Fourierova analýza je v matematice studium způsobu, jakým mohou být obecné funkce reprezentovány nebo aproximovány součty jednodušších trigonometrických funkcí. Fourierova analýza vznikla studiem Fourierovy řady a je pojmenována po Josephu Fourierovi.
Dnes předmět Fourierovy analýzy zahrnuje rozsáhlé spektrum matematiky. Ve vědách se proces rozkladu funkce na jednodušší kousky často nazývá Fourierova analýza, zatímco operace přestavby funkce z těchto kousků je známá jako Fourierova syntéza. V matematice se termín Fourierova analýza často vztahuje ke studiu obou operací.
Samotný proces rozkladu se nazývá Fourierova transformace. Transformace je často nazývána konkrétnějším názvem, který závisí na doméně a dalších vlastnostech transformované funkce. Původní koncept Fourierovy analýzy byl navíc v průběhu času rozšířen, aby se vztahoval na více a více abstraktních a obecných situací, a obecná oblast je často známá jako harmonická analýza. Každá transformace použitá pro analýzu (viz seznam Fourierových transformací) má odpovídající inverzní transformaci, která může být použita pro syntézu.
Takže například rozdělení časové řady nebo periodických jevů, jako je zvuková vlna, na její sinusové složky různých frekvencí a amplitud a jejich přizpůsobení Fourierově transformaci je činí přístupnými pro výpočet
Tato široká použitelnost vyplývá z mnoha užitečných vlastností transformů:
Fourierova transformace je také užitečná jako kompaktní reprezentace signálu. Například JPEG komprese používá variantu Fourierovy transformace (diskrétní kosinová transformace) malých čtvercových kousků digitálního obrazu. Fourierovy složky každého čtverce jsou zaokrouhleny na nižší aritmetickou přesnost a slabé složky jsou zcela eliminovány, takže zbývající složky mohou být uloženy velmi kompaktně. Při rekonstrukci obrazu je každý čtverec obrazu znovu sestaven z dochovaných přibližných Fourierových transformovaných složek, které jsou pak inverzně transformovány, aby vznikla aproximace původního obrazu.
Aplikace ve zpracování signálu
Tento článek je označen od září 2008.
Při zpracování signálů, jako je zvuk, rádiové vlny, světelné vlny, seismické vlny a dokonce i obrazy, může Fourierova analýza izolovat jednotlivé složky složené křivky a soustředit je pro snadnější detekci a/nebo odstranění. Velká rodina technik zpracování signálu se skládá z Fourierovy transformace signálu, jednoduché manipulace s Fourierovými transformovanými daty a obrácení transformace.
Varianty Fourierovy analýzy
Ilustrace použití Diracových hřebenových funkcí a konvoluční věty k modelování efektů vzorkování a/nebo periodické sumace. Vlevo dole je DTFT, spektrální výsledek vzorkování s(t) v intervalech T. Spektrální posloupnosti v (a) vpravo nahoře a (b) vpravo dole se počítají z (a) jednoho cyklu periodické sumace s(t) a (b) jednoho cyklu periodické sumace s(nT) posloupnosti. Příslušné vzorce jsou (a) integrál Fourierovy řady a (b) součet DFT. Relativní výpočetní jednoduchost DFT sekvence a vhled, který poskytuje do S(f), z něj činí oblíbený analytický nástroj.
(Kontinuální) Fourierova transformace
Nejčastěji bezvýhradný termín Fourierova transformace odkazuje na transformaci funkcí spojitého reálného argumentu a vytváří spojitou funkci frekvence, známou jako frekvenční rozdělení. Jedna funkce je transformována do jiné a operace je vratná. Když je doménou vstupní (počáteční) funkce čas (t) a doménou výstupní (konečné) funkce je obyčejná frekvence, transformace funkce s(t) na frekvenci ƒ je dána komplexním číslem:
což je inverzní transformační vzorec. Komplexní číslo, S(ƒ), vyjadřuje jak amplitudu, tak fázi frekvence ƒ.
Viz Fourierova transformace pro mnohem více informací, včetně:
Fourierova transformace periodické funkce, sP(t), s periodou P, se stává Diracovou combovou funkcí, modulovanou posloupností komplexních koeficientů:
a kde je integrál nad libovolným intervalem délky P.
