Matematika je často definována jako studium témat, jako je množství, struktura, prostor a změna. Jiný názor, který zastává mnoho matematiků, je, že matematika je soubor znalostí odůvodněných deduktivním odůvodněním, počínaje
Praktická matematika se téměř v každé společnosti používá k takovým účelům, jako je účetnictví, měření půdy a předpovídání astronomických událostí. Matematický objev nebo výzkum často zahrnuje objevování a katalogizaci vzorců bez ohledu na jejich použití. Jiné oblasti poznání, jako jsou přírodní vědy, strojírenství, ekonomie nebo medicína, využívají mnoha nových matematických objevů.
Slovo „matematika“ pochází z řeckého μάθημα (máthēma), což znamená věda, znalosti nebo učení, a μαθηματικός (mathēmatikós), což znamená zálibu v učení. Často se zkracuje matematika v angličtině Commonwealthu a matematika v severoamerické angličtině.
Vývoj matematiky by mohl být chápán jako stále rostoucí řada abstrakcí, nebo alternativně jako rozšíření předmětu. První abstrakce byla pravděpodobně abstrakce čísel. Poznání, že dvě jablka a dva pomeranče mají něco společného, totiž že plní ruce přesně jedné osoby, bylo průlomem v lidském myšlení.
Kromě poznání, jak počítat konkrétní předměty, pravěké národy také poznaly, jak počítat abstraktní veličiny, jako je čas – dny, roční období, roky. Aritmetika (např. sčítání, odčítání, násobení a dělení) přirozeně následovala. Monolitické památky svědčí o znalosti geometrie.
Další kroky vyžadují zápis nebo nějaký jiný systém pro záznam čísel, jako jsou záznamy nebo zauzlované řetězce zvané khipu, které používala říše Inků k ukládání číselných dat. Číselných systémů bylo mnoho a byly různorodé.
Od počátků zaznamenané historie vznikly hlavní obory v matematice z potřeby provádět výpočty v oblasti daní a obchodu, pochopit vztahy mezi čísly, měřit zemi a předpovídat astronomické události. Tyto potřeby mohou zhruba souviset se širokým členěním matematiky, do studia kvantity, struktury, prostoru a změn.
Matematika, protože byla mnohem rozšířena, a tam byl plodný interakce mezi matematikou a vědou, ku prospěchu obou.
Matematické objevy byly učiněny v celé historii a jsou činěny dodnes. Podle Michaila B. Sevryuka v lednovém čísle Bulletinu Americké matematické společnosti z roku 2006 „Počet článků a knih zahrnutých do databáze Matematických recenzí od roku 1940 (první rok fungování MR) je nyní více než 1,9 milionu a každý rok je do databáze přidáno více než 75 tisíc položek. Drtivá většina prací v tomto oceánu obsahuje nové matematické věty a jejich důkaz.“
Inspirace, čistá a aplikovaná matematika a estetika
Matematika vzniká všude tam, kde jsou obtížné problémy, které se týkají množství, struktury, prostoru nebo změny. Zpočátku se vyskytovaly v obchodě, měření země a později v astronomii; dnes všechny vědy naznačují problémy, které studovali matematici, a mnoho problémů vzniká v samotné matematice. Newton vynalezl infinitezimální kalkul a Feynman jeho Feynmanovu cestu integrál pomocí kombinace uvažování a fyzického vhledu, a dnešní teorie strun také inspiruje novou matematiku. Některé matematiky jsou relevantní pouze v oblasti, která je inspirovala, a jsou používány k řešení dalších problémů v této oblasti. Ale často se matematika inspirovaná jednou oblastí ukáže být užitečná v mnoha oblastech a připojuje se k obecnému zásobování matematických pojmů. Pozoruhodný fakt, že i „nejčistší“ matematika se často ukazuje mít praktické využití, je to, co Eugene Wigner nazval „nesmyslnou účinností matematiky“.
