Komplexní číslo

V matematice je komplexní číslo vyjádřením tvaru a + bi, kde a a b jsou reálná čísla a i znamená jednu z odmocnin záporné jedničky (−1). Reálné číslo a se nazývá reálná část komplexního čísla a reálné číslo b je imaginární část. Když je imaginární část b 0, pak je komplexní číslo identifikováno s reálným číslem a. Komplexní číslo se pak skládá z dvojice reálných čísel.

Například 3 + 2i je komplexní číslo s reálnou částí 3 a imaginární částí 2.

Složitá čísla lze sčítat, odečítat, násobit a dělit stejně jako reálná čísla; mají však další elegantní vlastnosti. Například každá polynomiální algebraická rovnice má jako řešení komplexní číslo, ne jen některá jako v reálných číslech.

Reálná čísla jsou přesně ekvivalentní (izomorfní) podmnožině komplexních čísel s imaginární částí rovnající se nule: a + 0i, a je obvyklé považovat obě sady za identické.

V některých oborech (zejména v elektrotechnice, kde i je symbol pro proud) se komplexní čísla píší jako a + bj.

Množina všech komplexních čísel je obvykle označena písmenem C, nebo tučně tabulí . Zahrnuje reálná čísla, protože každé reálné číslo může být považováno za komplexní: a = a + 0i.

Složitá čísla se sčítají, odečítají a násobí formálním použitím asociativních, komutativních a distribučních zákonů algebry, společně s rovnicí i 2 = −1:

Lze také definovat dělení komplexních čísel (viz níže). Množina komplexních čísel tak tvoří pole, které je na rozdíl od reálných čísel algebraicky uzavřené.

Přídavné jméno „komplexní“ v matematice znamená, že pole komplexních čísel je základní číselné pole, například komplexní analýza, komplexní matice, komplexní polynom a komplexní Lieova algebra.

Formálně lze komplexní čísla definovat jako uspořádané dvojice reálných čísel (a, b) spolu s operacemi:

Takto definované, komplexní čísla tvoří pole, komplexní číslo pole, označené C.

Vzhledem k tomu, že komplexní číslo a + bi je jednoznačně specifikováno uspořádanou dvojicí (a, b) reálných čísel, komplexní čísla jsou v poměru jedna ku jedné v korespondenci s body v rovině, tzv. komplexní rovině.

Identifikujeme reálné číslo a s komplexním číslem (a, 0), a tímto způsobem se pole reálných čísel R stává podoborem C. Pomyslnou jednotkou i je komplexní číslo (0, 1).

C může být také definováno jako topologické uzavření algebraických čísel nebo jako algebraické uzavření R, obojí je popsáno níže.

Komplexní číslo může být chápáno jako bod nebo polohový vektor na dvourozměrném karteziánském souřadnicovém systému nazývaném komplexní rovina nebo Argandův diagram (pojmenovaný po Jeanu-Robertu Argandovi).

Dále se někdy používá notace r cis φ.

Všimněte si, že komplexní argument je unikátní modulo 2π, to znamená, že pokud se některé dvě hodnoty komplexního argumentu přesně liší celočíselným násobkem 2π, jsou považovány za rovnocenné.

Prostými trigonometrickými identitami
vidíme, že

Nyní je sčítání dvou komplexních čísel jen vektorovým sčítáním dvou vektorů a násobení pevným komplexním číslem lze chápat jako souběžnou rotaci a protahování.

Absolutní hodnota, konjugace a vzdálenost

Komplexní konjugát komplexního čísla z = a + ib je definován jako a – ib, psáno jako nebo . Jak je vidět na obrázku, je „odrazem“ z o reálné ose. Následující lze zaškrtnout:

Druhý vzorec je způsob volby pro výpočet inverze komplexního čísla, pokud je uvedeno v pravoúhlých souřadnicích.

Že konjugace dojíždí se všemi algebraickými operacemi (a mnoha funkcemi; např. ) má kořeny v nejednoznačnosti volby i (−1 má dvě odmocniny); všimněte si však, že konjugace není diferencovatelná (viz holomorfní).