Inverzní transformace, známá jako Fourierova řada, je reprezentace sP(t) ve smyslu sumace potenciálně nekonečného počtu harmonicky příbuzných sinusoid nebo komplexních exponenciálních funkcí, z nichž každá má amplitudu a fázi specifikovanou jedním z koeficientů:
Je-li sP(t) vyjádřeno jako periodický součet jiné funkce, s(t):
koeficienty jsou úměrné vzorkům S(ƒ) v diskrétních intervalech 1/P: [poznámka 1]
Dostatečnou podmínkou pro obnovu s(t) (a tedy S(ƒ)) právě z těchto vzorků je, že nenulová část s(t) je omezena na známý interval trvání P, což je frekvenční doménová dvojka Nyquistovy–Shannonovy vzorkovací věty.
Více informací včetně historického vývoje najdete v Fourierově sérii.
Diskrétní Fourierova transformace (DTFT)
DTFT je matematická dvojhvězda časové domény Fourierovy řady. Konvergentní periodický součet ve frekvenční doméně tedy může být reprezentován Fourierovou řadou, jejíž koeficienty jsou vzorky související spojité časové funkce:
který je znám jako DTFT. DTFT posloupnosti s[n] je tedy také Fourierovou transformací modulované Diracovy funkce.[pozn. 2]
Koeficienty Fourierovy řady, definované takto:
je inverzní transformace. S s[n] = T•s(nT), tato Fourierova řada může být nyní rozpoznána jako forma Poissonova sumačního vzorce. Máme tedy důležitý výsledek, že když diskrétní datová sekvence, s[n], je úměrná vzorkům základní spojité funkce, s(t), můžeme pozorovat periodický sumační průběh spojité Fourierovy transformace, S(ƒ). To je základní kámen v základech digitálního zpracování signálu. Dále, za určitých idealizovaných podmínek lze teoreticky přesně obnovit S(ƒ) a s(t). Dostatečnou podmínkou pro perfektní obnovu je, že nenulová část S(ƒ) je omezena na známý frekvenční interval šířky 1/T. Když je tento interval [-0,5/T, 0,5/T], použitelný rekonstruovací vzorec je Whittakerův–Shannonův interpolační vzorec.
Dalším důvodem, proč se o S1/T(ƒ) zajímat, je to, že často poskytuje přehled o množství aliasingu způsobeného procesem odběru vzorků.
Aplikace DTFT nejsou omezeny na ukázkové funkce. Více informací o tomto a dalších tématech, včetně:
Diskrétní Fourierova transformace (DFT)
DTFT periodické posloupnosti sN[n] s periodou N se stává další Diracovou combovou funkcí, modulovanou koeficienty Fourierovy řady. A integrální vzorec pro koeficienty se zjednodušuje na sumaci (viz DTFT/Periodická data):
Sk posloupnost je to, co je obvykle známé jako DFT sN. Je také N-periodická, takže nikdy není nutné počítat více než N koeficientů. Z hlediska Sk je inverzní transformace dána:
Když sN[n] je vyjádřeno jako periodický součet jiné funkce: a
koeficienty jsou ekvivalentní vzorkům S1/T(ƒ) v diskrétních intervalech 1/P = 1/NT: (viz DTFT/Sampling the DTFT)
Naopak, když chceme vypočítat libovolný počet (N) diskrétních vzorků jednoho cyklu spojitého DTFT, lze to provést výpočtem relativně jednoduchého DFT sN[n], jak je definováno výše. Ve většině případů se volí N rovnající se délce nenulové části s[n]. Zvyšování N, známé jako zero-padding nebo interpolace, má za následek užší rozestupy vzorků jednoho cyklu S1/T(ƒ). Snížení N, způsobuje překrytí (sčítání) v časové doméně (analogické k aliasingu), což odpovídá decimaci ve frekvenční doméně. (viz Sampling the DTFT) Ve většině případů praktického zájmu představuje s[n] posloupnost delší posloupnost, která byla zkrácena použitím funkce okna s konečnou délkou nebo pole filtrů FIR.
DFT lze vypočítat pomocí rychlého algoritmu Fourierovy transformace (FFT), což z něj dělá praktickou a důležitou transformaci na počítačích.
Viz Diskrétní Fourierova transformace pro mnohem více informací, včetně:
U periodických funkcí se jak Fourierova transformace, tak DTFT skládají pouze z diskrétní množiny frekvenčních složek (Fourierova řada) a transformace se na těchto frekvencích rozcházejí. Jednou běžnou praxí (výše nerozdiskutovanou) je řešit tuto divergenci pomocí Diracových deltových a Diracových hřebenových funkcí. Stejnou spektrální informaci lze ale rozeznat pouze z jednoho cyklu periodické funkce, protože všechny ostatní cykly jsou identické. Podobně lze funkce s konečnou dobou trvání reprezentovat jako Fourierovu řadu, přičemž nedochází k žádné skutečné ztrátě informací kromě toho, že periodicita inverzní transformace je pouhým artefaktem. Také poznamenáváme, že žádný ze zdejších vzorců nevyžaduje, aby doba trvání byla omezena na periodu, P nebo N. To je ale v praxi běžná situace.
