Běžně, ordinální čísla nebo zkráceně ordinály jsou čísla používaná k označení pozice v uspořádané posloupnosti: první, druhá, třetí, čtvrtá, atd., zatímco kardinální číslo říká „kolik jich je“: jedna, dvě, tři, čtyři, atd. (Viz Jak pojmenovat čísla.)
Zde popisujeme matematický význam transfinitních ordinálních čísel. Byly zavedeny Georgem Cantorem v roce 1897, aby pojmuly nekonečné posloupnosti a klasifikovaly množiny s určitými druhy struktur řádu. Ordinály jsou extenzí přirozených čísel odlišných od celých čísel a od kardinálů.
Řádkování je úplné řazení s nekonečnou indukcí, kde nekonečná indukce rozšiřuje matematickou indukci za konečnou. Řádky představují ekvivalenční třídy Řádkování s pořadovým izomorfismem, což je vztah ekvivalence. Každá ordinála je brána jako množina menších ordinál. Řádky mohou být kategorizovány jako: nula, nástupnické ordinály a limitní ordinály (různých kofinalit). Vzhledem k třídě ordinálů lze určit α-tého člena této třídy, tj. lze je indexovat (počítat). Třída je uzavřená a neomezená, pokud je její indexovací funkce spojitá a nikdy se nezastaví. Lze definovat sčítání, násobení a exponenciaci na ordinálech, ale ne odčítání nebo dělení. Cantorova normální forma je standarizovaný způsob zápisu ordinálů. Existuje mnoho k jedné asociaci ordinálů a kardinálů. Lze definovat větší a větší ordinály, ale je stále obtížnější je popsat. Ordinály mají přirozenou topologii.
Ordinály rozšiřují přirozená čísla
Zatímco pojem kardinálního čísla je spojen s množinou bez konkrétní struktury, ordinály jsou úzce spojeny se zvláštním druhem množin, které se nazývají dobře uspořádané (ve skutečnosti jsou tak úzce spojeny, že někteří matematici mezi těmito dvěma pojmy nečiní žádný rozdíl). Abychom věci stručně definovali, dobře uspořádaná množina je naprosto uspořádaná množina (vzhledem k jakýmkoli dvěma prvkům jeden definuje menší a jeden větší souvislým způsobem), ve které neexistuje nekonečná klesající posloupnost (nicméně může existovat nekonečná rostoucí posloupnost). Ordinály mohou být použity k označení prvků jakékoli dobře uspořádané množiny (nejmenší prvek je označen číslem 0, ten za tím číslem 1, další číslem 2, „a tak dále“) a k měření „délky“ celé množiny nejmenším ordinálem, který není označením prvku množiny. Tato „délka“ se nazývá pořadovým typem množiny.
Jakýkoli ordinál je definován množinou ordinálů, které mu předcházejí: ve skutečnosti nejběžnější definice ordinálů identifikuje každý ordinál jako množinu ordinálů, které mu předcházejí. Například ordinál 42 je pořadovým typem ordinálů menších než on, tj. ordinálů od 0 (nejmenší ze všech ordinálů) do 41 (bezprostřední předchůdkyně čísla 42) a je obecně identifikován jako množina {0,1,2,…,41}. Naopak každá množina ordinálů, která je uzavřena směrem dolů – což znamená, že každá ordinála menší než ordinál v množině je také v množině – je (nebo může být identifikována s) ordinálem.
Dosud jsme zmiňovali pouze konečné ordinály, což jsou přirozená čísla. Existují však i nekonečné jedničky: nejmenší nekonečná ordinála je ω, což je pořadový typ přirozených čísel (konečných ordinál) a která mohou být dokonce identifikována se souborem přirozených čísel (soubor přirozených čísel je skutečně dobře uspořádaný – stejně jako jakýkoli soubor ordinál – a protože je směrem dolů uzavřený, může být identifikován s ordinálem, který je s ním spojen, což je přesně to, jak definujeme ω).
Grafické „zápalkové“ znázornění ordinály ω². Každá zápalka odpovídá ordinále tvaru ω·m+n, kde m a n jsou přirozená čísla.