Vzhledem k komplexnímu číslu (a + bi), které má být vyděleno jiným komplexním číslem (c + di), jehož velikost je nenulová, existují dva způsoby, jak to udělat; v obou případech je to stejné jako vynásobit první multiplikační inverzí druhého. První způsob už byl naznačen: převést obě komplexní čísla do exponenciální formy, z níž lze snadno odvodit jejich kvocient. Druhý způsob je vyjádřit dělení jako zlomek, pak vynásobit čitatele i jmenovatele komplexní konjugací jmenovatele. To způsobí, že se jmenovatel zjednoduší na reálné číslo:

Doporučujeme:  Kritika evoluční psychologie

Maticové znázornění komplexních čísel

I když obvykle nejsou užitečné, alternativní reprezentace komplexních polí mohou poskytnout určitý vhled do jejich podstaty. Jedna obzvlášť elegantní reprezentace interpretuje každé komplexní číslo jako matici 2×2 s reálnými vstupy, které roztahují a otáčejí body roviny. Každá taková matice má tvar

s reálnými čísly a a b. Součet a součin dvou takových matic má opět tuto podobu. Každá nenulová taková matice je invertibilní a její inverzní je opět této podoby. Proto matice této podoby jsou pole. Ve skutečnosti je to přesně pole komplexních čísel. Každá taková matice může být zapsána jako

což naznačuje, že bychom měli identifikovat reálné číslo 1 s maticí

a imaginární jednotky i s

otočení proti směru hodinových ručiček o 90 stupňů. Všimněte si, že druhá mocnina této matice je skutečně rovna −1.

Absolutní hodnota komplexního čísla vyjádřená jako matice se rovná druhé odmocnině determinantu této matice. Pokud se na matici pohlíží jako na transformaci roviny, pak transformace otočí body o úhel rovnající se argumentu komplexního čísla a stupnice o faktor rovnající se absolutní hodnotě komplexního čísla. Konjugát komplexního čísla z odpovídá transformaci, která se otáčí o stejný úhel jako z, ale v opačném směru, a stupnice stejným způsobem jako z; to lze popsat transpozicí matice odpovídající z.

Pokud jsou maticové prvky samy o sobě komplexními čísly, pak výsledná algebra je algebra kvaternionů. Tímto způsobem lze maticovou reprezentaci chápat jako způsob vyjádření Cayleyho-Dicksonovy konstrukce algeber.

Geometrická interpretace operací s komplexními čísly

Bod X je součtem A a B.

Vyberte si bod v rovině, která bude původ, . Vzhledem k tomu, dva body A a B v rovině, jejich součet je bod X v rovině taková, že trojúhelníky s vrcholy 0, A, B a X, B, A jsou podobné.

Bod X je součinem A a B.

Vyberte si navíc bod v rovině odlišné od nuly, která bude jednota, 1. Vzhledem k tomu, dva body A a B v rovině, jejich produkt je bod X v rovině taková, že trojúhelníky s vrcholy 0, 1, A, a 0, B, X jsou podobné.

Bod X je komplexní konjugát A.

Vzhledem k tomu, bod A v rovině, jeho komplexní konjugát je bod X v rovině taková, že trojúhelníky s vrcholy 0, 1, A a 0, 1, X jsou zrcadlový obraz navzájem.

C je dvourozměrný reálný vektorový prostor.
Na rozdíl od reals nemohou být komplexní čísla uspořádána žádným způsobem, který by byl kompatibilní s jejími aritmetickými operacemi: C nemůže být přeměněno na uspořádané pole.

R-lineární mapy C → C mají obecný tvar

s komplexními koeficienty a a b. Pouze první člen je C-lineární; také pouze první člen je holomorfní; druhý člen je reálně diferencovatelný, ale nesplňuje Cauchyho-Riemannovy rovnice.

odpovídá rotacím v kombinaci se škálováním, zatímco funkce

odpovídá odrazům v kombinaci se škálováním.

Řešení polynomiálních rovnic

Kořen polynomu p je komplexní číslo z takové
že p(z) = 0.
Nejpozoruhodnějším výsledkem je, že všechny polynomy
stupně n s reálnými nebo komplexními koeficienty mají přesně n
komplexní kořeny (počítání více kořenů podle jejich
multiplicity). To je známé jako základní věta algebry a ukazuje, že komplexní čísla jsou algebraicky uzavřené pole.

Ve skutečnosti pole komplexního čísla je algebraickým uzavřením pole reálného čísla a Cauchyova konstrukce komplexních čísel tímto způsobem. Může být identifikována jako kvocientní prstenec polynomiálního prstence R[X] ideálem generovaným polynomem X2 + 1:

Toto je skutečně pole, protože X2 + 1 je neredukovatelné, a tudíž vytváří maximální ideál, v R[X]. Obraz X v tomto kvocientním kruhu se stává imaginární jednotkou i.

Algebraická charakterizace

Pole C je (až do izomorfismu pole) charakterizováno těmito třemi fakty:

V důsledku toho C obsahuje mnoho vlastních podoblastí, které jsou izomorfní k C. Dalším důsledkem této charakterizace je, že Osnova skupina C přes racionální čísla je obrovská, s kardinalitou rovnající se výkonu množiny kontinua.

