Nebyl nakloněn psychologii a vytvořil termín antipsychologismus.
V dětství se Frege setkal s filozofií, která se stala vodítkem pro jeho budoucí vědeckou kariéru. Jeho otec například napsal učebnici německého jazyka pro děti ve věku 9-13 let s názvem Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2. vydání, Wismar, 1850; 3. vydání, Wismar a Ludwigslust: Hinstorff, 1862), jejíž první část se zabývala strukturou a logikou jazyka.
Studium na univerzitě: (1869 – 1874): Jena a Göttingen
Frege se na jaře 1869 jako občan Severoněmeckého spolku zapsal na univerzitu v Jeně. Během čtyř semestrů studia navštěvoval přibližně dvacet přednášek, většinou z matematiky a fyziky. Jeho nejvýznamnějším učitelem byl Ernst Karl Abbe (1840-1905) (fyzik, matematik a vynálezce). Abbe přednášel teorii gravitačního galvanismu a elektrodynamiku, teorii komplexní analýzy funkcí komplexní proměnné, aplikace fyziky, vybrané oddíly mechaniky a mechaniku těles. Abbe byl pro Fregeho víc než jen učitel: byl to důvěrný přítel a jako ředitel výrobce optických přístrojů Carl Zeiss AG měl možnost Fregeho kariéru rozvíjet. Po Fregově promoci si začali blíže dopisovat.
V roce 1873 získal Frege doktorát u Ernsta Scheringa s disertační prací „Über eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene“ („O geometrickém zobrazení imaginárních forem v rovině“), v níž se snažil vyřešit tak zásadní problémy geometrie, jako je matematická interpretace nekonečně vzdálených (imaginárních) bodů projektivní geometrie.
Frege se 14. března 1887 oženil s Margaretou Katharinou Sophií Annou Liesebergovou (15. února 1856 – 25. června 1904).
Titulní strana Begriffsschrift (1879)
Frege v podstatě vynalezl axiomatickou predikátovou logiku, z velké části díky svému vynálezu kvantifikovaných proměnných, které se nakonec staly v matematice a logice všudypřítomné a které vyřešily problém vícenásobné obecnosti. Předchozí logika se zabývala logickými konstantami a, nebo, jestliže …, pak …., ne a některé a všechny, ale iterace těchto operací, zejména „některé“ a „všechny“, byly málo srozumitelné: dokonce i rozdíl mezi dvojicí vět typu „každý chlapec miluje nějakou dívku“ a „nějakou dívku miluje každý chlapec“ bylo možné znázornit jen velmi uměle, zatímco Fregeho formalismus neměl potíže vyjádřit různá čtení „každý chlapec miluje nějakou dívku, která miluje nějakého chlapce, který miluje nějakou dívku“ a podobných vět, a to zcela paralelně s jeho zpracováním například „každý chlapec je hloupý“.
Často se uvádí, že Aristotelova logika není schopna reprezentovat ani ty nejelementárnější závěry v Euklidově geometrii, ale Fregeho „pojmový zápis“ dokáže reprezentovat závěry zahrnující neomezeně složité matematické výroky. Analýza logických pojmů a mechanismus formalizace, které jsou zásadní pro Principia Mathematica (3 svazky, 1910-1913) (autorů Bertranda Russella, 1872-1970, a Alfreda Northa Whiteheada, 1861-1947), pro Russellovu teorii deskripce, pro věty o neúplnosti Kurta Gödela (1906-1978) a pro teorii pravdy Alfreda Tarského (1901-1983), jsou nakonec zásluhou Fregeho.
Jedním z Fregových cílů bylo izolovat skutečně logické principy odvozování, aby se při správném zobrazení matematického důkazu nikdo neodvolával na „intuici“. Pokud by se vyskytl intuitivní prvek, měl být izolován a reprezentován samostatně jako axiom: od té chvíle měl být důkaz čistě logický a bez mezer. Poté, co Frege ukázal tuto možnost, bylo jeho hlavním cílem obhájit názor, že aritmetika je odvětvím logiky, názor známý jako logicismus: na rozdíl od geometrie se mělo ukázat, že aritmetika nemá žádný základ v „intuici“ a nepotřebuje nelogické axiomy. Již v Begriffsschrift z roku 1879 byly v rámci toho, co Frege chápal jako čistou logiku, odvozeny důležité předběžné věty, například zobecněná forma zákona trichotomie.