Jako ve většině oblastí studia, exploze znalostí ve vědeckém věku vedla ke specializaci v matematice. Jedním z hlavních rozdílů je mezi čistou matematikou a aplikovanou matematikou. V rámci aplikované matematiky se dvě hlavní oblasti oddělily a staly se z nich samostatné disciplíny, statistika a informatika.
Mnoho matematiků mluví o eleganci matematiky, její vnitřní estetice a vnitřní kráse. Cení se jednoduchost a obecnost. Krása je také v chytrém důkazu, jako je Euklidův důkaz, že existuje nekonečně mnoho prvočísel, a v numerické metodě, která urychluje výpočet, jako je rychlá Fourierova transformace. G. H. Hardy v Matematik’s Apology vyjádřil přesvědčení, že tyto estetické úvahy jsou samy o sobě dostačující k ospravedlnění studia čisté matematiky.
Notace, jazyk a rigor
Většina matematické notace, kterou dnes používáme, byla vynalezena až v 16. století. Předtím se matematika psala ve slovech, což byl náročný proces, který omezoval matematické objevy. Moderní notace dělá matematiku mnohem jednodušší pro profesionály, ale začátečníci ji často považují za skličující. Je extrémně komprimovaná: několik symbolů obsahuje velké množství informací. Stejně jako hudební notace má i moderní matematická notace přísnou gramatiku (pod vlivem počítačové vědy, dnes častěji nazývané syntaxe) a kóduje informace, které by bylo obtížné zapsat jiným způsobem.
Matematický jazyk je také těžký pro začátečníky. Dokonce i běžná slova, jako nebo a pouze, mají přesnější významy než v běžné řeči. Matematici, stejně jako právníci, se snaží být co nejjednoznačnější. Také matoucí pro začátečníky je, že slova jako open a field dostala specializované matematické významy a matematický žargon zahrnuje odborné termíny jako „homeomorfismus“ a integrál. Bylo řečeno, že Henri Poincaré byl zvolen do Francouzské akademie pouze proto, aby jim mohl říct, jak definovat automorphe ve svém slovníku. Ale existuje důvod pro zvláštní zápis a technický žargon: matematika vyžaduje větší přesnost než každodenní řeč. Matematici označují tuto přesnost jazyka a logiky jako „rigor“.
Ztuhlost je v zásadě otázkou matematického důkazu. Matematici chtějí, aby jejich věty vyplývaly z axiomů pomocí systematického uvažování. To je proto, aby se předešlo chybným ‚větám‘, založeným na omylných intuicích, z nichž mnoho případů se vyskytlo v historii předmětu (například v matematické analýze). Úroveň přesnosti očekávaná v matematice se v průběhu času měnila; Řekové očekávali podrobné argumenty, ale v době Isaaca Newtona použité metody byly méně důsledné. Problémy spojené s definicemi používanými Newtonem by vedly k oživení pečlivé analýzy a formálního důkazu v 19. století. Dnes se matematici mezi sebou nadále přou o počítačem podporované důkazy. Vzhledem k tomu, že chyby mohou být provedeny ve výpočtu, je takový důkaz dostatečně důsledný?
Axiomy v tradičním myšlení byly „samozřejmé pravdy“, ale toto pojetí je problematické. Na formální úrovni je axiom jen řetězec symbolů, který má vnitřní význam pouze v kontextu všech odvozitelných vzorců axiomatického systému. Cílem Hilbertova programu bylo postavit celou matematiku na pevný axiomatický základ, ale podle Gödelovy věty o neúplnosti má každý (dostatečně silný) axiomatický systém nerozhodnutelné vzorce; a tak je konečná axiomatizace matematiky nedostupná. Nicméně matematika je často představována jako (pokud jde o její formální obsah) nic jiného než teorie množin v nějaké axiomatizaci v tom smyslu, že každý matematický výrok nebo důkaz by mohl být vhozen do vzorců v rámci teorie množin.
Carl Friedrich Gauss se o matematice zmiňoval jako o „královně věd“.