Fourierovy transformace na libovolné lokálně kompaktní abelovská topologické skupiny
Z hlediska zpracování signálu je funkce (času) reprezentace signálu s dokonalým časovým rozlišením, ale bez informace o frekvenci, zatímco Fourierova transformace má dokonalé frekvenční rozlišení, ale bez informace o čase.
Primitivní forma harmonických řad se datuje do starověké babylonské matematiky, kde byly použity k výpočtu efemeridů (tabulek astronomických pozic).
Klasické řecké pojmy deferentu a epicyklu v Ptolemaiově systému astronomie souvisely s Fourierovou řadou (viz Deferent a epicykl: Matematický formalismus).
V moderní době byly varianty diskrétní Fourierovy transformace použity Alexisem Clairautem v roce 1754 k výpočtu oběžné dráhy,
která byla popsána jako první vzorec pro DFT,
a v roce 1759 Josephem Louisem Lagrangem při výpočtu koeficientů trigonometrické řady pro vibrující řetězec. Technicky, Clairautova práce byla cosine-only série (forma diskrétní cosine transformace), zatímco Lagrangeova práce byla sine-only série (forma diskrétní sine transformace); skutečný cosine+sine DFT byl použit Gaussem v roce 1805 pro trigonometrickou interpolaci oběžných drah asteroidů.
Euler a Lagrange diskretizovali problém vibrujících řetězců, pomocí toho, co by dnes bylo nazýváno vzorky.
Rané moderní vývoj směrem Fourierova analýza byla 1770 papíru Réflexions sur la résolution algébrique des équations podle Lagrange, který v metodě Lagrange resolvents použity komplexní Fourierova rozkladu studovat řešení na krychlový:
Lagrange transformovala kořeny do resolvents:
kde ζ je krychlová odmocnina jednoty, což je DFT řádu 3.
Řada autorů, zejména Jean le Rond d’Alembert, a Carl Friedrich Gauss použity trigonometrické řady ke studiu tepelné rovnice,[citace potřebné], ale průlomový vývoj byl 1807 papír
Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides Joseph Fourier, jehož zásadní poznatky bylo modelovat všechny funkce podle trigonometrických řad, zavedení Fourierovy řady.
Historikové jsou rozděleny, jak moc k úvěru Lagrange a další pro rozvoj Fourierovy teorie: Daniel Bernoulli a Leonhard Euler byl zaveden trigonometrické reprezentace funkcí, a Lagrange dal Fourierovy řady řešení na vlnové rovnice, takže Fourierova příspěvek byl hlavně tučné tvrzení, že svévolné funkce by mohly být zastoupeny Fourierovy řady.
Následný vývoj oboru je znám jako harmonická analýza a je také ranou instancí reprezentační teorie.
První rychlý algoritmus Fourierovy transformace (FFT) pro DFT byl objeven kolem roku 1805 Carlem Friedrichem Gaussem při interpolaci měření oběžné dráhy asteroidů Juno a Pallas, i když tento konkrétní algoritmus FFT je častěji připisován jeho moderním znovuobjevitelům Cooleymu a Tukeymu.
Interpretace z hlediska času a četnosti
Při zpracování signálu Fourierova transformace často bere časovou řadu nebo funkci spojitého času a mapuje ji do frekvenčního spektra. To znamená, že bere funkci z časové domény do frekvenční domény; je to rozklad funkce na sinusoidy různých frekvencí; v případě Fourierovy řady nebo diskrétní Fourierovy transformace jsou sinusoidy harmonické základní frekvence analyzované funkce.
Pokud je funkce ƒ funkcí času a představuje fyzikální signál, transformace má standardní interpretaci jako frekvenční spektrum signálu. Velikost výsledné funkce F s komplexní hodnotou na frekvenci ω představuje amplitudu frekvenční složky, jejíž počáteční fáze je dána fází F.
Fourierovy transformace nejsou omezeny na funkce času a časových frekvencí. Stejně tak mohou být použity pro analýzu prostorových frekvencí a vlastně pro téměř jakoukoliv funkční doménu. To ospravedlňuje jejich použití v oborech tak různorodých, jako je zpracování obrazu, vedení tepla a automatické řízení.