V logice a příbuzných oborech, jako je matematika a filosofie, tehdy a jen tehdy, jestliže (zkráceně MFF) je bikonektivní logická spojka mezi výroky.
V tom, že je oboustranný, spojka může být přirovnána ke standardnímu materiálovému podmíněnému („only if“, rovná se „if … then“) v kombinaci s jeho reverzem („if“); odtud název. Výsledkem je, že pravdivost jednoho z připojených výroků vyžaduje pravdivost druhého, tj. buď jsou oba výroky pravdivé, nebo jsou oba nepravdivé. Je sporné, zda takto definovaný spoj je správně vykreslen anglickým „if and only if“, s jeho již existujícím významem. Samozřejmě, nic nám nebrání v tom, abychom si stanovili, že tuto spojku můžeme číst jako „only if and if“, i když to může vést k záměně.
V psaní, fráze běžně používané, s diskutabilní propriety, jako alternativy k P „if and only if“ Q include Q je nutné a dostatečné pro P, P je ekvivalentní (nebo materiálně ekvivalentní) k Q (porovnat materiální implikace), P přesně jestli Q, P přesně (nebo přesně) když Q, P přesně v případě Q, a P právě v případě Q. Mnoho autorů považuje „iff“ jako nevhodný pro formální psaní, jiní jej používají volně.[citace nutná]
V logických vzorcích se místo těchto frází používají logické symboly; viz diskuze o zápisu.
Tabulka pravdy p ↔ q je následující:
Všimněte si, že je shodná s bránou XNOR a opačná než brána XOR.
Odpovídající logické symboly jsou „↔“, „⇔“ a „≡“ a někdy „iff“. Ty jsou obvykle považovány za rovnocenné. Některé texty matematické logiky (zejména ty, které se týkají logiky prvního řádu, spíše než výrokové logiky) však mezi nimi rozlišují, přičemž první, ↔, se používá jako symbol v logických vzorcích, zatímco ⇔ se používá v úvahách o těchto logických vzorcích (např. v metalogice). V Łukasiewiczově notaci je to předpona ‚E‘.
Další termín pro tento logický spojovací je exkluzivní nor.
Ve většině logických systémů se dokazuje tvrzení o tvaru „P iff Q“ prokázáním „if P, then Q“ a „if Q, then P“. Prokázání této dvojice tvrzení někdy vede k přirozenějšímu důkazu, protože neexistují zřejmé podmínky, za kterých by se odvozovala dvojpodmínka přímo. Alternativou je dokázat disjunkci „(P a Q) nebo (not-P a not-Q)“, která sama o sobě může být odvozena přímo z obou jejích disjunkcí – to znamená, že „iff“ je pravdivě funkční, „P iff Q“ následuje, pokud P a Q byly obě prokázány jako pravdivé, nebo obě nepravdivé.
Použití zkratky „iff“ se poprvé objevilo v tisku v knize Johna L. Kelleyho z roku 1955 General Topology (Obecná topologie).
Její vynález je často připisován Paulu Halmosovi, který napsal „Vynalezl jsem ‚iff‘ pro ‚if and only if‘ – ale nikdy jsem nemohl uvěřit, že jsem byl skutečně jejím prvním vynálezcem.“
Rozlišení od „pokud“ a „pouze pokud“
Tento článek je označen od června 2013.
Dostatečnost je opakem nutnosti. To znamená, že vzhledem k P→Q (tj. pokud P pak Q), P by byla dostatečná podmínka pro Q a Q by byla nezbytná podmínka pro P. ¬ Také vzhledem k P→Q je pravda, že ¬ Q→P (kde ¬ je negační operátor, tj. „není“). To znamená, že vztah mezi P a Q, stanovený P→Q, může být vyjádřen následujícími, všemi ekvivalentními způsoby:
Jako příklad si vezměte (1) výše, kde P→Q, kde P je „dotyčné ovoce je jablko“ a Q je „Madison dotyčné ovoce sní“. Následují čtyři rovnocenné způsoby vyjádření právě tohoto vztahu:
Vidíme tedy, že (2), výše, může být přeformulováno ve formě if…then as „If Madison will eat the fruit in question, then it is an apple“; vezmeme-li to ve spojení s (1), zjistíme, že (3) může být uvedeno jako „If the fruit in a apple, then Madison will eat it; And if Madison will eat the fruit, then it is an apple“.
Tento článek je označen od června 2013.
Filosofický výklad
Rozlišení je velmi matoucí a mnohého filozofa svedlo na scestí. Jistě je to tak, že když A logicky odpovídá B, „A iff B“ je pravdivé. Ale opačně to neplatí. Přehodnocení věty:
Mezi oběma polovinami tohoto konkrétního bikonvenciálu zjevně neexistuje žádná logická ekvivalence. Více o rozlišení viz W. V. Quineova Matematická logika, Oddíl 5.
Jedním ze způsobů, jak se dívat na „A tehdy a jen tehdy, když B“ je, že to znamená „A, když B“ (B znamená A) a „A, jen když B“ (ne B znamená ne A). „Ne B znamená ne A“ znamená A znamená B, takže pak dostaneme dvojí implikaci.
Ve filosofii a logice se pro označení definic používá výraz „iff“, protože definice mají být univerzálně kvantifikované dvojpodmínky. V matematice a jinde se však v definicích běžně používá slovo „if“, spíše než „iff“. To je způsobeno zjištěním, že „if“ v anglickém jazyce má definiční význam, oddělený od jeho významu jako výrokového pojiva. Tento oddělený význam lze vysvětlit tím, že definice (například: Skupina je „abelovská“, pokud splňuje komutativní zákon; nebo: Hrozen je „rozinka“, pokud je dobře usušený) není rovnocennost, která má být prokázána, ale pravidlo pro výklad definovaného pojmu.
Zde je několik příkladů pravdivých výroků, které používají „iff“ – pravdivé bikonjugace (první je příkladem definice, takže by normálně měla být napsána s „if“):
Jiná slova jsou také někdy zdůrazněna stejným způsobem opakováním posledního písmene; například orr pro „Or a only Or“ (výlučná disjunkce).
Příkaz „(A iff B)“ je ekvivalentní s příkazem „(ne A nebo B) a (ne B nebo A)“ a je také ekvivalentní s příkazem „(ne A a ne B) nebo (A a B)“.
Je také ekvivalentní: ne[(A nebo B) a (ne A nebo ne B)],
které byly uvedeny ve slovních výkladech výše.
Iff se používá mimo oblast logiky, všude tam, kde se logika používá, zejména v matematických diskusích. Má stejný význam jako výše: je to zkratka pro tehdy a jen tehdy, když, což znamená, že jeden výrok je nezbytný a zároveň dostačující pro druhý. To je příklad matematického žargonu. (Nicméně, jak je uvedeno výše, jestliže, spíše než MFF, se častěji používá v definičních výrokech.)
Prvky X jsou všechny a pouze prvky Y se používají ve smyslu: „pro jakékoliv z v oblasti diskurzu, z je v X tehdy a jen tehdy, když z je v Y.“