Doporučujeme:  Ruský kosmos

Charakterizace jako topologické pole

Jak je uvedeno výše, algebraické charakterizaci C se nedaří zachytit některé z jeho nejdůležitějších vlastností. Tyto vlastnosti, které jsou základem komplexní analýzy, vycházejí z topologie C. Následující vlastnosti charakterizují C jako topologické pole:

Vzhledem k těmto vlastnostem, lze pak definovat topologii na C tím, že sady

jako základ, kde x se pohybuje nad C, a p se pohybuje nad P.

Abychom viděli, že tyto vlastnosti charakterizují C jako topologické pole, poznamenáváme, že P ∪ {0} ∪ -P je uspořádané Dedekind-úplné pole, a tak může být identifikováno s reálnými čísly R pomocí unikátního izomorfismu pole. Poslední vlastnost je snadno vidět, že naznačuje, že Galoisova skupina nad reálnými čísly je řádu dva, dokončující charakterizaci.

Pontryagin ukázal, že jediná lokálně spojená kompaktní topologická pole jsou R a C. To dává další charakteristiku C jako topologického pole, protože C lze odlišit od R tím, že nenulová komplexní čísla jsou spojena, zatímco nenulová reálná čísla spojena nejsou.

Studium funkcí komplexní proměnné je známé jako komplexní analýza a má obrovské praktické využití v aplikované matematice i v jiných oborech matematiky. Nejpřirozenější důkazy pro tvrzení v reálné analýze nebo dokonce v teorii čísel často používají techniky z komplexní analýzy (viz například věta o prvočísle). Na rozdíl od reálných funkcí, které jsou běžně zastoupeny jako dvourozměrné grafy, komplexní funkce mají čtyřrozměrné grafy
a mohou být užitečně ilustrovány barevným kódováním trojrozměrného grafu pro návrh čtyř rozměrů nebo animací dynamické transformace komplexní roviny komplexní funkcí.

V teorii řízení jsou systémy často transformovány z časové domény na frekvenční doménu pomocí Laplaceovy transformace. Póly a nuly systému jsou pak analyzovány v komplexní rovině. Techniky kořenového lokusu, Nyquistova zákresu a Nicholsova zákresu využívají komplexní rovinu.

V metodě kořenového lokusu je zvláště důležité, zda póly a nuly jsou v levé nebo pravé polorovině, tj. mají reálnou část větší nebo menší než nula. Pokud má systém póly, které jsou

Pokud má systém nuly v pravé polovině roviny, jedná se o systém s nepatrnou fází.

Pokud Fourierova analýza je zaměstnán psát daný real-hodnotového signálu jako součet periodických funkcí, tyto periodické funkce jsou často psány jako reálná část komplexní ceněné funkce formuláře

kde ω představuje úhlovou frekvenci a komplexní číslo z kóduje fázi a amplitudu, jak je vysvětleno výše.

V elektrotechnice se Fourierova transformace používá k analýze různých napětí a proudů. Zpracování rezistorů, kondenzátorů a induktorů pak může být sjednoceno zavedením imaginárních, na frekvenci závislých rezistorů pro poslední dva a kombinací všech tří do jednoho komplexního čísla zvaného impedance. (Električtí inženýři a někteří fyzici používají písmeno j pro imaginární jednotku, protože i je typicky vyhrazeno pro různé proudy a může se dostat do konfliktu s i.) Toto použití je také rozšířeno na digitální zpracování signálu a digitální zpracování obrazu, které využívá digitální verze Fourierovy analýzy (a Waveletovy analýzy) k přenosu, kompresi, obnovení a jinému zpracování digitálních zvukových signálů, statických obrazů a videosignálů.

V aplikovaných oborech se použití komplexní analýzy často používá k výpočtu určitých reálně oceňovaných nesprávných integrálů, pomocí komplexně oceňovaných funkcí. K tomu existuje několik metod, viz metody integrace obrysů.

Oblast komplexních čísel je také nanejvýš důležitá v kvantové mechanice
protože základní teorie je postavena na (nekonečně rozměrných) Hilbertových prostorech nad C.

Ve speciální a obecné relativitě se některé vzorce pro metriku prostoročasu zjednodušují, pokud se časová proměnná považuje za imaginární.

V diferenciálních rovnicích je běžné
nejprve najít všechny komplexní kořeny r charakteristické rovnice a
lineární diferenciální rovnice a poté se pokusit vyřešit systém
z hlediska základních funkcí tvaru f(t) = ert.

