Möbiova páska, povrch pouze s jednou stranou a jedním okrajem; takové tvary jsou předmětem studia v topologii.
Topologie (řecký topos, místo a loga, studium) je obor matematiky zabývající se prostorovými vlastnostmi dochovanými za bicontinuální deformace (roztahování bez trhání nebo lepení); jedná se o topologické invarianty. Když byla tato disciplína poprvé řádně založena, v prvních letech 20. století, byla ještě nazývána geometria situs (latinská geometrie místa) a analýza situs (latinská analýza místa). Přibližně od roku 1925 do roku 1975 to byla nejdůležitější růstová oblast v rámci matematiky.
Topologie také odkazuje na konkrétní matematický objekt studovaný v této oblasti. V tomto smyslu je topologie rodina otevřených množin, která obsahuje prázdnou množinu a celý prostor. Pokud je rodina množin v topologii, pak její sjednocení musí být v topologii. Pokud je konečná rodina množin v topologii, pak její průnik musí být v topologii. Množina vybavená topologií se nazývá topologický prostor. Zbytek tohoto článku se zabývá oborem matematiky známým jako topologie.
Topologie bývá někdy nazývána geometrií pryžového plechu, protože nerozlišuje mezi kruhem a čtvercem (kruh vytvořený z pryžové pásky lze natáhnout do čtverce), ale rozlišuje mezi kruhem a číslicí osm (číslici osm nelze natáhnout do kruhu bez roztržení). Prostory studované v topologii se nazývají topologické prostory. Liší se od známých rozvodů až po některé velmi exotické konstrukce.
Topologie zavedla nový geometrický jazyk (zjednodušené komplexy, homotopie, cohomologie, Poincarého dualita, fibrace, vektorové svazky, snopy, charakteristické třídy, Morseovy funkce, homologická algebra, spektrální posloupnosti). Měla zásadní vliv na oblasti diferenciální geometrie, algebraické geometrie, dynamických systémů a parciálních diferenciálních rovnic ve velkých a několika komplexních proměnných. Geometrie ve smyslu Michaela Atiyaha a jeho školy nyní zahrnuje toto vše. Interně k předmětu, topologie bodových množin nebo obecná topologie je studium topologických prostorů bez dalších omezení; jiné oblasti se zabývají topologickými prostorami, které vypadají spíše jako rozvody. Patří mezi ně algebraická topologie (která vyrostla z kombinatorické topologie), geometrická topologie, nízkodimenzionální topologie zabývající se například teorií uzlů a diferenciální topologie. Tento článek je obecným přehledem topologie. Přesnější matematické definice viz topologické prostory nebo jeden z více specializovaných článků uvedených níže. Glosář topologie obsahuje definice pojmů používaných v celé topologii.
Sedm mostů Königsberg je slavný problém v topologii.
Kořen topologie byl ve studiu geometrie ve starověkých kulturách. Leibniz byl první, kdo zaměstnal termín analysus situs, později zaměstnán v 19. století odkazovat na to, co je nyní známé jako topologie. Leonhard Euler na 1736 papír o Sedm mostů Königsberg je považován za jeden z prvních topologických výsledků.
Georg Cantor, vynálezce teorie množin, začal studovat teorii bodových množin v euklidovském prostoru, v pozdější části 19. století, v rámci svého studia Fourierovy řady.
Henri Poincaré zveřejnila analýzu Situs v roce 1895, zavádí pojmy homotopie a homologie.
Maurice Fréchet, sjednocující práci na funkce prostorů Cantor, Volterra, Arzelà, Hadamard, Ascoli a další, představil pojem metrický prostor v roce 1906.
V roce 1914 Felix Hausdorff zobecnil pojem metrický prostor, vytvořil termín „topologický prostor“ a dal definici pro to, co se dnes nazývá Hausdorffův prostor.
Další mírné zobecnění v roce 1922 od Kazimierze Kuratowského dává dnešní koncept topologického prostoru.
Termín „topologie“ byl zaveden v němčině v roce 1847 Johannem Benedictem Listingem v časopise Vorstudien zur Topologie, Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen, s. 67, 1848. Výpis však používal toto slovo již deset let v korespondenci. „Topologie“, jeho anglická podoba, byla zavedena v roce 1883 v časopise Nature, aby odlišila „kvalitativní geometrii od běžné geometrie, ve které jsou zpracovány především kvantitativní vztahy“. Samostatný status topologa, specialisty na topologii, byl použit v roce 1905 v časopise Spectator.