Tuto myšlenku formuloval v nesymbolických termínech v knize Die Grundlagen der Arithmetik (1884) (Základy aritmetiky). Později se Frege ve svých Grundgesetze der Arithmetik (Základní zákony aritmetiky) (1. díl, 1893; 2. díl, 1903) (2. díl vydal vlastním nákladem) pokusil odvodit pomocí své symboliky všechny zákony aritmetiky z axiomů, které prohlásil za logické. Většina těchto axiomů byla přenesena z jeho Begriffsschrift, i když ne bez některých významných změn. Jediným skutečně novým principem byl princip, který nazval základní zákon V: „rozsah hodnot“ funkce f(x) je stejný jako „rozsah hodnot“ funkce g(x) tehdy a jen tehdy, když ∀x[f(x) = g(x)].
Ve slavné epizodě Bertrand Russell napsal Fregovi, právě když se v roce 1903 chystal do tisku 2. díl Grundgesetze, a ukázal, že Russellův paradox lze odvodit z Fregeho základního zákona V. Ve Fregově systému je snadné definovat vztah příslušnosti množiny nebo rozšíření; Russell pak upozornil na „množinu věcí x, které jsou takové, že x není členem x“. Ze systému Grundgesetze vyplývá, že takto charakterizovaná množina je i není členem sebe sama, a je tedy nekonzistentní. Frege napsal narychlo a na poslední chvíli dodatek k 2. dílu, v němž tento rozpor odvodil a navrhl jeho odstranění úpravou základního zákona V. Frege dodatek otevřel mimořádně upřímnou poznámkou: „Sotva může vědeckého spisovatele potkat něco nešťastnějšího než to, že se po dokončení díla otřese jeden ze základů jeho stavby. Do takové situace mě dostal dopis pana Bertranda Russella, právě když se tisk tohoto svazku blížil ke konci.“ (Tento dopis a Fregeho odpověď jsou přeloženy v knize Jean van Heijenoort 1967).
Následně se ukázalo, že Fregeho navrhovaná náprava znamená, že v univerzu diskurzu existuje pouze jeden objekt, a tudíž je bezcenná (ve skutečnosti by to znamenalo rozpor ve Fregeho systému, kdyby axiomatizoval myšlenku, která je pro jeho diskusi zásadní, že Pravda a Nepravda jsou odlišné objekty; viz například Dummett 1973), ale nedávné práce ukázaly, že velkou část programu Grundgesetze lze zachránit jinými způsoby:
Fregovo dílo v oblasti logiky se těšilo malé mezinárodní pozornosti až do roku 1903, kdy Russell napsal dodatek k Principům matematiky, v němž uvedl své neshody s Fregem. Diagramatický zápis
který Frege používal, neměl žádné předchůdce (a od té doby neměl žádné napodobitele). Navíc až do vydání Russellova a Whiteheadova díla Principia Mathematica (3 svazky) v letech 1910-13 stále převládal přístup k matematické logice George Boola (1815-1864) a jeho intelektuálních následovníků, zejména Ernsta Schrödera (1841-1902). Fregovy logické myšlenky se nicméně šířily prostřednictvím spisů jeho žáka Rudolfa Carnapa (1891-1970) a dalších obdivovatelů, zejména Bertranda Russella a Ludwiga Wittgensteina (1889-1951).
Frege je jedním ze zakladatelů analytické filosofie, především díky svému přínosu k filosofii jazyka, včetně jeho díla
Jako filozof matematiky Frege napadl psychologistický apel na mentální vysvětlení obsahu úsudku o významu vět. Jeho původní záměr byl velmi vzdálen odpovědím na obecné otázky o významu; místo toho vymyslel svou logiku, aby prozkoumal základy aritmetiky a zavázal se odpovědět na otázky typu „Co je číslo?“ nebo „K jakým objektům se vztahují slova čísla („jedna“, „dvě“ atd.)?“. Při zkoumání těchto otázek však nakonec zjistil, že analyzuje a vysvětluje, co je to význam, a dospěl tak k několika závěrům, které se ukázaly jako velmi důležité pro další vývoj analytické filozofie a filozofie jazyka.
Je třeba mít na paměti, že Frege byl zaměstnán jako matematik, nikoli jako filozof, a své filozofické práce publikoval ve vědeckých časopisech, které byly často mimo německy mluvící svět těžko dostupné. Nikdy nepublikoval jinou filozofickou monografii než Základy aritmetiky, jejíž velká část měla matematický obsah, a první sbírky jeho spisů vyšly až po druhé světové válce. Svazek anglických překladů Fregových filosofických esejů vyšel poprvé v roce 1952 v redakci Wittgensteinových studentů Petera Geacha (nar. 1916) a Maxe Blacka (1909-1988) za Wittgensteinovy bibliografické pomoci (viz Geach, ed. 1975, Úvod). Navzdory velkorysé chvále Russella a Wittgensteina byl Frege za svého života jako filozof málo známý. Jeho myšlenky se šířily především prostřednictvím těch, které ovlivnil, jako byli Russell, Wittgenstein a Carnap, a prostřednictvím prací polských logiků o logice a sémantice.
