Mentální výpočet je praxe, kdy se matematické výpočty provádějí pouze za použití lidského mozku, bez pomoci jakýchkoliv výpočetních zařízení. Provádí se jako sport na olympiádě myšlenkových sportů. Mentální výpočet prý zlepšuje mentální schopnosti, rychlost odezvy, paměťovou sílu a koncentraci.[Jak odkazovat a odkazovat na shrnutí nebo text]
V praxi jsou mentální výpočty užitečné nejen tehdy, když výpočetní nástroje nejsou k dispozici, ale mohou být užitečné i v situacích, kdy je výhodné počítat s rychlostí. Když je metoda mnohem rychlejší než konvenční metody (jak se vyučuje ve škole), lze ji nazvat zkratkou. Přestože se používají k podpoře nebo urychlení únavného počítání, mnozí takové triky také cvičí nebo vytvářejí, aby ohromili své vrstevníky svými rychlými kalkulačními schopnostmi. Téměř všechny takové metody využívají toho, že používáme základní 10 systém.
Existuje mnoho různých technik pro provádění mentálních výpočtů, z nichž mnohé jsou specifické pro určitý typ problému.
Kognitivní psychologie a mentální kalkulace
Rychlý test pro další zvýšení jistoty, že byla nalezena správná odpověď na výpočet.
Při kontrole mentálního výpočtu je užitečné myslet na něj z hlediska škálování. Například při práci s velkými čísly, řekněme 1531 × 19625, si uvědomte počet číslic očekávaných pro konečnou hodnotu. Užitečným způsobem kontroly je odhad. 1531 je kolem 1500 a 19625 je kolem 20000, takže výsledek kolem 20000X1500 (30000000) by byl dobrým odhadem. Takže pokud má odpověď příliš mnoho číslic, víte, že jste udělali chybu.
Při násobení je užitečné mít na paměti, že faktory operandů stále zůstávají. Například tvrzení, že 14 × 15 je 211, by bylo nerozumné. Protože 15 je násobek 5, měl by být i součin. Správná odpověď je 210.
Když jsou číslice b všechny menší než číslice a, lze výpočet provést číslici po číslici. Například 872 − 41 vyhodnotíme jednoduše tak, že na místě jednotek odečteme 1 od 2 a na místě desítek 4 od 7: 831.
Pokud výše uvedená situace neplatí, může být problém někdy upraven:
Tato metoda může být použita k odečítání čísel zleva doprava, a pokud vše, co je třeba, je číst výsledek nahlas, to vyžaduje málo paměti uživatele i k odečítání čísel libovolné velikosti.
Zvládne se vždy jen jedno místo, zleva doprava.
Výpočet produktů: a × b
Mnohé z těchto metod fungují kvůli distributivnímu majetku.
V tomto případě může být součin v podstatě vypočítán číslici po číslici. Není to přesně tento případ, protože je možné mít zbytek, ale pokud existuje zbytek, je to vždy 1, což věci značně zjednodušuje. Přesto musí být součin vypočítán zprava doleva: 2 × 167 je 4 se zbytkem, pak 2 (takže 3) s dalším zbytkem, pak 2 (takže 3). Tudíž dostaneme 334.
Chcete-li číslo vynásobit číslem 5, nejprve toto číslo vynásobte číslem 10 a pak ho vydělte číslem 2. Následující algoritmus je rychlý způsob, jak vytvořit tento výsledek: Nejprve přidejte nulu na pravou stranu požadovaného čísla. Dále, počínaje číslicí zcela vlevo, vydělte číslem 2 a přidejte každý výsledek v příslušném pořadí, aby se vytvořilo nové číslo; odpovědi na zlomky by měly být zaokrouhleny dolů na nejbližší celé číslo. Pokud jste například zamýšleli vynásobit 176 číslem 5, nejprve byste připojili nulu k číslu 176, abyste udělali 1760. Dále vydělte 1 číslem 2, abyste získali 0,5, zaokrouhleno dolů na nulu. Vydělte 7 číslem 2, abyste získali 3,5, zaokrouhleno dolů na 3. Vydělte 6 číslem 2, abyste získali 3. Nula dělená dvěma je jednoduše nula. Výsledné číslo je 0330. Poslední krok spočívá v přidání 5 k číslu, které následuje po libovolné jediné číslici v tomto novém čísle, která byla lichá před dělením dvěma; to je lépe pochopeno prostřednictvím příkladu. V původním čísle, 176, je první místo 1, což je liché. Proto přidáme 5 k číslici za první místo v našem nově konstruovaném čísle (0330), což je 3; 3+5=8. Číslo na druhém místě 176, 7, je také liché. Proto se také zvyšuje číslo za odpovídající číslicí v konstruovaném čísle (0830) o 5; 3+5=8. Číslo na třetím místě 176, 6, je sudé, proto se konečné číslo, nula, v naší odpovědi nemění. Tato konečná odpověď je 0880. Levá nula může být vynechána, zbývá 880. Takže 176 krát 5 se rovná 880.