Zřejmě jasnější intuici ordinálů lze vytvořit prozkoumáním několika prvních z nich: jak je uvedeno výše, začínají přirozenými čísly, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Po všech přirozených číslech přichází první nekonečná ordinála, ω, a po ní přijde ω+1, ω+2, ω+3 a tak dále. (Co přesně znamená sčítání, bude definováno později: jen je považujte za jména.) Po všech těchto přijde ω·2 (což je ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 a tak dále, pak ω·3 a pak později ω·4. Množina ordinál, kterou tímto způsobem utváříme (ω·m+n, kde m a n jsou přirozená čísla), musí mít sama o sobě přiřazenu ordinálu: a to je ω2. Dále bude ω3, pak ω4 a tak dále a ωω, pak ωω² a mnohem později ε0 (jen pro pár příkladů těch nejmenších – spočitatelných – ordinál). Tímto způsobem můžeme pokračovat donekonečna („donekonečna daleko“ je přesně to, v čem jsou ordinály dobré: v podstatě pokaždé, když člověk při výčtu ordinál řekne „a tak dále“, definuje větší ordinál).
Dobře uspořádaná množina je uspořádaná množina, ve které má každá neprázdná podmnožina nejmenší prvek: to je ekvivalentní (alespoň v přítomnosti axiomu závislých voleb) pouhému konstatování, že množina je zcela uspořádaná a neexistuje žádná nekonečná klesající posloupnost, což je něco, co je možná snadněji vizualizovatelné. V praxi je význam dobře uspořádané množiny odůvodněn možností aplikovat transfinitní indukci, která v podstatě říká, že každá vlastnost, která přechází z jedné předchůdkyně prvku na tento prvek samotný, musí platit pro všechny prvky (dané dobře uspořádané množiny). Pokud lze stavy výpočtu (počítačového programu nebo hry) dobře uspořádat tak, že po každém kroku následuje „nižší“ krok, pak si můžete být jisti, že výpočet skončí.
Nyní nechceme rozlišovat mezi dvěma dobře uspořádanými množinami, pokud se liší pouze v „označování svých prvků“, nebo formálněji: pokud můžeme spárovat prvky první množiny s prvky druhé množiny tak, že pokud je jeden prvek menší než druhý v první množině, pak partner prvního prvku je menší než partner druhého prvku v druhé množině a naopak. Taková korespondence jedna k jedné se nazývá pořadový izomorfismus (nebo striktně rostoucí funkce) a o dvou dobře uspořádaných množinách se říká, že jsou pořadově izomorfní, nebo podobné (zjevně se jedná o vztah ekvivalence). Pokud existuje pořadový izomorfismus mezi dvěma dobře uspořádanými množinami, je pořadový izomorfismus jedinečný: to je zcela ospravedlnitelné považovat množiny za v podstatě identické a hledat „kanonického“ zástupce typu izomorfismu (třídy). To je přesně to, co poskytují ordinály, a také to poskytuje kanonické označení prvků každé dobře uspořádané množiny.
V podstatě si tedy přejeme definovat ordinál jako třídu izomorfismu dobře uspořádaných množin: tedy jako třídu ekvivalence pro vztah ekvivalence „být pořadově izomorfní“. Je tu však technická potíž v tom, že třída ekvivalence je příliš velká na to, aby byla množinou v obvyklé Zermelo-Fraenkelově formalizaci teorie množin. To však není vážná potíž. Řekneme, že ordinál je pořadovým typem jakékoliv množiny ve třídě.
Definice ordinálu jako třídy ekvivalence
Původní definice ordinálního čísla, nalezená například v Principia Mathematica,
definuje pořadový typ dobře uspořádaného jako množinu všech dobře uspořádaných podobných (pořadově izomorfních) tomuto
dobře uspořádanému: jinými slovy, ordinální číslo je skutečně třídou ekvivalence dobře uspořádaných množin. Tato definice musí být opuštěna v ZF a souvisejících systémech axiomatické teorie množin, protože tyto třídy ekvivalence jsou příliš velké na to, aby tvořily množinu. Nicméně, tato definice stále
může být použita v typové teorii a v Quineově teorii množin Nové základy a související systémy
(kde poskytuje poměrně překvapivé alternativní řešení Burali-Fortiho paradoxu
největší ordinály).