Rozlišení mezi Sinn („smysl“) a Bedeutung (obvykle překládáno jako „reference“, ale také jako „význam“ nebo „denotát“) bylo Fregovou inovací v jeho článku „Über Sinn und Bedeutung“ („O smyslu a referenci“) z roku 1892. Podle Fregeho jsou smysl a reference dva různé aspekty významu výrazu. Frege aplikoval Bedeutung v první řadě na vlastní jména, kde znamená nositele jména, předmět, o který jde, ale pak také na jiné výrazy, včetně úplných vět, které bedeuten mají dvě „pravdivostní hodnoty“, pravdivou a nepravdivou; naproti tomu smysl neboli Sinn spojený s úplnou větou je myšlenka, kterou vyjadřuje. O smyslu výrazu se říká, že je to „způsob prezentace“ věci, o níž se mluví.
Rozdíl lze znázornit takto: V běžném užití mají jméno „Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor“, které je z logického hlediska neanalyzovatelným celkem, a funkční výraz „princ waleský“, který obsahuje významné části „princ ξ“ a „Wales“, stejný odkaz, a to na osobu nejznámější jako princ Charles. Význam slova „Wales“ je však součástí významu posledně uvedeného výrazu, nikoli však součástí významu „plného jména“ prince Charlese.
Tyto distinkce zpochybnil Bertrand Russell, zejména ve svém článku „O pojmenování“; spor pokračuje až do současnosti, podnícený zejména slavnými přednáškami Saula Kripkeho „Pojmenování a nutnost“.
Představte si dopravní značky za městem. Všechny ukazují na stejný objekt (město), ačkoli „způsob prezentace“ nebo smysl (Sinn) každé značky (její směr nebo vzdálenost) je jiný. Podobně „princ z Walesu“ a „Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor“ obě označují (bedeuten) stejný objekt, ačkoli každá používá jiný „způsob prezentace“ (smysl nebo Sinn).
Fregeho publikované filozofické spisy byly velmi odborné povahy a byly natolik odtržené od praktických otázek, že badatel Dummett, který se Fregem zabývá, vyjadřuje svůj „šok, když při četbě Fregeho deníku zjistil, že jeho hrdina byl otevřený antisemita“ (1973). Vždy byl konzervativcem, ale po první světové válce se stal spíše radikálem. Jeho pozdní politický „deník ukazuje, že Frege byl člověk krajně pravicových politických názorů, ostře vystupující proti parlamentnímu systému, demokratům, liberálům, katolíkům, Francouzům a především Židům, kteří by podle něj měli být zbaveni politických práv a nejlépe vyhnáni z Německa“. Frege se svěřil, „že se kdysi považoval za liberála a byl obdivovatelem Bismarcka, ale jeho hrdiny nyní byli generál Ludendorff a Adolf Hitler. Bylo to poté, co se tito dva pokusili v listopadu 1923 státním převratem svrhnout zvolenou demokratickou vládu. Ve svém deníku Frege také využil všech svých analytických schopností, aby vymyslel plány na vyhnání Židů z Německa a na potlačení sociálních demokratů.“ Frege neměl rád všeobecné volební právo a byl proti jakékoli formě socialismu, který nazýval jednoduše marxismem. Jeho antisemitismus přesto připouštěl výjimky a v reálném životě měl s Židy přátelské vztahy: mezi jeho studenty byl Gershom Scholem, který si svého učitele velmi vážil, a povzbuzoval Ludwiga Wittgensteina k odchodu do Anglie. Deník z roku 1924 byl vydán.
Frege byl svými studenty popisován jako velmi introvertní člověk, který se jen zřídka pouštěl do dialogu, při přednáškách se většinou díval k tabuli, ačkoli byl vtipný a někdy i hořce sarkastický.
Logika, základ aritmetiky
Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879). Halle a. S.
Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (1884). Breslau.
Základní zákony aritmetiky, I. díl (1893); II. díl (1903). Jena: Nakladatelství Hermann Pohle.
Funkce a pojetí (1891)
„O smyslu a referenci“ (1892)
„Pojem a předmět“ (1892)
„Co je to funkce?“ (1904)
Logická zkoumání (1918-1923).
Frege zamýšlel, že následující tři práce budou vydány společně v knize nazvané Logische Untersuchungen (Logická zkoumání). Ačkoli německá kniha nikdy nevyšla, anglické překlady vyšly společně v Logical Investigations, vyd. Peter Geach, Blackwell’s, 1975.