Harald Cramér se narodil 25. září 1893 ve Stockholmu ve Švédsku. Po většinu svého života zůstal poblíž Stockholmu. V roce 1912 nastoupil jako student na Stockholmskou univerzitu, kde studoval matematiku a chemii. V tomto období působil jako vědecký asistent u slavného chemika Hanse von Eulera-Chelpina, u něhož v letech 1913-1914 publikoval svých prvních 5 článků. Po zkušenostech z laboratoře se začal věnovat výhradně matematice. Nakonec začal pracovat na svém doktorském studiu matematiky, které vedl slavný maďarský matematik Marcel Riesz na univerzitě ve Stockholmu. Také pod vlivem G. H. Hardyho získal Cramér v roce 1917 doktorát za práci „O třídě Dirichletových řad“.
Akademická profesní kariéra
Po získání doktorátu působil v letech 1917-1929 jako odborný asistent matematiky na Stockholmské univerzitě. Již v počátcích se Cramér intenzivně zabýval analytickou teorií čísel. Přispěl také několika významnými statistickými příspěvky k rozdělení prvočísel a dvojčísel. Jeho nejznámější práce na toto téma nese název „O řádu velikosti rozdílu mezi prvočísly“, která poskytla rigorózní popis konstruktivní úlohy, v níž se pravděpodobnost uplatňuje v teorii čísel.
Koncem 20. let se Cramér začal zajímat o pravděpodobnost, která v té době nebyla uznávaným oborem matematiky. Cramér věděl, že v tomto oboru je nutná radikální změna, a ve svém článku z roku 1926 uvedl: „Pojem pravděpodobnosti by měl být zaveden čistě matematickou definicí, z níž by se jeho základní vlastnosti a klasické věty odvozovaly čistě matematickými operacemi.“ Na počátku 30. let 20. století se Cramér zajímal o přísnou matematickou formulaci pravděpodobnosti v pracích francouzských a ruských matematiků, jako byli Kolmogorov, Lévy, Bernstein a Khinchin. Cramér také významně přispěl k revoluci v teorii pravděpodobnosti.
Svou pečlivou studii o tomto oboru Cramér později sepsal v cambridgeské publikaci Random variables and probability distributions, která vyšla v roce 1937. Krátce po druhé světové válce pokračoval Cramér v roce 1946 vydáním vlivné publikace Mathematical Methods of Statistics. Tento text byl jedním z těch, které „ukázaly, jak statistická praxe závisí na souboru přísných matematických analýz i na Fisherově intuici“.
V roce 1929 byl Cramér jmenován na nově zřízenou katedru na Stockholmské univerzitě a stal se prvním švédským profesorem pojistné matematiky a matematické statistiky. Tuto pozici si Cramér udržel až do roku 1958. Během svého působení na Stockholmské univerzitě byl Cramér školitelem deseti doktorandů, především Hermana Wolda a Kai Lai Chunga. Od roku 1950 převzal Cramér další odpovědnost a stal se rektorem Stockholmské univerzity. V roce 1958 byl také jmenován rektorem celého švédského univerzitního systému. V roce 1961 odešel Cramér ze švédského univerzitního systému do důchodu.
Velká část Cramérovy práce se týkala pojistné matematiky a pojistné matematiky. V letech 1920 až 1929 pracoval jako pojistný matematik pro životní pojišťovnu Svenska livförsäkringsbolaget. Pojistně-matematická práce v této době ho přivedla ke studiu pravděpodobnosti a statistiky, které se staly hlavní oblastí jeho výzkumu. V roce 1927 vydal základní švédský text Teorie pravděpodobnosti a některé její aplikace. Po práci pro Svenska livförsäkringsbolaget pokračoval až do roku 1948 v práci pro zajišťovnu Återförsäkringsaktiebolaget Sverige. Byl také známý svým průkopnickým úsilím v oblasti teorie pojistných rizik. Po tomto období zůstal v letech 1949-1961 jako pojistný poradce společnosti Sverige. V pozdějším období svého života byl zvolen čestným předsedou Švédské aktuárské společnosti.
Cramér se aktivně podílel na své profesní kariéře dalších 20 let. Po svém odchodu do důchodu v roce 1961 se začal mimořádně aktivně věnovat výzkumu, který byl v důsledku jeho kancléřství zpomalen. V letech 1961-1983 cestoval Cramér po Spojených státech a Evropě, aby pokračoval ve svém výzkumu, přičemž se významně zastavil v Berkeley, Princetonu a ve Výzkumném ústavu Triangle v Severní Karolíně. Jeho akademická kariéra trvala více než sedm desetiletí, od roku 1913 do roku 1982.
Harald Cramér se v roce 1918 oženil s Martou Hanssonovou a zůstali spolu až do její smrti v roce 1973. Často o ní mluvil jako o své „milované Martě“. Měli spolu dceru Marii-Louise a dva syny, Tomase a Kima.