Von Neumannova definice ordinálů
Spíše než definovat ordinál jako třídu ekvivalence dobře uspořádaných množin, můžeme se pokusit definovat ji jako nějakou konkrétní dobře uspořádanou množinu, která (kanonicky) představuje třídu. Chceme tedy sestrojit ordinální čísla jako speciální dobře uspořádané množiny tak, aby každá dobře uspořádaná množina byla objednávkově izomorfní na jedno a pouze jedno ordinální číslo.
Důmyslná definice navržená Johnem von Neumannem, která je nyní považována za standardní, zní takto: definujte každou ordinálu jako speciální dobře uspořádanou množinu, tedy množinu všech ordinálů před ní. Formálně:
(Zde je „set containment“ jiný název pro vztah podmnožiny.)
Taková množina S je automaticky dobře uspořádaná s ohledem na set containment. To se opírá o axiom dobře fundovaného: každá neprázdná množina S má prvek a, který je disjunktní od S.
Všimněte si, že přirozená čísla jsou podle této definice ordinály. Například
2 je prvek 4 = {0, 1, 2, 3}, a 2 je rovno {0, 1} a je tedy podmnožinou {0, 1, 2, 3}.
To může být prokázáno transfinitní indukcí, že každý dobře uspořádaný soubor je objednávkově-izomorfní přesně na jednu z těchto ordinál.
Navíc prvky každé ordinály jsou ordinály samy o sobě. Kdykoliv máte dvě ordinály S a T, S je prvkem T tehdy a jen tehdy, když S je vlastní podmnožinou T, a navíc buď S je prvkem T, nebo T je prvkem S, nebo jsou si rovny. Takže každá množina ordinál je zcela uspořádaná. A ve skutečnosti platí mnohem více: Každá množina ordinál je dobře uspořádaná. Tento důležitý výsledek zobecňuje skutečnost, že každá množina přirozených čísel je dobře uspořádaná a umožňuje nám používat transfinitní indukci štědře s ordinály.
Ordinál je konečný tehdy a jen tehdy, je-li i opačný řád dobře uspořádaný, což je případ tehdy a jen tehdy, má-li každá z jeho podskupin největší prvek.
Existují i jiné moderní formulace definice ordinálu. Každá z nich je v podstatě ekvivalentní výše uvedené definici. Jedna z těchto definic je následující. Třída S se nazývá tranzitivní, pokud je každý prvek x S podmnožinou S, tj. Ordinál je pak definován jako tranzitivní množina, jejíž členy jsou také tranzitivní. Z toho vyplývá, že členy jsou samy ordinály. Všimněte si, že axiom pravidelnosti (základ) se používá při ukazování, že tyto ordinály jsou dobře seřazeny kontejnmentem (podmnožinou).
Co je transfinitní indukce?
Transfinitní indukce platí v každé dobře uspořádané množině, ale ve vztahu k ordinálům je tak důležitá, že stojí za to ji zde znovu připomenout.
To znamená, že pokud P(α) platí vždy, když P(β) platí pro všechny β<α, pak P(α) platí pro všechny α. Nebo praktičtěji: abychom prokázali vlastnost P pro všechny ordinály α, můžeme předpokládat, že je již známá pro všechny menší β<α.
Transfinitní indukce může být použita nejen k prokázání věcí, ale také k jejich definování (o takové definici se běžně říká, že následuje po transfinitní rekurzi – používáme transfinitní indukci, abychom dokázali, že výsledek je dobře definovaný): formální tvrzení je únavné psát, ale podstatné je, že za účelem definování (třídy) funkce na ordinálech α lze předpokládat, že je již definována pro všechny menší β<α. Jeden dokazuje transfinitní indukcí, že existuje jedna a jediná funkce splňující rekurzní vzorec upto a zahrnující α.