Protože 9 = 10 − 1, pro vynásobení 9 vynásobte číslo 10 a pak od tohoto výsledku odečtěte původní číslo. Například 9 × 27 = 270 − 27 = 243.
Použití rukou: 1-10 vynásobeno 9
Ohněte prst, který představuje číslo, které má být vynásobeno devíti dolů.
Pravý malíček je dole. Vezměte počet prstů stále zvednutých vlevo od ohnutého prstu a připojte ho k počtu prstů vpravo.
Např.: Pět prstů nalevo od pravého malíčku a čtyři napravo od pravého malíčku. Takže 6 × 9 = 54.
Násobení 10 (a mocniny deseti)
Chcete-li vynásobit celé číslo číslem 10, jednoduše přidejte na konec čísla 0 navíc.
Chcete-li vynásobit celé číslo číslem 10, přesuňte desetinnou čárku doprava o jednu číslici.
Pro jednociferná čísla jednoduše duplikujte číslo na desítkovou číslici, například: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22, až 9 × 11 = 99.
Produkt pro jakékoli větší nenulové celé číslo lze nalézt řadou dodatků ke každé z jeho číslic zprava doleva, vždy po dvou.
Nejprve vezměte číslici jednotek a zkopírujte ji do dočasného výsledku. Dále, počínaje číslicí jednotek násobitele, přidejte každou číslici k číslici vlevo. Každý součet se pak přičte nalevo od výsledku, před všechny ostatní. Pokud je číslo součtů 10 nebo vyšší, vezměte číslici desítek, která bude vždy 1, a přeneste ji do dalšího sčítání. Nakonec zkopírujte číslici násobitele vlevo (nejvyšší hodnota) na přední stranu výsledku, v případě potřeby přidejte přenesenou číslici 1, abyste získali konečný produkt.
V případě -11, násobitel, nebo oba platí znaménko na konečný produkt podle normální násobení dvou čísel.
Příklad 759 × 11 krok za krokem:
Jinou metodou je jednoduše vynásobit číslo 10 a k výsledku přičíst původní číslo.
Vynásobení dvou dvoumístných čísel mezi 11 a 19
Pro snadné vynásobení 2 číslic dohromady mezi 11 a 19 je jednoduchý algoritmus následující:
Násobení libovolných 2 číslic Čísla dohromady
Pro snadné vynásobení libovolných 2 číslic dohromady je jednoduchý algoritmus následující:
Použití rukou: 6-10 vynásobeno jiným číslem 6-10
Tato technika umožňuje vynásobit číslo od 6 do 10 jiným číslem od 6 do 10.
Přiřaďte 6 k malíčku, 7 k prsteníčku, 8 k prostředníčku, 9 k ukazováčku a 10 k palci. Dotkněte se společně požadovaných čísel. Místo dotyku a níže se považuje za část „pod“ a vše nad dvěma prsty, které se dotýkají, je součástí části „nad“. Například 6 × 9 by vypadalo takto:
– 5 prstů níže dělá 5 desítek
– 4 prsty nahoře vpravo
– 1 prst nahoře vlevo
výsledek: 9 × 6 = 50 + 4 × 1 = 54
– 4 prsty dole dělají 4 desítky
– 2 prsty nahoře vpravo
– 4 prsty nahoře vlevo
výsledek: 6 × 8 = 40 + 2 × 4 = 48
Jak to funguje: každý prst představuje číslo (mezi 6 a 10). Spojte prsty představující
čísla, která chcete násobit (x a y). Prsty dole dávají počet desítek, tedy (x − 5) + (y − 5). Číslice vlevo nahoře dávají (10 − x) a číslice vpravo nahoře dávají (10 − y), což vede k [(x − 5) + (y − 5)] × 10 + (10 − x) × (10 − y) = x × y.
Produkty malých čísel lze vypočítat pomocí čtverců celých čísel; například pro výpočet 13 × 17 můžete poznamenat, že 15 je průměr obou činitelů, a přemýšlet o tom jako (15 − 2) ×(15 + 2), tj. 152 − 22. Když víme, že 152 je 225 a 22 je 4, jednoduchý odčítání ukazuje, že 225 − 4 = 221, což je požadovaný součin.
Každé čtvercové číslo lze snadno vypočítat sečtením předchozího čtvercového čísla, jeho kladné druhé odmocniny a čísla, jehož druhou odmocninu chcete znát. Např. druhá mocnina 13 je 144 + 12 + 13 = 169.
