Kardinální čísla jsou v lingvistice označení pro číselná slova, která se používají pro množství (jedna, dvě, tři), na rozdíl od obyčejných čísel, tedy slov, která se používají pro pořadí (první, druhé, třetí). Viz názvy čísel v angličtině.
Alef-0, nejmenší nekonečný kardinál
Kardinální čísla nebo zkráceně kardinálové jsou v matematice zobecněný druh čísla, který se používá k označení velikosti množiny. Zatímco u konečných množin je velikost dána přirozeným číslem – počet prvků – kardinální čísla (kardinalita) mohou také klasifikovat stupně nekonečna. Na jedné straně vlastní podmnožina A nekonečné množiny S může mít stejnou kardinalitu jako S. Na druhé straně, možná také kontraintuitivně, ne všechny nekonečné objekty mají stejnou velikost. Existuje formální charakterizace toho, jak jsou některé nekonečné objekty striktně menší než jiné nekonečné objekty.
Pojmy kardinálnosti jsou zakotveny ve většině oborů matematiky a jsou nezbytné pro jejich studium. Kardinálnost je také oblast studovaná sama o sobě jako součást teorie množin, zejména ve snaze popsat vlastnosti velkých kardinálů.
Pojem kardinálnosti, jak je dnes chápán, formuloval Georg Cantor, původce teorie množin, v letech 1874-1884.
Nejprve stanovil kardinalitu jako nástroj pro srovnání konečných množin; např. množiny {1,2,3} a {2,3,4} nejsou stejné, ale mají stejnou kardinalitu, a to tři.
Cantor identifikoval, že skutečnost, že one-to-one korespondence je způsob, jak říct, že dvě množiny mají stejnou velikost, tzv. „kardinalita“, v případě konečných množin. Pomocí této one-to-one korespondence, převedl koncept do nekonečných množin; např. množina přirozených čísel N = {0, 1, 2, 3, …}. Nazval tyto kardinální čísla transfinite kardinální čísla, a definoval všechny množiny, které měly one-to-one korespondence s N být denumerably nekonečné množiny.
Pojmenování tohoto kardinální číslo , aleph-null, Cantor prokázal, že jakýkoli neomezený podmnožina N má stejnou kardinalitu jako N, i když by to mohlo být proti intuici na první. Ten také prokázal, že soubor všech objednaných párů přirozených čísel je denumerably nekonečný, a později, že soubor všech algebraických čísel je denumerably nekonečný. Každé algebraické číslo může být zakódován jako konečný sled celá, která jsou koeficienty v polynomiální rovnice, z nichž je řešení, tj. objednané n-tuple .
V jeho 1874 papíru Cantor prokázal, že existují vyšší-pořadí kardinálních čísel (a tak teorie je smysluplný) tím, že ukazuje, že soubor reálných čísel má kardinalitu větší než N. Jeho původní prezentace používal komplexní argument s vnořené intervaly, ale v roce 1891 papíru mu ukázal stejný výsledek pomocí důmyslné, ale jednoduché Cantor je diagonální argument. Tento nový kardinální číslo, tzv. kardinalita kontinua, byl označen c Cantor.
Cantor také vyvinul hodně z obecné teorie kardinálních čísel; prokázal, že existuje transfinitní kardinální číslo, které je nejmenší (, aleph-null) a že pro každé kardinální číslo, existuje další-větší kardinál ().
Hypotéza kontinua je předpoklad, že c je stejný jako , Ale to bylo zjištěno, že je nezávislý na standardních axiomů matematické teorie množin; to nemůže být prokázáno ani vyvráceno v rámci standardních předpokladů.
V neformálním použití je kardinální číslo to, co se běžně označuje jako počítací číslo. Mohou být identifikována přirozenými čísly začínajícími na 0 (tj. 0, 1, 2, …).
Počítací čísla jsou přesně to, co lze formálně definovat jako konečná kardinální čísla. Nekonečné kardinály se vyskytují pouze v matematice a logice vyšší úrovně.
Intuice formální definice kardinála je konstrukce pojmu relativní velikost nebo „velikost“ množiny bez odkazu na druh členů, které má. U konečných množin je to snadné; člověk prostě počítá počet prvků, které množina má. Aby bylo možné porovnat velikosti větších množin, je nutné apelovat na jemnější pojmy.
Množina Y je alespoň tak velká jako, nebo větší nebo rovna množině X, pokud existuje injekční (one-to-one) mapování od prvků X k prvkům Y. Mapování one-to-one identifikuje každý prvek množiny X s jedinečným prvkem množiny Y. To je nejsnáze pochopitelné na příkladu; předpokládejme, že máme množiny X = {1,2,3} a Y = {a,b,c,d}, pak pomocí tohoto pojmu velikosti bychom pozorovat, že existuje mapování:
Všimněte si, že prvek d nemá žádné mapování prvku, ale to je povoleno, protože požadujeme pouze mapování jedna ku jedné, a ne nutně mapování jedna ku jedné a na ni. Výhodou tohoto pojmu je, že může být rozšířen na nekonečné množiny.
