediska jsou rozšířené pseudometrické prostory a rozšířené pseudokvasimetrické prostory spolu s jejich odpovídajícími neinvenčními mapami nejlépe vychované z kategorií metrických prostorů. Lze vzít libovolné produkty a koprodukty a tvořit kvocientní objekty v rámci dané kategorie. Pokud upustíme od „rozšířené“, můžeme vzít pouze konečné produkty a koprodukty. Pokud upustíme od „pseudo“, nemůžeme brát kvocienty. Přístupové prostory jsou zobecněním metrických prostorů, které zachovávají tyto dobré kategorické vlastnosti.
Důležité případy generalizovaných metrik
V diferenciální geometrii se uvažuje o metrických tenzorech, které lze považovat za „infinitezimální“ metrické funkce. Jsou definovány jako vnitřní produkty na tečnovém prostoru s příslušným požadavkem diferencovatelnosti. I když se nejedná o metrické funkce, jak jsou definovány v tomto článku, indukují metrické funkce integrací. Rozmanitost s metrickým tenzorem se nazývá Riemannova varieta. Pokud upustíme od požadavku kladné definitivnosti vnitřních prostorů, pak získáme pseudo-Riemannův metrický tenzor, který se integruje do pseudo-semimetrické. Ty se používají v geometrickém studiu teorie relativity, kde je tenzor také nazýván „invariantní vzdálenost“.