Zde je příklad definice pomocí transfinitní indukce na ordinálech (více bude uvedeno později): definujte funkci F tím, že necháte F(α) být nejmenším ordinálem, který není v množině F(β) pro všechny β<α. Všimněte si, jak předpokládáme F(β) známý v samotném procesu definování F: tento zdánlivý paradox je přesně to, co definice pomocí transfinitní indukce umožňuje. Nyní ve skutečnosti F(0) dává smysl, protože neexistuje žádný β<0, takže množina všech F(β) pro β<0 je prázdná, takže F(0) musí být 0 (nejmenší ordinál ze všech), a nyní, když známe F(0), pak F(1) dává smysl (a je to nejmenší ordinál, který se nerovná F(0)=0), a tak dále (a tak dále je přesně transfinitní indukce). No, ukazuje se, že tento příklad není příliš zajímavý, protože F(α)=α pro všechny ordinály α: ale to může být prokázáno, přesně, transfinitní indukcí.
Nástupce a limitní ordinály
Každý nenulový ordinál má nejmenší prvek (který je nulový). Může, ale nemusí mít největší prvek, nicméně: 42 nebo ω+6 mají největší prvek, zatímco ω ne (neexistuje žádné největší přirozené číslo). Pokud má ordinál největší prvek α, pak je to další ordinál po α a nazývá se nástupnický ordinál, tedy nástupce α, napsané α+1. V von Neumannově definici ordinálů je nástupcem α, protože jeho prvky jsou prvky α a α jako takové.
Nenulový ordinál, který není následníkem, se nazývá limitní ordinál. Jedním z odůvodnění tohoto výrazu je, že limitní ordinál je skutečně limita v topologickém smyslu všech menších ordinálů (pro topologii řádu).
Poměrně obecně platí, že když (αι<γ) je posloupnost ordinálů (rodina indexovaná limitou γ), a pokud předpokládáme, že (αι) se zvyšuje (αι<αι′ kdykoliv ι<ι′), nebo v každém případě neklesá, definujeme její limitu jako nejmenší horní hranici množiny {αι}, tedy nejmenší ordinál (vždy existuje) větší než kterýkoli člen posloupnosti. V tomto smyslu je limitní ordinál limita všech menších ordinálů (indexovaných sama sebou).
Každý ordinál je tedy buď nula, nebo nástupce (dobře definovaného předchůdce), nebo limita. Toto rozlišení je důležité, protože na něm závisí mnoho definic pomocí transfinitní indukce. Velmi často, když definujeme funkci F pomocí transfinitní indukce na všech ordinálech, definujeme F(0), a F(α+1) za předpokladu, že F(α) je definováno, a pak pro limitní ordinály δ definujeme F(δ) jako limitu F(β) pro všechny β<δ (buď ve smyslu ordinálních limitů, jak jsme právě vysvětlili, nebo pro nějaký jiný pojem limitu, pokud F nebere ordinální hodnoty). Zajímavým krokem v definici je tedy nástupnický krok, nikoli limitní ordinály. Takové funkce (zejména pro F neklesající a beroucí ordinální hodnoty) se nazývají spojité. Uvidíme, že ordinální sčítání, násobení a exponenciace jsou spojité jako funkce jejich druhého argumentu.
Indexování tříd ordinál
Zmínili jsme se, že každá dobře uspořádaná množina je podobná (pořadí-izomorfní) unikátnímu řadovému číslu , nebo, jinými slovy, že její prvky mohou být indexovány ve stále větší míře řadami menšími než . To platí zejména pro jakoukoli množinu řadových číslovek: jakákoli množina řadových číslovek je přirozeně indexována řadovými čísly menšími než některé . Totéž platí, s drobnou úpravou, pro třídy řadových číslovek (množina řadových číslovek, možná příliš velkých na to, aby tvořily množinu, definovaných nějakou vlastností): jakákoli třída řadových číslovek může být indexována řadovými číslovkami (a, když je třída neomezená, to ji staví do třídy-bijekce s třídou všech řadových číslovek). Takže můžeme volně mluvit o -tém prvku ve třídě (s konvencí, že „0-tý“ je nejmenší, „1-tý“ je další nejmenší, a tak dále). Formálně je definice pomocí transfinitní indukce: že -tý prvek třídy je definován (za předpokladu, že již byl definován pro všechny ), jako nejmenší prvek větší než -tý prvek pro všechny .