Toroid ve třech rozměrech; Šálek kávy a kobliha jsou topologicky nerozeznatelné od tohoto toroidu.
Topologické prostory se přirozeně objevují v matematické analýze, abstraktní algebře a geometrii. Díky tomu se topologie stala jednou z velkých sjednocujících myšlenek matematiky. Obecná topologie, neboli topologie bodových množin, definuje a studuje některé užitečné vlastnosti prostorů a map, jako je spojitost, kompaktnost a kontinuita. Algebraická topologie je mocným nástrojem pro studium topologických prostorů a map mezi nimi. Spojuje „diskrétní“, více vypočitatelné invarianty s mapami a prostory, často funkcionálním způsobem. Nápady z algebraické topologie měly silný vliv na algebru a algebraickou geometrii.
Podobně chlupatá kuličková věta algebraické topologie říká, že „nelze česat vlasy na kuličce hladké“. Tato skutečnost je pro většinu lidí okamžitě přesvědčivá, i když by možná nepoznali formálnější vyjádření věty, že na kouli neexistuje žádné plynulé tečné vektorové pole. Stejně jako u Königsbergových mostů nezávisí výsledek na přesném tvaru koule; platí pro hruškovité tvary a ve skutečnosti pro jakýkoliv druh kuličky (za určitých podmínek na hladkost povrchu), pokud nemá žádné otvory.
Aby bylo možné řešit tyto problémy, které nespoléhají na přesný tvar objektů, musí být jasné, na jaké vlastnosti tyto problémy spoléhají. Z této potřeby vzniká pojem topologické ekvivalence. Nemožnost překročit každý most jen jednou se vztahuje na jakékoli uspořádání mostů topologicky ekvivalentní těm v Königsbergu a vlasatá kuličková věta se vztahuje na každý prostor topologicky ekvivalentní kouli. Formálně jsou dva prostory topologicky ekvivalentní, pokud je mezi nimi homeomorfismus. V takovém případě jsou prostory považovány za homeomorfní a jsou považovány za v podstatě stejné pro účely topologie.
Formálně je homeomorfismus definován jako spojitá bijekce s kontinuální inverzí, což není příliš intuitivní ani pro toho, kdo ví, co slova v definici znamenají. Neformální kritérium dává lepší vizuální smysl: dva prostory jsou topologicky ekvivalentní, pokud lze jeden deformovat do druhého, aniž by se rozebral nebo slepil kousky k sobě. Tradiční vtip je v tom, že topoložka nerozezná šálek kávy, ze kterého pije, od koblihy, kterou jí, protože dostatečně poddajná kobliha by mohla být přetvořena do podoby šálku kávy vytvořením dolíčku a jeho postupným zvětšováním, zatímco otvor by se zmenšil do držadla.
Jedním jednoduchým úvodním cvičením je klasifikace malých písmen anglické abecedy podle topologické ekvivalence. Pro jednoduchost se předpokládá, že řádky písmen mají nenulovou šířku. Pak ve většině písem v moderním použití existuje třída {a,b,d,e,o,p,q} písmen s jednou dírkou, třída {c,f,h,k,l,m,n,r,s,t,u,v,w,x,y,z} písmen bez dírky a třída {i,j} písmen skládající se ze dvou kusů. g může buď patřit do třídy s jednou dírkou, nebo být jediným prvkem třídy písmen se dvěma dírkami, podle toho, zda je ocas zavřený nebo ne. Pro složitější cvik lze předpokládat, že řádky mají nulovou šířku; lze získat několik různých klasifikací podle toho, které písmo je použito. Topologie písmen má praktický význam ve vzorníkové typografii: Písmo Braggadocio může být například vystřiženo z roviny, aniž by se rozpadlo.
Některé věty v obecné topologii
Některé užitečné pojmy z algebraické topologie
Nástin hlubší teorie
Občas je třeba použít nástroje topologie, ale „množina bodů“ není k dispozici. V nesmyslné topologii se místo toho uvažuje o mříži otevřených množin jako základní pojem teorie, zatímco Grothendieck topologie jsou určité struktury definované na libovolné kategorie, které umožňují definici snopy na těchto kategoriích, a s tím definice zcela obecné teorie cohomology.