V dynamice tekutin se komplexní funkce používají k popisu potenciálního průtoku ve 2d.

Některé fraktály jsou zakresleny do komplexní roviny např. Mandelbrotova množina a Juliina množina.

Doporučujeme:  Procházka v mých botách, část 1: Bratrova mysl je ztracena

Na první pohled to vypadá jako nesmysl. Formální výpočty s komplexními čísly však ukazují, že rovnice má řešení −i, a . Nahrazením těchto v pořadí pro do kubického vzorce a zjednodušení, jeden dostane 0, 1 a -1 jako řešení

V 18. století pracovali Abraham de Moivre a Leonhard Euler. De Moivreovi vděčí (1730) známá formule, která nese jeho jméno, de Moivreova formule:

a Euler (1748) Euler je vzorec komplexní analýzy:

Existence komplexních čísel byla zcela přijata až v roce 1799, kdy geometrickou interpretaci (viz níže) popsal Caspar Wessel; o několik let později byla znovu objevena a zpopularizována Carlem Friedrichem Gaussem, a v důsledku toho se teorie komplexních čísel výrazně rozšířila. Myšlenka grafického znázornění komplexních čísel se však objevila již v roce 1685 ve Wallisově De Algebra tractatus.

Wesselovy paměti se objevily v Proceedings of the Copenhagen Academy for 1799 a jsou neobyčejně jasné a úplné, dokonce i ve srovnání s moderními díly. On také považuje sféru, a dává kvaternionová teorie, ze které vyvíjí kompletní sférickou trigonometrii. V roce 1804 Abbé Buée nezávisle přišel na stejnou myšlenku, kterou Wallis navrhl, že by měla představovat jednotkovou linii, a její negativní, kolmo k reálné ose. Buée papír nebyl zveřejněn až 1806, v tomto roce Jean-Robert Argand také vydal brožuru na stejné téma. Je to Argandova esej, že vědecký základ pro grafické znázornění komplexních čísel je nyní obecně odkazoval. Nicméně, v 1831 Gauss našel teorii zcela neznámý, a v 1832 zveřejněny jeho hlavní paměti na toto téma, čímž ji výrazně před matematický svět. Zmínit by se mělo i o vynikajícím malém pojednání Moureyho (1828), v němž jsou vědecky položeny základy pro teorii směrových čísel. Všeobecné přijetí teorie je nemálo způsobeno pracemi Augustina Louise Cauchyho a Nielse Henrika Abela, a zejména toho druhého, který jako první směle použil komplexní čísla s úspěchem, který je dobře známý.

Společné pojmy používané v teorii jsou hlavně kvůli zakladatelům. Argand volal směr faktor, a modul; Cauchyova (1828) volal redukované formě (l’výraz réduite); Gauss používané i pro , Zavedl pojem komplexní číslo pro , A volal normu.

Výraz směr koeficient, často používané pro , Je způsobeno Hankel (1867), a absolutní hodnota, pro modulus, je způsobeno Weierstrass.

Po Cauchyho a Gauss přišli řadu přispěvatelů na vysoké hodnosti, z nichž následující mohou být zvláště uvedeny: Kummer (1844), Leopold Kronecker (1845), Scheffler (1845, 1851, 1880), Bellavitis (1835, 1852), Peacock (1845), a De Morgan (1849). Möbius musí být také uvedeno pro jeho četné paměti o geometrické aplikace komplexních čísel, a Dirichletův pro rozšíření teorie zahrnout prvočísla, kongruence, vzájemnost, atd., jako v případě reálných čísel.

Komplexní okruh nebo pole je množina komplexních čísel, která je uzavřena pod sčítání, odčítání a násobení. Gauss studoval komplexní čísla na formě , Kde a a b jsou integrální, nebo racionální (a i je jedním ze dvou kořenů ). Jeho student, Ferdinand Eisenstein, studoval typ , Kde je komplexní kořen . Ostatní takové třídy (tzv. cyklotomické pole) komplexních čísel jsou odvozeny od kořenů jednoty pro vyšší hodnoty . Toto zobecnění je z velké části kvůli Kummer, kteří také vynalezl ideální čísla, které byly vyjádřeny jako geometrické subjekty Felix Klein v roce 1893. Obecná teorie polí byla vytvořena Évariste Galois, kteří studovali pole generované kořeny jakékoli polynomiální rovnice

Mezi pozdní spisovatele (od roku 1884) obecné teorie patří Weierstrass, Schwarz, Richard Dedekind, Otto Hölder, Berloty, Henri Poincaré, Eduard Study a Alexander MacFarlane.

Formálně správná definice pomocí dvojic reálných čísel byla dána v 19. století.