Můžeme to aplikovat například na třídu limitních ordinálů: -tá ordinála, která je buď limitní, nebo nulová, je (dosud jsme nedefinovali násobení, ale můžeme tuto notaci brát jako dočasnou definici, která bude souhlasit s obecným pojmem, který bude definován později). Podobně můžeme uvažovat ordinály, které jsou aditivně nedekompostovatelné (což znamená, že je to nenulová ordinála, která není součtem dvou striktně menších ordinál): ta -tá aditivně nedekompostovatelná ordinála je indexována jako . Technika indexování tříd ordinál je často užitečná v kontextu pevných bodů: například -tá ordinála taková, která je napsána .
Uzavřené neomezené množiny a třídy
Třída ordinals je řekl být neomezený, nebo cofinal, když daný jakýkoli ordinal, tam je vždy nějaký prvek třídy větší než to (pak třída musí být řádné třídy, tj., to nemůže být soubor). To je řekl, aby byl uzavřen, když limit posloupnosti ordinals ve třídě je opět ve třídě: nebo, ekvivalentně, když indexování (třída-)funkce je spojitá v tom smyslu, že pro limit ordinal, (the -th ordinal ve třídě) je limit všech pro ; To je také stejné jako je uzavřen, v topologickém smyslu, pro pořadí topologie (aby se zabránilo mluvit o topologii na řádné třídy, lze požadovat, aby průnik třídy s libovolným daný ordinal je uzavřen pro pořadí topologie na tomto ordinál, to je opět ekvivalentní).
Zvláštní význam mají ty třídy ordinálů, které jsou uzavřené a neomezené, někdy nazývané kluby. Například třída všech limitních ordinálů je uzavřená a neomezená: to znamená, že vždy existuje limitní ordinál větší než daný ordinál a že limit limitních ordinálů je limitní ordinál (což je šťastný fakt, má-li terminologie vůbec dávat smysl!). Třída aditivně nesrozumitelných ordinálů nebo třída ordinálů nebo třída kardinálů jsou všechny uzavřené neomezené; množina pravidelných kardinálů je však neomezená, ale ne uzavřená, a jakákoli konečná množina ordinálů je uzavřená, ale ne neomezená.
Třída je stacionární, pokud má neprázdný průsečík s každou uzavřenou neomezenou třídou. Všechny nadtřídy uzavřených neomezených tříd jsou stacionární a stacionární třídy jsou neomezené, ale existují stacionární třídy, které nejsou uzavřené a existují stacionární třídy, které nemají uzavřenou neomezenou podtřídu (jako je třída všech limitních ordinál s počitatelnou kofinalitou). Vzhledem k tomu, že průsečík dvou uzavřených neomezených tříd je uzavřený a neomezený, průsečík stacionární třídy a uzavřené neomezené třídy je stacionární. Ale průsečík dvou stacionárních tříd může být prázdný, např. třída ordinál s kofinalitou ω s třídou ordinál s nepočítatelnou kofinalitou.
Existují tři obvyklé operace na ordinálech: sčítání, násobení a (ordinální) exponenciace. Každá může být definována v podstatě dvěma různými způsoby: buď konstrukcí explicitní dobře uspořádané množiny, která představuje operaci, nebo použitím transfinitní rekurze. Cantorova normální forma poskytuje standardizovaný způsob zápisu ordinál. Takzvané „přirozené“ aritmetické operace zachovávají komutivitu na úkor kontinuity.
Počáteční ordinál kardinála
Každý ordinál má přidruženého kardinála, jeho kardinalitu, získanou prostým zapomenutím na řád. Každá dobře uspořádaná množina, která má tento ordinál jako svůj pořadový typ, má stejnou kardinalitu. Nejmenší ordinál, který má daný kardinál jako svou kardinalitu, se nazývá počáteční ordinál tohoto kardinála. Každá konečná ordinál (přirozené číslo) je počáteční, ale většina nekonečných ordinálů není počáteční. axiom volby je ekvivalentní tvrzení, že každá množina může být dobře uspořádaná, tj. že každý kardinál má počáteční ordinál. V tomto případě je tradiční identifikovat kardinální číslo s jeho počáteční ordinál a říkáme, že počáteční ordinál je kardinál.
