Tento článek ilustruje centrální limitní větu na příkladu, jehož výpočet lze rychle provést ručně na papíře, na rozdíl od výpočetně náročnějšího příkladu v článku s názvem Ilustrace centrální limitní věty. Předpokládejme, že rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X má stejnou váhu na 1, 2 a 3:
Pravděpodobnostní hmotnostní funkci náhodné veličiny X lze znázornit takto:
Je zřejmé, že to nevypadá jako zvonovitá křivka.
Nyní uvažujme součet dvou nezávislých kopií X:
Pravděpodobnostní hmotnostní funkci tohoto součtu lze znázornit takto:
Stále se příliš nepodobá zvonové křivce, ale stejně jako zvonová křivka a na rozdíl od samotné pravděpodobnostní hmotnostní funkce X je vyšší uprostřed než na obou chvostech.
Nyní uvažujme součet tří nezávislých kopií této náhodné veličiny:
Pravděpodobnostní hmotnostní funkci tohoto součtu lze znázornit takto:
Ta je nejen větší ve středu než na chvostu, ale s postupem směrem ke středu z obou chvostů se sklon nejprve zvětšuje a poté zmenšuje, stejně jako u zvonové křivky.
Míru její podobnosti se zvonovitou křivkou můžeme kvantifikovat takto. Uvažujme
Jak blízko je tato hodnota normální aproximaci? Snadno zjistíme, že očekávaná hodnota Y = X1 + X2 + X3 je 6 a směrodatná odchylka Y je druhá odmocnina z 2. Protože Y ≤ 7 (slabá nerovnost) pouze tehdy, když Y < 8 (přísná nerovnost), použijeme korekci spojitosti a hledáme
kde Z má standardní normální rozdělení. Rozdíl mezi 0,85185… a 0,8556… se zdá být pozoruhodně malý, když uvážíme, že počet přidaných nezávislých náhodných proměnných byl pouze tři.