Pokud se věda považuje striktně za fyzikální svět, pak matematika, nebo alespoň čistá matematika, není vědou. Alternativní názor je, že některé vědecké obory (jako je teoretická fyzika) jsou matematika s axiomy, které mají odpovídat realitě. Ve skutečnosti teoretický fyzik, J. M. Ziman, navrhl, že věda je veřejně známá a zahrnuje tedy i matematiku.
V každém případě má matematika mnoho společného s mnoha obory ve fyzikálních vědách, zejména s
zkoumáním logických důsledků předpokladů. Intuice a experimentování hrají také roli při formulování dohadů jak v matematice, tak v (jiných) vědách.
Přehled oborů matematiky
Jak je uvedeno výše, hlavní obory v rámci matematiky vznikly nejprve z potřeby provádět výpočty v obchodě, pochopit vztahy mezi čísly, měřit zemi a předpovídat astronomické události. Tyto čtyři potřeby lze zhruba vztáhnout k širokému členění matematiky na studium kvantity, struktury, prostoru a změn (tj. aritmetika, algebra, geometrie a analýza). Kromě těchto hlavních zájmů existují také členění věnovaná zkoumání vazeb ze srdce matematiky na jiné obory: na logiku, na teorii množin (základy) a na empirickou matematiku různých věd (aplikovaná matematika).
Studium kvantity začíná čísly, nejprve známými přirozenými čísly a celými čísly a jejich aritmetickými operacemi, které jsou charakterizovány v aritmetice. Hlubší vlastnosti celých čísel jsou studovány v teorii čísel.
Studium struktury začalo výzkumem Pythagorových trojčíslí. Neolitické památky na Britských ostrovech jsou konstruovány pomocí Pythagorových trojčíslí. Nakonec to vedlo k vynálezu abstraktnějších čísel, jako je druhá odmocnina ze dvou. Hlubší strukturální vlastnosti čísel jsou studovány v abstraktní algebře a zkoumání skupin, prstenců, polí a dalších abstraktních číselných soustav. Zahrnut je důležitý koncept vektorů, zobecněný na vektorové prostory a studovaný v lineární algebře. Studium vektorů kombinuje tři ze základních oblastí matematiky, množství, strukturu a prostor.
Studium vesmíru má původ v geometrii, začíná euklidovskou geometrií. Trigonometrie kombinuje prostor a číslo. Moderní studium vesmíru zobecňuje tyto myšlenky tak, aby zahrnovaly geometrii vyšších dimenzí, neeuklidovské geometrie (které hrají ústřední roli v obecné relativitě) a topologii. Kvantita a prostor hrají roli v analytické geometrii, diferenciální geometrii a algebraické geometrii. V rámci diferenciální geometrie jsou pojmy svazků vláken, kalkul na rozvodech. V rámci algebraické geometrie je popis geometrických objektů jako množin řešení polynomiálních rovnic, kombinujících pojmy kvantita a prostor, a také studium topologických skupin, které kombinují strukturu a prostor. Lež skupiny se používají ke studiu prostoru, struktury a změn. Topologie ve všech svých četných rozvětveních může být největší růstovou oblastí v matematice 20. století.
Pochopení a popis změny je v přírodních vědách běžným tématem a jako nejužitečnější nástroj byl vyvinut kalkul. Ústřední pojem používaný k popisu měnící se veličiny je pojem funkce. Mnoho problémů vede zcela přirozeně ke vztahům mezi veličinou a její rychlostí změny a metodami diferenciálních rovnic. Čísla používaná k reprezentaci spojitých veličin jsou reálná čísla a podrobné studium jejich vlastností a vlastností reálně oceněných funkcí je známé jako reálná analýza. Ty byly zobecněny, se zahrnutím druhé odmocniny záporné jedničky, na komplexní čísla, která jsou studována v komplexní analýze. Funkční analýza zaměřuje pozornost na (typicky nekonečně dimenzionální) prostory funkcí. Jednou z mnoha aplikací funkční analýzy je kvantová mechanika. Mnoho jevů v přírodě lze popsat dynamickými systémy; teorie chaosu zpřesňuje způsoby, kterými mnoho z těchto systémů vykazuje nepředvídatelné, ale přesto stále deterministické chování.
