Cauchyho-Schwarzova nerovnost, také známá jako Schwarzova nerovnost, Cauchyho nerovnost nebo Cauchyho-Bunjakovského-Schwarzova nerovnost (pojmenovaná po Augustinu Louisi Cauchym, Viktoru Jakovleviči Bunjakovském a Hermannu Amandusi Schwarzovi) je v matematice užitečná nerovnost, se kterou se setkáváme v mnoha různých prostředích, jako je lineární algebra aplikovaná na vektory, v analýze aplikované na nekonečné řady a integraci produktů a v teorii pravděpodobnosti aplikované na odchylky a kovariance.
Prohlášení o nerovnosti
Prohlášení o Cauchyho-Schwarz nerovnosti je:
Pro všechny vektory a reálného nebo komplexního vnitřního produktového prostoru platí následující nerovnost:
nebo, ekvivalentně, tím, že druhou odmocninu z obou stran, a s odkazem na normy z vektorů:
Navíc, obě strany jsou si rovny tehdy a jen tehdy, když a jsou lineárně závislé (nebo, v geometrickém smyslu, jsou rovnoběžné).
Pokud a jsou komponenty a s ohledem na ortonormální základ nerovnosti může být přepracován ve více explicitním způsobem:
Rovnost platí tehdy a jen tehdy, když:
Konečný-dimenzionální případ této nerovnosti pro reálné vektory byl prokázán Cauchyova v 1821, a v 1859 Cauchyho student V.Ya. Bunyakovsky poznamenat, že tím, že limity jeden může získat integrální formu Cauchyho nerovnost. Obecný výsledek pro vnitřní produktový prostor byl získán K.H.A.Schwarz v 1885.
Vzhledem k tomu, že nerovnost je triviální pravda v případě y = 0, můžeme předpokládat, že je nenulová. Dovolit je komplexní číslo. Pak,
což je pravda tehdy a jen tehdy, jestliže
což je Cauchyho-Schwarz nerovnost.
V euklidovském prostoru Rn se standardním vnitřním produktem je Cauchyho-Schwarzova nerovnost
V tomto speciálním případě, alternativní důkaz je následující: Vezměme si polynom v z
Všimněte si, že je to kvadratický polynom a jeho rozlišovací není větší než nula, protože nemá žádné kořeny (pokud nejsou všechny poměry xi/yi stejné), tedy
který přináší Cauchyho-Schwarz nerovnost.
Také, když n = 2 nebo 3, skalární součin souvisí s úhlem mezi dvěma vektory a jeden může okamžitě vidět nerovnost:
Navíc v tomto případě lze Cauchyho-Schwarzovu nerovnost odvodit také z Lagrangeovy identity. Pro n = 3 má Lagrangeova identita podobu
z nichž snadno vyplývá Cauchy-Schwarz.
Pro vnitřní produktový prostor čtvercových integrovatelných komplexních funkcí, jeden má
Zobecnění tohoto je Hölderova nerovnost.
Trojúhelníková nerovnost pro vnitřní součin je často znázorněna jako důsledek Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti, takto: dané vektory x a y,
Vezmeme-li náměstí kořeny dává trojúhelník nerovnost.
Cauchyho-Schwarzova nerovnost umožňuje rozšířit pojem „úhel mezi dvěma vektory“ na jakýkoli skutečný vnitřní produktový prostor, a to definováním:
Cauchyho-Schwarzova nerovnost dokazuje, že tato definice je rozumná, tím, že ukazuje, že pravá strana leží v intervalu , a ospravedlňuje představu, že skutečné vnitřní produktové prostory jsou prostě zobecnění euklidovského prostoru.
Cauchyho–Schwarzova rovnice se používá k prokázání, že vnitřní produkt je spojitou funkcí vzhledem k topologii vyvolané vnitřním produktem samotným.
Cauchyho-Schwarzova nerovnost se obvykle používá k zobrazení Besselovy nerovnosti.
Obecná formulace Heisenbergova principu neurčitosti je odvozena pomocí Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti ve vnitřním produktovém prostoru fyzikálních vlnových funkcí.
Různá zobecnění Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti existují v kontextu teorie operátorů, např. pro operátorově-konvexní funkce a operátorové algebry, kde doména a/nebo rozsah φ jsou nahrazeny C*-algebrou nebo W*-algebrou.
Tato sekce uvádí několik takových nerovností z provozovatele algebra nastavení, dát chuť výsledků tohoto typu.
Pozitivní funkcionály na C*- a W*-algebrách
Protože < f,f > ≥ 0, φ(f*f) ≥ 0 pro všechna f v L2(m), kde f* je bodová konjugace f. Takže φ je kladné. Naopak každé kladné funkční φ dává odpovídající vnitřní součin < f , g >φ = φ(g*f). V tomto jazyce se stává Cauchyho-Schwarzova nerovnost
který rozšiřuje doslovně na pozitivní funkcionály na C*-algebry.
Nyní jsme dát operátor teoretický důkaz pro Cauchyho-Schwarz nerovnost, která přechází do C*-algebra nastavení. Jeden může vidět z důkazu, že Cauchyho-Schwarz nerovnost je důsledkem pozitivity a anti-symetrie vnitřní-produkt axiomy.
Vezměme si kladnou matici
Protože φ je kladná lineární mapa, jejíž rozsah, komplexní čísla C, je komutativní C*-algebra, φ je zcela kladné. Proto
je kladná 2 × 2 skalární matice, což znamená, že má kladný determinant:
To je přesně Cauchyho-Schwarzova nerovnost. Jestliže f a g jsou prvky C*-algebry, f* a g* označují jejich příslušné adjointy.
Z výše uvedeného můžeme také odvodit, že každá kladná lineární funkce je ohraničena, což odpovídá skutečnosti, že vnitřní produkt je společně spojitý.
Pozitivní funkcionály jsou zvláštní případy pozitivních map. Lineární mapa Φ mezi C*-algebrami je považována za pozitivní mapu, pokud a ≥ 0 znamená Φ(a) ≥ 0. Je přirozené se ptát, zda u pozitivních map existují nerovnosti Schwarzova typu. V tomto obecnějším nastavení jsou obvykle k získání takových výsledků zapotřebí dodatečné předpoklady.
Jedna taková nerovnost je následující:
Věta Pokud Φ je jednotková kladná mapa, pak pro každý normální prvek a v jeho doméně máme Φ(a*a) ≥ Φ(a*)Φ(a) a Φ(a*a) ≥ Φ(a)Φ(a*).
Případ, kdy a je samo-adjoint, tj. a = a*, je známý jako Kadisonova nerovnost.
Když Φ je 2-pozitivní, silnější předpoklad než pouze pozitivní, jeden má něco, co vypadá velmi podobně jako původní Cauchyho-Schwarz nerovnost:
Věta (Modifikovaná Schwarzova nerovnost pro 2-pozitivní mapy) Pro 2-pozitivní mapu Φ mezi C*-algebrami, pro všechny a, b ve své doméně,
Jednoduchý argument pro ii) je následující. Vezměme si kladnou matici
je kladná. Požadovaná nerovnost pak vyplývá z vlastností kladných 2 × 2 (operátorových) matic.
Část i) je analogická. Matici lze nahradit