α-tého nekonečný počáteční ordinál je psán . Jeho kardinalita je psána . Například kardinalita ω0 = ω je , Což je také kardinalita ω² nebo ε0 (všechny jsou spočitatelné ordinály). Takže (za předpokladu axiom volby) identifikujeme ω s , Kromě toho, že notace se používá při psaní kardinálů, a ω při psaní ordinálů (to je důležité, protože vzhledem k tomu ). Také, je nejmenší nespočitatelný ordinál (vidět, že existuje, zvažte soubor rovnocennosti tříd i-pořadí přirozených čísel: každý takový i-pořadí definuje spočitatelný ordinál, a je pořadí typ, že soubor), je nejmenší ordinál, jehož kardinalita je větší než , A tak dále, a je limit pro přirozených čísel n (každý limit kardinálů je kardinál, takže tento limit je skutečně první kardinál po všem ).
Kofinalita ordinálu je nejmenší ordinál, který je pořadovým typem kofinální podmnožiny . Všimněte si, že řada autorů definuje konfirmaci nebo ji používá pouze pro limitní ordinály. Kofinalita množiny ordinálů nebo jakékoli jiné dobře uspořádané množiny je kofinalita pořadového typu této množiny.
Tedy pro limitní ordinál existuje -indexovaná striktně rostoucí posloupnost s limitem . Například kofinalita ω² je ω, protože posloupnost ω·m (kde m se pohybuje nad přirozenými čísly) má tendenci k ω²; ale obecněji, každý spočitatelný limitní ordinál má kofinalitu ω. Nesčetný limitní ordinál může mít buď kofinalitu ω jako má nebo nespočitatelnou kofinalitu.
Kofinalita 0 je 0. A kofinalita jakéhokoliv nástupnického ordinálu je 1. Kofinalita jakéhokoliv limitního ordinálu je alespoň .
Ordinál, který je roven jeho kofinalitě, se nazývá regulární a je to vždy počáteční ordinál. Jakýkoli limit regulárních ordinálů je limitem počátečních ordinálů a je tedy také počáteční, i když není regulární, což obvykle není. Pokud je axiom volby, pak je regulární pro každé α. V tomto případě jsou ordinály 0, 1, , a jsou regulární, zatímco 2, 3, , a ω·2 jsou počáteční ordinály, které nejsou regulární.
Kofinalita libovolného ordinálního α je regulární ordinál, tj. kofinalita kofinality α je stejná jako kofinalita α. Operace kofinality je tedy idempotentní.
Některé „velké“ spočitatelné ordinály
Již jsme zmínili ordinál ε0, který je nejmenší splňující rovnici , Takže je to limit posloupnosti 0, 1, , , , atd. Mnoho ordinals může být definována takovým způsobem jako pevné body některých ordinálních funkcí (the -th ordinal taková, že se nazývá , Pak bychom mohli pokračovat ve snaze najít -th ordinal taková, že , „a tak dále“, ale všechny jemnosti leží v „a tak dále“). Můžeme se pokusit o to systematicky, ale bez ohledu na to, jaký systém je použit k definování a konstrukci ordinals, tam je vždy ordinál, který leží těsně nad všemi ordinals konstruované systémem. Snad nejdůležitější ordinal, který omezuje tímto způsobem systém konstrukce je Church-Kleene ordinal, (navzdory v názvu, tento ordinal je počitatelný), což je nejmenší ordinal, který nemůže být v žádném případě zastoupeny vyčíslitelné funkce (to může být přísné, samozřejmě). Značně velké ordinály mohou být definovány níže , nicméně, které měří „důkazně-teoretickou sílu“ některých formálních systémů (například měří sílu Peanovy aritmetiky). Velké ordinály mohou být také definovány nad Church-Kleenovou ordinálou, které jsou zajímavé v různých částech logiky.
Ordinály jako topologické prostory
Jakýkoli ordinál může být učiněn topologickým prostorem tím, že je obdařen topologií řádu (protože je dobře uspořádaný, ordinál je zejména totálně uspořádaný): v případě, že není uvedeno jinak, je to vždy topologie řádu, která je míněna, když je ordinál považován za topologický prostor. (Všimněte si, že pokud jsme ochotni přijmout řádnou třídu jako topologický prostor, pak třída všech ordinálů je také topologickým prostorem pro topologii řádu.)