Kromě kvantity, struktury, prostoru a změn existují oblasti čisté matematiky, k nimž lze přistupovat pouze deduktivním uvažováním. Za účelem objasnění základů matematiky byly vyvinuty oblasti matematické logiky a teorie množin. Matematická logika, která se dělí na teorii rekurze, teorii modelů a teorii důkazu, je nyní úzce spjata s informatikou. Když byly poprvé vymyšleny elektronické počítače, několik základních teoretických pojmů v informatice bylo formulováno matematiky, což vedlo k oblastem teorie vyčíslitelnosti, teorie výpočetní složitosti a teorie informací. Mnohá z těchto témat jsou nyní zkoumána v teoretické informatice. Diskrétní matematika je běžný název pro oblasti matematiky, které jsou v informatice nejužitečnější.
Hlavní témata v matematice
K dispozici je abecední a podřazený seznam článků z matematiky. Následující seznam témat a odkazů poskytuje pouze jeden možný pohled. Pro podrobnější zpracování viz oblasti matematiky nebo seznam seznamů z matematiky.
Více viz seznam dohadů
Dějiny a svět matematiků
Matematika a další obory
Matematika není uzavřený intelektuální systém, ve kterém se už všechno vyřešilo. Není nouze o otevřené problémy.
Pseudomatematika je forma činnosti podobné matematice vykonávaná mimo akademickou půdu a občas i samotnými matematiky. Často se skládá z odhodlaných útoků na slavné otázky, sestávajících z pokusů o důkaz provedených izolovaným způsobem (tedy dlouhých prací nepodporovaných dříve publikovanou teorií). Vztah k obecně uznávané matematice je podobný vztahu mezi pseudovědou a reálnou vědou. Chybné představy, které jsou s tím spojeny, jsou obvykle založeny na:
Případ práce Kurta Heegnera ukazuje, že matematické zřízení není ani neomylné, ani neochotné přiznat chybu při posuzování ‚amatérské‘ práce. A stejně jako astronomie, i matematika vděčí za mnohé amatérským přispěvatelům, jako jsou Fermat a Mersenne.
Matematika není účetnictví. I když jsou aritmetické výpočty pro účetní klíčové, jejich hlavním zájmem je ověřit správnost výpočtů pomocí systému dvojitých kontrol. Pokroky v abstraktní matematice jsou většinou irelevantní pro efektivitu konkrétního účetnictví, ale použití počítačů zjevně má význam.
Matematika není numerologie. Numerologie používá modulární aritmetiku k redukci jmen a dat na čísla, ale přiřazuje těmto číslům emoce nebo znaky intuitivně nebo na základě tradic.
Matematické pojmy a věty nemusejí odpovídat ničemu ve fyzikálním světě. Například v případě geometrie není pro matematiku podstatné vědět, zda body a čáry existují v nějakém fyzikálním smyslu, protože geometrie vychází z axiomů a postuluje abstraktní entity zvané „body“ a „čáry“, které vkládáme do systému. Tyto axiomy jsou sice odvozeny z našeho vnímání a zkušenosti, ale nejsou na nich závislé. A přesto je matematika nesmírně užitečná pro řešení problémů reálného světa. Právě tato skutečnost vedla Eugena Wignera k napsání eseje na téma The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (Nepřiměřená efektivita matematiky v přírodních vědách).
Matematika není o neomezeném dokazování vět, stejně jako literatura není o konstrukci gramaticky správných vět. Nicméně, věty jsou prvky formálních teorií a v některých případech mohou počítače generovat důkazy těchto vět více či méně automaticky, pomocí automatizovaných proverů vět. Tyto techniky se ukázaly jako užitečné při formálním ověřování programů a hardwarových návrhů. Nicméně je nepravděpodobné, že by generovaly (alespoň v blízké době) matematiku s nějakou obecně uznávanou estetickou hodnotou.
Najít tuto stránku na Wiktionary:
Matematika