Přizpůsobení křivky je nalezení křivky, která odpovídá řadě datových bodů a případně dalším omezením. Tento oddíl je úvodem jak k interpolaci (kde se očekává přesné přizpůsobení se omezením), tak k analýze přizpůsobení křivky/regrese (kde je povoleno přibližné přizpůsobení).
Přizpůsobení křivek a polynomů datovým bodům
Začněme s polynomiální rovnicí prvního stupně:
Toto je přímka se sklonem A. Víme, že přímka spojí libovolné dva body. Takže polynomiální rovnice prvního stupně je přesný průsečík libovolných dvou bodů.
Pokud zvýšíme pořadí rovnice na druhý stupeň polynomu, dostaneme:
To bude přesně sedět tři body.
Pokud zvýšíme pořadí rovnice na třetí stupeň polynomu, dostaneme:
To se přesně vejde čtyři body.
Obecnější tvrzení by bylo, že přesně vyhovuje čtyřem omezením. Každé omezení může být bod, úhel nebo zakřivení (což je převrácená hodnota poloměru neboli 1/R). Omezení úhlu a zakřivení se nejčastěji přidávají ke koncům křivky a v takových případech se jim říká koncové podmínky. Pro zajištění plynulého přechodu mezi polynomiálními křivkami obsaženými v jednom splinu se často používají shodné koncové podmínky. Přidat by se mohla i omezení vyššího řádu, například „změna rychlosti zakřivení“. To by se například hodilo v návrhu dálničního jeřábu, aby se pochopily síly působící na automobil, protože jede po jeřábu, a aby se podle toho nastavily rozumné rychlostní limity.
Vezmeme-li to v úvahu, polynomiální rovnice prvního stupně by také mohla být přesnou volbou pro jeden bod a úhel, zatímco polynomiální rovnice třetího stupně by také mohla být přesnou volbou pro dva body, omezení úhlu a omezení zakřivení. Pro tyto a pro polynomiální rovnice vyššího řádu je možné mnoho dalších kombinací omezení.
Máme-li více než n + 1 omezení (n je stupeň polynomu), stále můžeme projít polynomiální křivkou přes tato omezení. Přesná shoda se všemi omezeními není jistá (ale může se to stát například v případě polynomu prvního stupně, který přesně odpovídá třem kolineárním bodům). Obecně je pak ale potřeba nějaká metoda pro vyhodnocení každé aproximace. Metoda nejmenších čtverců je jedním ze způsobů, jak odchylky porovnat.
Možná se divíte, proč bychom někdy chtěli získat přibližnou shodu, když můžeme jen zvětšit stupeň polynomiální rovnice a získat přesnou shodu. Důvodů je několik:
Nyní, když jsme mluvili o použití stupně příliš nízkého pro přesné uložení, pojďme také diskutovat o tom, co se stane, pokud je stupeň polynomiální křivky vyšší, než je potřeba pro přesné uložení. To je špatné ze všech důvodů uvedených dříve pro polynomy vysokého řádu, ale také vede k případu, kdy existuje nekonečný počet řešení. Například polynom prvního stupně (přímka) omezený pouze jedním bodem, místo obvyklých dvou, by nám dal nekonečný počet řešení. To přináší problém, jak porovnat a vybrat jen jedno řešení, což může být problém pro software i pro člověka. Z tohoto důvodu je obvykle nejlepší zvolit co nejnižší stupeň pro přesné uložení na všech omezeních, a možná ještě nižší stupeň, pokud je přibližné uložení přijatelné.
Podrobnější informace naleznete v článku Polynomiální interpolace.
Přizpůsobení dalších křivek datovým bodům
V určitých případech mohou být použity i jiné typy křivek, například kuželovité řezy (kruhové, eliptické, parabolické a hyperbolické oblouky) nebo trigonometrické funkce (například sinus a kosinus). Například trajektorie objektů pod vlivem gravitace sledují parabolickou dráhu, když se ignoruje odpor vzduchu. Proto by mělo smysl přiřazovat datové body trajektorie k parabolické křivce. Přílivy sledují sinusové vzory, proto by měly být datové body slapového jevu přiřazovány k sinusové vlně nebo součtu dvou sinusových vln různých period, pokud se vezmou v úvahu vlivy Měsíce a Slunce.
Všimněte si, že zatímco tato diskuse byla z hlediska 2D křivek, velká část této logiky se vztahuje i na 3D povrchy, z nichž každý patch je definován sítí křivek ve dvou parametrických směrech, typicky nazývaných u a v. Povrch může být složen z jednoho nebo více povrchových patchů v každém směru.
Podrobnější informace naleznete v článku Počítačová reprezentace ploch.