Předpokládejme, že potřebujeme umocnit číslo x na druhou poblíž 50. Toto číslo může být vyjádřeno jako x=50-n, a proto odpověď x2 je (50-n)2, což je 502 − 100n + n2. Víme, že 502 je 2500. Takže odečteme 100n od 2500 a pak přidáme n2. Příklad, řekněme, že chceme umocnit 48, což je 50 − 2. Odečteme 200 od 2500 a přidáme 4 a dostaneme x2 = 2304. Pro čísla větší než 50 (x=50+n) přidáme n stokrát místo odečítání.
Kvadratura číslo končící 5
Sbližování odmocnin
Řekněme, že chceme zjistit druhou odmocninu z čísla, které není čtvercové. Použijeme vzorec (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Pokud zvolíme dostatečně malou hodnotu ‚b‘, můžeme získat přesný odhad. Například pokud budeme požádáni, abychom našli druhou odmocninu z 15, můžeme začít s vědomím, že odmocnina z 16 je 4. Nyní potřebujeme ‚b‘, abychom mohli vložit do rovnice (4 − b)2 = 15, nebo tak nějak. Protože (4 − b)2 = 16 − 2 × 4 × b zhruba, dostaneme b = (16 − 15) ÷ (2 × 4), nebo zhruba 0,125. Takže pak je odhad pro druhou odmocninu 3,875. Pokud hledáte přesnější hodnotu, pak znovu začněte s odhadem kolem 3,9. 3,9)2 můžeme vypočítat jako 15,21, takže budeme pracovat stejně jako předtím; ale skončíme s (3,9 − b)2 = 15, dostaneme b = (15 − 3,92) ÷ (2 × 3,9) = (15 − 15,21) ÷ (7,8) = zhruba -0,027. Druhá odmocnina z 15 je nyní odhadována jako 3,9 − 0,027 nebo 3,873. (reálná druhá odmocnina z 15 je 3,8729833…)
Extrakce kořenů dokonalých sil
To je překvapivě snadný úkol pro mnoho vyšších sil, ale ne příliš užitečný s výjimkou zapůsobení na přátele (praktické využití hledání kořenů zřídkakdy používá dokonalé síly). Úkol není tak těžký, jak se zdá hlavně proto, že základní metodou je najít poslední číslici pomocí poslední číslice dané mocniny a pak najít další číslice pomocí velikosti dané mocniny. Takové výkony se mohou zdát nejasné, ale přesto jsou zaznamenány a praktikovány. Viz 13. kořen.
Snadným úkolem pro začátečníka je extrakce kostky kořeny z kostek o 2 číslice čísla. Například vzhledem k 74088, určit, co dvě číslice číslo, když násobí sám o sobě jednou a pak násobí číslo znovu, dává 74088. Ten, kdo zná metodu bude rychle vědět, že odpověď je 42, jako 423 = 74088.
Před naučením postupu je nutné, aby si umělec zapamatoval kostky čísel 1-10:
Existují dva kroky k extrahování třetí odmocniny z krychle o dvoumístném čísle. Řekněme, že jste požádali o extrahování třetí odmocniny z 29791. Začněte určením místa (jednotek) jedničky o dvoumístném čísle. Víte, že to musí být jedna, protože krychle končí v 1, jak je vidět výše.
Všimněte si, že každá číslice odpovídá sama sobě s výjimkou 2, 3, 7 a 8, které se právě odečtou od deseti, aby se získala odpovídající číslice.
Druhým krokem je určit první číslici ze dvou číslic třetí odmocnina pohledem na velikost dané kostky. Chcete-li to udělat, odstraňte poslední tři číslice dané kostky (29791 -> 29) a najít největší kostka je větší než (to je, kde znalost kostek čísel 1-10 je potřeba). Zde, 29 je větší než 1 krychlová, větší než 2 krychlová, větší než 3 krychlová, ale ne větší než 4 krychlová. Největší kostka je větší než je 3, takže první číslice ze dvou číslic kostky musí být 3.
Proto je třetí odmocnina z 29791 je 31.
V mentální matematice existuje mnoho dalších metod výpočtu. Níže uvedený seznam ukazuje několik dalších metod výpočtu, i když nemusí být úplně mentální.
Světový pohár v mentálním počítání
První mistrovství světa v mentálním počítání (Mental Calculation World Cup) se konalo v roce 2004. Opakují se každý druhý rok. Akce roku 2006 se konala 4. listopadu 2006 v německém Giessenu. Skládá se ze čtyř různých úkolů: sčítání deseti desetimístných čísel, násobení dvou osmimístných čísel, výpočet odmocnin a výpočet všedních dnů pro daná data, plus dva překvapivé úkoly. Vyhrál ji Robert Fountain z Anglie.
Další mistrovství světa je naplánováno na rok 2008.