Množina limitních bodů ordinálu α je přesně množina limitních ordinálů menších než α. Nástupnické ordinály (a nula) menší než α jsou izolované body v α. Zejména konečné ordinály a ω jsou diskrétní topologické prostory a žádná ordinála za nimi není diskrétní. Ordinál α je kompaktní jako topologický prostor tehdy a jen tehdy, když α je nástupnický ordinál.
Uzavřené množiny limitního ordinálu α jsou právě uzavřené množiny ve smyslu, který jsme již definovali, tedy takové, které obsahují limitní ordinál vždy, když obsahují všechny dostatečně velké ordinály pod ním.
Jakýkoli ordinál je samozřejmě otevřenou podmnožinou jakéhokoliv dalšího ordinálu. Topologii na ordinálech můžeme definovat také následujícím induktivním způsobem: 0 je prázdný topologický prostor, α+1 se získá jednobodovou kompaktifikací α (pokud α je limitní ordinál; pokud není, α+1 je pouze disjunktní spojení α a bodu) a pro δ je limitní ordinál, δ je vybaveno induktivní limitní topologií.
Jako topologické prostory jsou všechny ordinály Hausdorffovy a dokonce normální. Jsou také zcela odpojené (spojené komponenty jsou body), rozptýlené (=každá neprázdná množina má izolovaný bod; v tomto případě stačí vzít nejmenší prvek), nulové-dimenzionální (=topologie má clopenův základ: zde napište otevřený interval (β,γ) jako sjednocení klopenových intervalů (β,γ’+1)=[β+1,γ‘] pro γ‘<γ). Nicméně nejsou extrémně odpojené obecně (existuje otevřená množina, konkrétně ω, jejíž uzavření není otevřené).
Topologické prostory ω1 a jeho nástupce ω1+1 jsou často používány jako příklady z učebnic nepočitatelných topologických prostorů.
Například v topologickém prostoru ω1+1 je prvek ω1 v uzavření podmnožiny ω1, i když žádná posloupnost prvků v ω1 nemá prvek ω1 jako svou mez. Prostor ω1 je prvočíselně započitatelný, ale ne druhotně započitatelný a ω1+1 nemá ani jednu z těchto dvou vlastností, přestože je kompaktní. Za zmínku také stojí, že každá spojitá funkce od ω1 do R (reálná přímka) je nakonec konstantní: takže Stone-Čechova kompaktifikace ω1 je ω1+1, stejně jako její jednobodová kompaktifikace (v ostrém kontrastu k ω, jehož Stone-Čechova kompaktifikace je mnohem větší než ω1).
Je-li α limitní ordinál a X je množina, α-indexovaná posloupnost prvků X znamená pouze funkci od α do X. Je-li X topologický prostor, říkáme, že α-indexovaná posloupnost prvků X konverguje k limitu x, když konverguje jako síť, jinými slovy, když je dáno jakékoliv okolí U x existuje ordinální β<α takové, že xι je v U pro všechny ι≥β. To se shoduje s pojmem limita definovaným výše pro zvýšení ordinální-indexované posloupnosti v ordinálu.
Ordinálně indexované posloupnosti jsou pro určení limitů v topologii silnější než obyčejné (ω-indexované) posloupnosti: například ω1 je limitní bod ω1+1 (protože je limitní ordinál) a ve skutečnosti je to limita ω1-indexované posloupnosti, která mapuje libovolnou ordinálu menší než ω1 sama sobě: nicméně to není limita libovolné obyčejné (ω-indexované) posloupnosti v ω1, protože každá funkce od přirozených čísel po ω1 je ohraničená. Nicméně ordinálně indexované posloupnosti nejsou dostatečně silné, aby nahradily sítě (nebo filtry) obecně: například na Tychonoffově prkně (produktový prostor ) je rohový bod limitním bodem (je v uzávěru) otevřené podmnožiny , ale není to limit ordinálně indexované posloupnosti.