Klasickým příkladem je nekonečný hotelový paradox, nazývaný také Hilbertův paradox Grand hotelu. Předpokládejme, že jste hostinským v hotelu s nekonečným počtem pokojů. Hotel je plný a pak přijde nový host. Je možné vměstnat extra hosta tím, že požádáte hosta, který byl v pokoji 1, aby se přesunul do pokoje 2, hosta v pokoji 2, aby se přesunul do pokoje 3 a tak dále, takže pokoj 1 zůstane volný. Můžeme explicitně napsat segment tohoto mapování:
Tímto způsobem můžeme vidět, že množina {1,2,3,…} má stejnou kardinalitu jako množina {2,3,4,…} od doby, kdy byla ukázána bijekce mezi první a druhou. To motivuje definici nekonečné množiny jako jakékoli množiny, která má vlastní podmnožinu stejné kardinality; v tomto případě {2,3,4,…} je vlastní podmnožina {1,2,3,…}.
Při zvažování těchto velkých objektů bychom také mohli chtít zjistit, zda se pojem pořadí počítání shoduje s pojmem kardinál definovaným výše pro tyto nekonečné množiny. Stává se, že tomu tak není; při zvažování výše uvedeného příkladu můžeme vidět, že pokud existuje nějaký objekt „jedna větší než nekonečno“, pak musí mít stejnou kardinalitu jako nekonečná množina, se kterou jsme začínali. Je možné použít jiný formální pojem pro číslo, nazývaný ordinály, založený na myšlence počítání a zvažování každého čísla v pořadí, a zjistíme, že pojmy kardinalita a ordinálita jsou rozdílné, jakmile se posuneme od konečných čísel.
Lze dokázat, že mohutnost reálných čísel je větší než mohutnost právě popsaných přirozených čísel. To lze vizualizovat pomocí Cantorova úhlopříčkového argumentu;
klasické otázky mohutnosti (například hypotéza kontinua) se zabývají zjišťováním, zda existuje nějaký kardinál mezi nějakou dvojicí dalších nekonečných kardinálů. V novější době matematici popisovali vlastnosti větších a větších kardinálů.
Vzhledem k tomu, že kardinalita je v matematice tak běžným pojmem, používá se celá řada jmen. Stejnost kardinality se někdy označuje jako ekvipotence, ekvipotence nebo rovnoměrnost. Říká se tedy, že dvě množiny se stejnou kardinalitou jsou, respektive ekvipotentní, ekvipotentní nebo rovnoměrné.
Formálně, za předpokladu axiomu volby, je kardinalita množiny X nejmenší ordinální α taková, že existuje bijekce mezi X a α. Tato definice je známá jako von Neumannovo kardinální přiřazení. Pokud se axiom volby nepředpokládá, musíme udělat něco jiného. Nejstarší definice kardinality množiny X (implicitní v Cantoru a explicitní v Frege a Principia Mathematica) je množina všech množin, které jsou stejně početné s X: to nefunguje v ZFC nebo jiných souvisejících systémech axiomatické teorie množin, protože tato kolekce je příliš velká na to, aby byla množinou, ale funguje to v teorii typů a v New Foundations a souvisejících systémech. Pokud však omezíme z této třídy na ty stejně početné s X, které mají nejmenší hodnost, pak to bude fungovat (to je trik díky Daně Scottové: funguje to, protože kolekce objektů s jakoukoli danou hodností je množina).
Můžeme definovat aritmetické operace na kardinálních číslech, které zobecňují běžné operace na přirozených číslech. Lze ukázat, že u konečných kardinálů se tyto operace shodují s běžnými operacemi na přirozených číslech. Tyto operace navíc sdílejí mnoho vlastností s obyčejnou aritmetikou.
Pokud je axiom volby, každý kardinál κ má nástupce κ+ > κ a mezi κ a jeho nástupcem nejsou žádní kardinálové. Pro konečné kardinály je nástupcem jednoduše κ+1. Pro nekonečné kardinály se nástupce kardinála liší od nástupce ordinálu.
Jsou-li X a Y disjunktní, sčítání je dáno spojením X a Y. Nejsou-li obě množiny již disjunktní, pak mohou být nahrazeny disjunktními množinami, tj. nahrazením X X X×{0} a Y Y Y×{1}.
Nula je aditivní identita κ + 0 = 0 + κ = κ.
Sčítání je asociativní (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν).
Sčítání je komutativní κ + μ = μ + κ.
Sčítání neklesá v obou argumentech:
Přidání nekonečných kardinálních čísel (za předpokladu axiomu volby) je snadné. Pokud je jedno nebo je nekonečné, pak
Odčítání nelze definovat pro nekonečné kardinály.
Produkt kardinálů pochází z kartézského produktu.
κ·μ = 0 (κ = 0 nebo μ = 0).
Jedním z nich je multiplikativní identita κ·1 = 1·κ = κ.
Násobení je asociativní (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν).
Násobení je komutativní κ·μ = μ·κ.
Násobení je neklesající v obou argumentech:
κ ≤ μ (κ·ν ≤ μ·ν a ν·κ ≤ ν·μ).
Násobení se distribuuje přes sčítání:
κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν a
(μ + ν)·κ = μ·κ + ν·κ.
Násobení nekonečných kardinálních čísel (za předpokladu axiomu volby) je také snadné. Pokud je buď κ nebo μ nekonečné a obojí je nenulové, pak
Dělení nelze definovat pro nekonečné kardinály.
Exponenciace je dána
kde XY je množina všech funkcí od Y do X.
Exponenciace neklesá v obou argumentech:
Použitím Königovy věty lze dokázat, že κ < κcf(κ) a κ < cf(2κ) je pro libovolné nekonečné kardinální κ, kde cf(κ) je kofinalita κ.